Adapter la taille du faisceau de mesure au nuage atomique permet d’optimiser la d´etection non destructive. Avant de mesurer exp´erimentalement la taille du faisceau, nous calculons ici la valeur th´eorique d’un point de vue ondulatoire et confirmons la valeur obtenue dans l’approximation g´eom´etrique.
B.1 Approche ondulatoire
Soit le syst`eme optique indiqu´e sur la Fig. 2.10 compos´e d’une lentille de rayon L et de distance focale f = 300 mm. Le faisceau incident arrive collimat´e sur cette lentille, et on cherche la largeur au col du faisceau w0 apr`es la lentille.
Dans cette section, on r´esout le probl`eme d’un point de vue ondulatoire en utilisant la m´ethode de la matrice ABCD et le param`etre complexe q. Le param`etre q donne les propri´et´es du faisceau `a une certaine distance z, il est d´efini par son inverse :
1 q = 1 R(z)− iλ πw(z)2, (B.1)
o`u R(z) et w(z) sont respectivement le rayon de courbure et la taille du faisceau.
On part du faisceau collimat´e `a une distance d avant la lentille, et calcule la largeur au col du faisceau `a une distance D apr`es la lentille. On note q1 le param`etre complexe du faisceau incident collimat´e, et q celui `a la largeur au col du faisceau. Pour ces deux positions du faisceau, le rayon de courbure est infini, donc le param`etre du faisceau est un imaginaire pur de la forme :
q = iπw 2 0
λ , (B.2)
pour le param`etre q de largeur au col w0 et :
q1= iπw2
λ , (B.3)
B.2. Mesure exp´erimentale
La m´ethode de la matrice ABCD nous donne la relation g´en´erale :
q = Aq1+ B
Cq1+ D (B.4)
La matrice ABCD est le produit de toutes les matrices li´ees `a chaque composant du syst`eme travers´e par le faisceau. Soit ici, le faisceau part de la position de param`etre q1, parcourt la distance d, traverse la lentille, puis parcourt la distance D o`u il arrive au col de taille w0. Donc, la matrice ABCD est ici le produit de trois matrices et s’´ecrit :
A B C D ! = 1 D 0 1 ! 1 0 −1 f 1 ! 1 d 0 1 ! (B.5) = 1 − D f d + D −d.Df −f1 1 −df ! . (B.6)
En rempla¸cant les valeurs de A,B,C et D dans l’Eq B.4, et en multipliant par le complexe conjugu´e on trouve q sous la forme complexe :
q = λ2f2(d + D − dDf )(1 −fd) −πλ22wf4(1 − Df) λ2(f − d)2+ π2w4 + (B.7) i λf 2πw2 λ2(f − d)2+ π2w4. (B.8)
Et comme q est un imaginaire pur, nous avons le syst`eme suivant : πw02 λ = λf2πw2 λ2(f − d)2+ π2w4, (B.9) 0 = λ2f2(d + D − dDf )(1 − df) −πλ22wf4(1 − Df) λ2(f − d)2+ π2w4 . (B.10)
La taille au col du faisceau w0 est exprim´e `a partir de l’Eq. B.9, et l’Eq B.10 nous donne une condition sur les param`etres d, D et f .
L’´equation B.9 nous donne l’expression de la largeur au col w0 :
w0 = wf λ
p
λ2(f − d)2+ w4π2 (B.11)
Le terme du d´enominateur λ2(f − d)2 est le terme ondulatoire d’ordre sup´erieur par rapport `
a l’approximation g´eom´etrique. En effet, si par sym´etrie autour de la lentille on pose (i.e. d = D = f), on retrouve l’approximation g´eom´etrique avec L = w ici.
En calculant les ordres de grandeur des termes, on trouve w4π2 > λ2(f − d)2 de deux ordres de grandeur, donc le terme ondulatoire est n´egligeable et l’approximation g´eom´etrique est valide.
B.2 Mesure exp´erimentale
Le col du faisceau est mesur´e grˆace `a une m´ethode de Foucaultage avec une roue `a crans. Cette roue dispose de cran `a intervalles r´eguliers qui, lorsqu’elle tourne, laisse le faisceau se propager ou le coupe alternativement. Pour diff´erentes positions de la roue le long de l’axe
Annexe B. Calcul et mesure exp´erimentale de la largeur au col du faisceau de mesure
optique on aura donc une allure de fonction d’erreur avec une pente centrale grandissante lorsqu’on se rapproche du col minimal.
On va d’abord montrer que la d´eriv´ee de cette fonction d’erreur nous donne directement le col du faisceau. La fonction d’erreur erf(x) s’´ecrit de mani`ere g´en´erale :
erf(x) = √2 π
Z x 0
e−ξ2dξ, (B.12)
dont la d´eriv´ee est :
d dx(erf(x)) = 2 √ π e −x2 . (B.13)
Pour notre ajustement de fonction d’erreur, nous avons choisi :
erf(X) = erf √ 2 (x − x0) σ ! , (B.14)
dont la d´eriv´ee est :
d dx(erf(X)) = 2 √ πexp −2.(x − x0)2 σ2 ! . (B.15)
En comparant l’´equation B.15 avec une fonction gaussienne d´ecrivant un faisceau gaussien :
I(r, z) α exp −2r 2 w2(z)
!
. (B.16)
On trouve directement que notre param`etre d’ajustement σ est exactement ´egal au col du faisceau w(z).
Dans un premier temps, on teste le montage pour mesurer le col du faisceau dans les plans horizontaux et verticaux. Dans un deuxi`eme temps, on ajoutera un t´elescope ×2 entre le collimateur et la lentille qui permettra d’atteindre des largeurs au col plus petites et de voir les effets des aberrations sph´eriques. Il est en effet int´eressant de regarder les aberrations pour estimer l’erreur sur la valeur du col minimal. Pour cela, en plus du t´elescope, on adapte le montage optique pour faire passer un deuxi`eme faisceau `a travers la mˆeme lentille. On peut changer la position horizontale de ce deuxi`eme faisceau, ainsi il frappe donc la lentille `
a des endroits diff´erents : les aberrations changent quelque peu le trajet du faisceau et le col minimal comme nous allons le voir.
On trace sur la Fig. B.1(a)(a) les mesures de la taille du faisceau dans le plan horizon-tal et son ajustement (Eq. B.16) en fonction de la position focale le long de l’axe optique. L’ajustement nous donne le col minimal : w0 = 47 µm ± 2%. La Fig. B.1(b)(b) donne un zoom autour du col minimal, on voit que les donn´ees ne s’ajustent pas parfaitement. En ef-fet, si le faisceau n’est pas bien centr´e sur la lentille, les aberrations g´eom´etriques d´eforment le col : il n’est plus circulaire donc l’approximation gaussienne du faisceau donne un d´ecalage.
On ajoute ensuite le t´elescope entre le collimateur et la lentille, le faisceau frappe la len-tille `a une hauteur deux fois sup´erieur, donc la largeur au col sera deux fois plus petite. La Fig. B.2 montre le faisceau sans (en rouge) et avec t´elescope (en bleu) sur le mˆeme graphique. L’ajustement nous donne des valeurs minimales de w0 = 47 µm ± 2% sans t´elescope et w0,×2 = 24.5 µm ± 2% avec t´elescope : le col minimal est environ la moiti´e. On peut remar-quer que les minima de la taille du faisceau ne sont pas aux mˆemes positions, cela s’explique
B.2. Mesure exp´erimentale 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 300 350 400 450 500 550 waist (mm) distance (mm) Data Fit (a) 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 400 410 420 430 440 450 waist (mm) distance (mm) Data Fit (b)
Figure B.1 – Largeur du faisceau dans le plan horizontal apr`es la lentille. (a) La largeur du faisceau est trac´ee le long de l’axe optique. (b) Agrandissement autour de la largeur au col.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 waist (mm) distance (mm)
without beam expander Fit with beam expander Fit
Figure B.2 – Largeur du faisceau sans (points rouges) et avec t´elescope (points bleus) dans le plan horizontal.
