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Le cas g´en´eral

Dans le document ´EQUATIONS AUX (Page 34-38)

La vraie g´en´eralisation attendue n’est pas tellement le passage du cas fuchsien au cas irr´egulier (qui commence `a ˆetre bien compris), mais le passage au cas non ab´elien: comment alors localiser l’effet des singularit´es ? On va proposer une construction int´eressante qui r´ealise platoniquement cette localisation.

Soit AG Ln(C(z)). (Une bonne partie de ce qui suit garde un sens si A∈G Ln(M (C)).) Notons Sing(A)le lieu singulier de A, d´efini comme sui:

Sing(A) ={pˆoles de A dans C} ∪ {pˆoles de A1dans C}. Soit par ailleurs U un ouvert connexe de Cv´erifiant les deux conditions suivantes:

1. π(U) =Eq; la restriction `a U du revˆetementπ: CEqest donc un isomorphisme local.

Un exemple de tel ouvert est toute couronneC(r,R) ={zC|r<|z|<R}, o`u R>r|q|, en particulier les disques ´epoint´esC(0,r)etC(r,∞)pour rR+.

2. Uq1USing(A) = /0; l’ouvert U ne contient donc aucune paire singuli`ere {z,qz} ⊂ Sing(A). (Une bonne partie de ce qui suit reste valable sans cette condition.)

On pose alors:

FU,A=U×Cn

A

,

avec la mˆeme d´efinition de∼A que pr´ec´edemment. C’est un fibr´e vectoriel holomorphe sur Eq. Le faisceau des sections se calcule ainsi:

Γ(V,FU,A) ={XO U∩π1(V)n

| σqX=AX}.

Une section X ∈Γ(V,FU,A), vue comme fonction holomorphe U∩π1(V), admet automatique-ment un prolongeautomatique-ment m´eromorphe `aπ1(V), en vertu de l’´equation fonctionnelleσqX=AX . On peut d´ecrire le fibr´eFU,Aen termes de diviseurs matriciels, proches de [41]. Pour cela on introduit une solution m´eromorphe fondamentaleX0G Ln(M (C))deσqX=AX . (Il en existe pour les mˆemes raisons qu’auparavant.) Alors le faisceau FU,A est isomorphe, via la transformation de jauge X=X0Y , au faisceauFU,X0 d´efini par:

Γ(V,FU,X0) ={OEq(V)n |X0Y est holomorphe sur U∩π1(V)}.

On a not´e ici OEq le faisceau des fonctions holomorphes sur Eq. Il s’identifie naturellement au faisceau V 7→OC1(V))σq des fonctions holomorphes σq-invariantes sur C, ce qui donne un sens au produitX0Y .

Application souhait´ee `a la localisation. Si U et U sont deux ouverts v´erifiant les conditions pr´ec´edentes, il y a un isomorphisme m´eromorphe naturelφU,U,A deFU,A surFU,A. Par exemple, si U et Usont des disques ´epoint´es respectivement centr´es en 0 et en∞, on obtient essentiellement la matrice de connexion (sous sa forme intrins`eque).

En g´en´eral, on peut se ramener sans difficult´e au cas o`u Sing(A) ={z1, . . . ,zl}, avec|zi+1|>

|qzi|pour 1≤il1 et zi6=zj pour 1≤i< jl. On peut de plus choisir des r´eels positifs ri

tels que|zi|<ri<|qzi|pour 1≤il. Posons de plus r0=0, rl+1= +∞et Ui=C(ri1,ri)pour 1≤il+1 etφiUi,Ui+1,A pour 1≤il. Alors chaque isomorphisme m´eromorpheφi admet pour seule singularit´e ziEq, et leur produit est la matrice de connexion φ=φU0,Ul+1,A. On a donc localis´e11les singularit´es de celle-ci. De plus, chaque Uipermet de construire des foncteurs fibres, et les valeurs desφi sur Eqfournissent des op´erateurs galoisiens.

Comparons maintenant le probl`eme `a celui du groupe de Stokes. On avait ´egalement une quantit´e non d´enombrable de g´en´erateurs, les Sc,dFˆA(a). Mais ceux-ci ´etaient tous dans un mˆeme groupe unipotent, que l’on a pu remplacer par son alg`ebre de Lie. Une fois le probl`eme lin´earis´e (et ab´elianis´e), on pouvait localiser l’effet des singulari´es par prise de r´esidus. Nous ne savons rien faire de tel ici, parce que nous ne connaissons pas de forme normale maniable pour lesφi.

Il est `a noter que Krichever a r´eussi dans [18] `a traiter un probl`eme analogue pour les ´equations aux diff´erences.

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11On a choisi d’utiliser de vraies couronnes, `a bords circulaires. En fait, on pourrait prendre des couronnes topologiques, n’imposer aucune condition aux ziet les parcourir dans n’importe quel ordre. Une g´eom´etrie et une combinatoire de Cinterviennent donc ici.

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