1.2 Méthodes de calcul du courant tunnel et de ses variations
1.2.4 Le courant à partir du coefficient de transmission
Dès 1957, Rolf Landauer s’intéresse également à la conductance de systèmes consti- tués de deux électrodes reliées à une source d’électrons et un drain, avec un "défaut" localisé entre ces électrodes susceptible de diffuser un électron incident [25,26] (voir aussi [3]). Plutôt que de calculer l’évolution temporelle des états de la jonction il part du principe que le courant, bien qu’il soit dû à des phénomènes individuels quantiques, doit en tant que variable macroscopique vérifier la loi classique V = RI. Il considère un système {source, électrode, défaut, électrode, drain} soumis à une petite différence de potentiel V , et qui a atteint un état permanent. Un courant con- stant s’est donc établi dans ce système, et si par exemple V est positif, ce courant
consiste en un flux d’électrons allant de la gauche vers la droite. La conductance est alors évaluée grâce à la transparence de la jonction pour un électron incident. Toute la résistance du système est supposée se trouver aux bornes du défaut, les électrodes étant elles considérées balistiques.
Dans son article de 1957, les calculs effectués par Landauer sont en réalité classiques en dehors de l’utilisation des fonctions de Fermi pour décrire l’occupation des élec- trodes. En effet il s’agit de résoudre l’équation de transport pour des électrons se déplaçant dans le système, soumis à un champ non uniforme car dépendant de la présence du défaut à priori résistant, et au niveau duquel se crée une accumulation de charges.
Cependant, plus que la résolution de cette équation, l’élément important de la théorie de Landauer, qui découle directement de l’idée d’assimiler le courant à la réponse diffusive à un flux incident de charges, est la forme sous laquelle sont écrits le courant et la conductance. Cette forme se comprend sans détailler les aspects quantitatifs des calculs.
Pour simplifier, dans un premier temps la température est considérée nulle. Les électrodes sont donc remplies d’électrons jusqu’à leur potentiel chimique µg,d, et
l’électrode de droite est à la masse, donc µd= Ef et µg = Ef+ |e|V où Ef est l’én-
ergie de Fermi de l’électrode de droite. Selon R. Landauer le courant s’exprime alors comme le courant que transporterait un canal de conduction balistique pondéré par la transparence de la partie diffusive de la jonction vis-à-vis des charges incidentes. L’intensité du courant s’exprime donc comme :
I = 2e h Ef+|e|V Z Ef T (E)dE (1.23)
où T (E) est appelé coefficient de transmission de la jonction. Ce facteur exprime la transparence de la jonction pour un électron qui arrive sur le système. Cette expression fait apparaître le quantum de conductance 2e2
h qui correspond à la con-
ductance d’un seul canal quantique balistique, multipliée par 2 afin de prendre en compte les deux orientations de spin possibles. Cette conductance vient du fait que le long d’un tel canal un seul mode de conduction existe, contrairement à ce qui se passe au niveau de la source et du drain où, étant donné leur taille, un très grand nombre de modes peuvent se propager. La forme du courant est très similaire à celle
obtenue dans la partie précédente dans le cas de densités d’états constantes dans les électrodes, à la différence près que le facteur devant l’intégrale valait simplement
e
h car la multiplicité de spin n’était pas prise en compte.
L’expression de la conductance de la jonction s’obtient facilement à partir de (1.21) :
G = 2e
2
h T (E) (1.24)
Une expression similaire du courant s’obtient si la température est non nulle, (??) restant valable. La seule différence est que l’occupation des états des électrodes doit être caractérisée par des fonctions de Fermi fd(E) et fg(E) et non plus simplement
par les potentiels chimiques µd et µg :
I = 2e h
+∞
Z
−∞
[fd(E) − fg(E)] T (E)dE (1.25)
Ici la conductance est donc exprimée en fonction du coefficient de transmission, co- efficient qui apparaîtra de nouveau dans l’autre théorie actuellement très utilisée, basée sur les fonctions de Green hors équilibre (NEGF) (partie 1.2.5).
Le rapport avec l’évolution temporelle des états de la jonction n’apparaît pas claire- ment ici contrairement aux deux techniques précédentes. Cependant il a été montré par G.Doyen en 1993 que l’expression du courant obtenue par Landauer peut se retrouver à partir de l’évolution temporelle du système en un état initial et un état final bien précis. Pour de plus amples informations voir la référence [27].
La méthode la plus utilisée pour calculer ce coefficient de transmission est le calcul de la matrice de diffusion, plus connue sous le nom de matrice de "scattering". Pour calculer cette matrice, le système est considéré sans différence de potentiel entre les électrodes, chacune d’entre elles étant modélisée par une chaîne périodique semi- infinie d’orbitales atomiques. Ce système est représenté figure 1.5, le défaut étant représenté par ses orbitales moléculaire (OM). Ce sont les états propres de ce sys- tème qui nous intéressent.
S’il n’y avait pas de défaut mais simplement une chaîne périodique infinie, les états propres seraient des ondes planes se propageant vers la gauche ou la droite (chaque valeur propre ayant une dégénérescence de 2, le sens de propagation est libre). En
Figure 1.7
la présence d’un défaut, ces états propres sont bien sûr modifiés. Cependant, loin de ce défaut ils seront peu perturbés, ce qui permet de les écrire sous la forme d’un mélange d’une onde plane se propageant vers la droite, et d’une onde plane se propageant vers la gauche avec des amplitudes A et B à droite, et C et D à gauche. Ce sont ces amplitudes qui sont représentées sur la figure 1.5. Pour obtenir la probabilité qu’un électron arrivant de gauche atteigne l’électrode de droite, C est calculé en fonction de A lorsque D = 0 de manière à se placer dans la situation où une onde plane incidente (équivalent à un état propre de l’électrode de gauche isolée) arrive par la gauche sur le défaut, et une onde plane émergente (équivalent à un état propre de l’électrode de droite isolée) repart par la droite. La méth- ode ESQC ("Electron Scattering Quantum Chemistry") repose sur ce principe [28]. L’idée est de calculer la matrice de diffusion s(E) qui exprime le vecteur
C B
(amplitudes des ondes émergentes), en fonction du vecteur
A D (amplitudes des
ondes incidentes) écrits dans une base d’états localisés. Celle ci se calcule à l’aide de propagateurs spatiaux obtenus en écrivant l’équation de Schrödinger stationnaire pour l’état propre d’énergie E. Le principe de la méthode étant utilisé et donc ex- pliqué dans le chapitre 3, il ne sera pas détaillé ici. Une fois cette matrice calculée, le coefficient de transmission s’exprime comme T (E) = | 1
s11|
2.
L’intérêt de cette méthode de calcul de diffusion est qu’elle permet de calculer di- rectement le coefficient de transmission, et donc la conductance de la jonction, sans passer au préalable par le calcul du courant. De plus, si la partie suivante propose une autre manière de calculer ce coefficient de transmission, car celle présentée ici n’est pas unique, la matrice de scattering reste, à mes yeux du moins, la manière la plus "visible" de le calculer, c’est-à-dire que la physique sous-jacente aux calculs
est réellement apparente et compréhensible, sans être noyée dans ces calculs, ce qui est un risque inhérent à la complexification des théories.
Pour ces raisons, tous les calculs de coefficients de transmissions présentés dans cette thèse sont basés sur la méthode ESQC. Cependant l’ensemble de ce travail aurait très bien pu être réalisé dans le formalisme des fonctions de Green hors équilibre appliqué au cas élastique, rappelé si après.