Langages rationnels de mots infinis

A la manière de ce que l’on a fait pour les langages de mots finis, on définit les langages rationnels de mots infinis comme le plus petit ensemble contenant des langages de base et fermé pour un certains nombres d’opérations. Pour cela, on commence comme pour les langages de mots finis, sauf qu’on va en plus demander la stabilité par l’opération L 7→ Lω_{. Dès lors, la classe obtenue contient des langages}

de mots finis et infinis. Les langages rationnels de mots infinis sont alors définis comme les langages de mots infinis appartenant à la classe précédente.

Définition 1.22 Etant donné un alphabet A, la classe des langages ∞-rationnels sur A est la plus petit classe de langages Rat A∞_{satisfaisant les propriétés suivantes :}

– ∅ ∈ Rat A∞.

– {a} ∈ Rat A∞ _{pour toute lettre a ∈ A.}

– Rat A∞ _{est fermé pour l’union.}

– pour tout langage de mots finis L et pour tout langage de mots finis ou infinis L′_{, si L,L}′ _{∈ Rat A}∞ _{alors LL}′ _{∈ Rat A}∞_.

– pour tout langage de mots finis L, si L ∈ Rat A∞ _{alors L}∗ _{∈ Rat A}∞ _et

Lω _{∈ Rat A}∞_.

Enfin, la classe des langages ω-rationnels sur A est l’ensembles des langages de mots infinis appartenant à Rat A∞_{, c’est-à-dire que Rat A}ω _{= