La vraie g´en´eralisation attendue n’est pas tellement le passage du cas fuchsien au cas irr´egulier (qui commence `a ˆetre bien compris), mais le passage au cas non ab´elien: comment alors localiser l’effet des singularit´es ? On va proposer une construction int´eressante qui r´ealise platoniquement cette localisation.
Soit A∈G Ln(C(z)). (Une bonne partie de ce qui suit garde un sens si A∈G Ln(M (C∗)).) Notons Sing(A)le lieu singulier de A, d´efini comme sui:
Sing(A) ={pˆoles de A dans C∗} ∪ {pˆoles de A−1dans C∗}. Soit par ailleurs U un ouvert connexe de C∗v´erifiant les deux conditions suivantes:
1. π(U) =Eq; la restriction `a U du revˆetementπ: C∗→Eqest donc un isomorphisme local.
Un exemple de tel ouvert est toute couronneC(r,R) ={z∈C∗|r<|z|<R}, o`u R>r|q|, en particulier les disques ´epoint´esC(0,r)etC(r,∞)pour r∈R∗+.
2. U∩q−1U∩Sing(A) = /0; l’ouvert U ne contient donc aucune paire singuli`ere {z,qz} ⊂ Sing(A). (Une bonne partie de ce qui suit reste valable sans cette condition.)
On pose alors:
FU,A=U×Cn
∼A
,
avec la mˆeme d´efinition de∼A que pr´ec´edemment. C’est un fibr´e vectoriel holomorphe sur Eq. Le faisceau des sections se calcule ainsi:
Γ(V,FU,A) ={X∈O U∩π−1(V)n
| σqX=AX}.
Une section X ∈Γ(V,FU,A), vue comme fonction holomorphe U∩π−1(V), admet automatique-ment un prolongeautomatique-ment m´eromorphe `aπ−1(V), en vertu de l’´equation fonctionnelleσqX=AX . On peut d´ecrire le fibr´eFU,Aen termes de diviseurs matriciels, proches de [41]. Pour cela on introduit une solution m´eromorphe fondamentaleX0∈G Ln(M (C∗))deσqX=AX . (Il en existe pour les mˆemes raisons qu’auparavant.) Alors le faisceau FU,A est isomorphe, via la transformation de jauge X=X0Y , au faisceauFU,X0 d´efini par:
Γ(V,FU,X0) ={OEq(V)n |X0Y est holomorphe sur U∩π−1(V)}.
On a not´e ici OEq le faisceau des fonctions holomorphes sur Eq. Il s’identifie naturellement au faisceau V 7→OC∗(π−1(V))σq des fonctions holomorphes σq-invariantes sur C∗, ce qui donne un sens au produitX0Y .
Application souhait´ee `a la localisation. Si U et U′ sont deux ouverts v´erifiant les conditions pr´ec´edentes, il y a un isomorphisme m´eromorphe naturelφU,U′,A deFU,A surFU′,A. Par exemple, si U et U′sont des disques ´epoint´es respectivement centr´es en 0 et en∞, on obtient essentiellement la matrice de connexion (sous sa forme intrins`eque).
En g´en´eral, on peut se ramener sans difficult´e au cas o`u Sing(A) ={z1, . . . ,zl}, avec|zi+1|>
|qzi|pour 1≤i≤l−1 et zi6=zj pour 1≤i< j≤l. On peut de plus choisir des r´eels positifs ri
tels que|zi|<ri<|qzi|pour 1≤i≤l. Posons de plus r0=0, rl+1= +∞et Ui=C(ri−1,ri)pour 1≤i≤l+1 etφi=φUi,Ui+1,A pour 1≤i≤l. Alors chaque isomorphisme m´eromorpheφi admet pour seule singularit´e zi∈Eq, et leur produit est la matrice de connexion φ=φU0,Ul+1,A. On a donc localis´e11les singularit´es de celle-ci. De plus, chaque Uipermet de construire des foncteurs fibres, et les valeurs desφi sur Eqfournissent des op´erateurs galoisiens.
Comparons maintenant le probl`eme `a celui du groupe de Stokes. On avait ´egalement une quantit´e non d´enombrable de g´en´erateurs, les Sc,dFˆA(a). Mais ceux-ci ´etaient tous dans un mˆeme groupe unipotent, que l’on a pu remplacer par son alg`ebre de Lie. Une fois le probl`eme lin´earis´e (et ab´elianis´e), on pouvait localiser l’effet des singulari´es par prise de r´esidus. Nous ne savons rien faire de tel ici, parce que nous ne connaissons pas de forme normale maniable pour lesφi.
Il est `a noter que Krichever a r´eussi dans [18] `a traiter un probl`eme analogue pour les ´equations aux diff´erences.
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11On a choisi d’utiliser de vraies couronnes, `a bords circulaires. En fait, on pourrait prendre des couronnes topologiques, n’imposer aucune condition aux ziet les parcourir dans n’importe quel ordre. Une g´eom´etrie et une combinatoire de C∗interviennent donc ici.
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