Annexe B. Calcul et mesure exp´erimentale de la largeur au col du faisceau de mesure 0 0.5 1 1.5 2 2.5 300 350 400 450 500 550 600 waist (mm) distance (mm) vertical Fit horizontal Fit
Figure B.3 – Largeur du faisceau dans le plan vertical (en rouge) et dans le plan horizontal (en bleu).
par l’effet des aberrations sph´eriques dues `a la lentille. En effet, comme le faisceau deux fois plus grand frappe la lentille sur une plus grande surface, le foyer est l´eg`erement plus loin sur l’axe optique par rapport au faisceau inf´erieur.
On peut ´egalement tracer le trajet du faisceau dans le plan horizontal (donn´ees pr´ec´e-dentes) compar´e au faisceau dans le plan vertical avec le t´elescope (voir Fig. B.3). L’axe des ordonn´ees nous donne le col du faisceau, et l’axe des abscisses est la position sur l’axe optique comme pr´ec´edemment. L’ajustement nous donne une largeur au col dans le plan vertical de w0,ver = 24.94 µm ± 2% compar´e `a celle dans le plan horizontal de w0,hor = 24.5 µm ± 2% (comme pr´ec´edemment). Cette l´eg`ere diff´erence est due aux aberrations astigmatiques, la valeur du col minimal et surtout sa position sont diff´erentes selon les plans focaux.
Les aberrations sont pr´esentes dans toutes les mesures pr´ec´edentes, elles nous donnent une erreur suppl´ementaire sur les mesures. Il serait alors int´eressant d’avoir un ordre de grandeur de leurs effets.
Pour cela, on adapte le montage optique sans t´elescope pour ins´erer un deuxi`eme faisceau qui passe `a travers la lentille. Ce deuxi`eme faisceau provient du mˆeme laser o`u on utilise un s´eparateur fibr´e pour obtenir deux fibres de sortie, et grˆace `a un cube s´eparateur et un jeu de miroirs ce deuxi`eme faisceau vient se superposer au premier avant de frapper la lentille. On peut d´eplacer ce faisceau dans le plan horizontal d’une mani`ere assez pr´ecise (de quelques dixi`emes de mm) et connaˆıtre ce d´eplacement en le comparant au premier faisceau qui sert de r´ef´erence.
On veut savoir si le fait de d´eplacer le faisceau horizontalement influe sur la valeur du col minimal. Si les deux faisceaux sont bien superpos´es, on voit une courbe de fonction d’erreur unique, comme avant. Mais lorsqu’on d´ecale le deuxi`eme faisceau du premier, deux fonctions d’erreurs se distinguent. On num´erise les donn´ees et on observe de quelle fa¸con le col minimal du deuxi`eme faisceau change selon le d´ecalage, par rapport au faisceau de r´ef´erence. Le tableau B.1 nous donne les valeurs r´ecup´er´ees de l’ajustement de la fonction d’erreur du deuxi`eme
B.2. Mesure exp´erimentale
D´ecalage en mm par rapport au faisceau de r´ef´erence Col minimal du faisceau en µm
−1.8 mm 42.17 ± 0.41 −1.35 mm 42.28 ± 0.71 −0.45 mm 42.28 ± 0.31 0 mm 42.45 ± 0.50 0.45mm 42.47 ± 0.62 0.9mm 42.38 ± 0.42 2.25mm 41.78 ± 0.69
Table B.1 – D´ecalage horizontal et valeur du col minimal
faisceau.
Si le d´ecalage est inf´erieur `a 2.25 mm, qui est une valeur importante pour notre exp´erience, on observe que les aberrations ne changent la largeur au col qu’au dixi`eme de µm. Pour un faible d´esalignement, les aberrations sont n´egligeables sur la taille du faisceau. L’objectif ´etant ici d’adapter la taille du faisceau `a celui du nuage atomique, donc d’obtenir une pr´ecision au µm pr`es.
En diminuant la largeur au col du faisceau, on sait que la mesure sera plus pr´ecise `a mˆeme destructivit´e. Avec cette ´etude, le faisceau peut ˆetre diminu´e `a son col minimal d’un facteur 5 par rapport au faisceau actuel de l’exp´erience.
Annexe C
D´ecoh´erence de l’ensemble
d’atomes dans le pi`ege dipolaire
La principale source de d´ecoh´erence dans notre exp´erience est due au pi`ege dipolaire. Le fort d´eplacement lumineux diff´erentiel sur la transition de mesure |F = 2i → |F0= 3i dˆu au pi`ege dipolaire est compens´e par un d´eplacement inverse grˆace `a un laser `a 1529 nm, comme expliqu´e dans la Sec. 3.2.5.
Le d´eplacement lumineux diff´erentiel sur la transition d’horloge |F = 1i → |F = 2i n’est quant `a lui pas compens´e. Il induit une diff´erence de fr´equence sur l’ensemble atomique, et selon leur position certains atomes vont se d´ephaser. Ce d´ephasage est la source dominante de d´ecoh´erence avec l’´emission spontan´ee de la sonde pour l’´etude du Chap. 4.
Consid´erant la distribution thermique gaussienne des atomes et le potentiel d’allure gaus-sienne (comme mesur´e directement par tomographie voir Sec. 3.2.4), cette d´ecroissance est suppos´ee gaussienne ´egalement, on s’attend donc `a obtenir un contraste en sortie d’un inter-f´erom`etre de Ramsey qui d´ecroit de la mˆeme mani`ere. L’´evolution du contraste C peut ˆetre approxim´e par la fonction :
C(τ ) = exp −1 2 τ ¯ τ 2! , (C.1)
o`u τ est le temps d’interrogation et ¯τest le temps caract´eristique pour lequel C(¯τ ) = √1
e ∼ 0.6. Les d´etails de cette approximation sont expliqu´es dans [Vanderbruggen, 2012].
Exp´erimentalement, on voit ce d´ephasage pour des temps d’interrogation diff´erents lors de s´equences de Ramsey. Apr`es avoir cr´e´e l’´etat coh´erent de spin par le premier pulse π/2, les atomes vont progressivement se d´ephaser pour des temps d’interrogation de plus en plus longs. La Fig. C.1 montre l’´evolution du contraste en fonction du temps d’interrogation τ . On trouve bien une d´ecroissance exponentielle du contraste en sortie de l’interf´erom`etre, o`u le temps caract´eristique est ¯τ = 15 ms pour une temp´erature du nuage d’atomes de 10 µK pi´eg´e dans 10 W de puissance de pi`ege dipolaire intra-cavit´e.
Le r´esultat de la mesure apr`es le temps caract´eristique ¯τ n’est pas pr´ecis et m`ene `a un bruit cons´equent.
Pour atteindre de plus longs temps de coh´erence, on peut compenser le d´eplacement lumineux diff´erentiel par un autre faisceau `a 780 nm plac´e entre les niveaux hyperfins [Kaplan et al., 2002], ou essayer de rephaser les atomes dans le r´egime de rephasage induit de spin
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Temps d’interrogation (ms) C o n tra st e
Figure C.1 – D´ecroissance du contraste en fonction du temps d’interrogation. Le contraste normalis´e en sortie d’un interf´erom`etre de Ramsey est mesur´e pour diff´erents temps d’interrogation (points). Un ajustement par une fonction gaussienne Eq. C.1 est trac´e (ligne). Le temps caract´eristique de la d´ecroissance exponentielle est ¯τ = 15 ms.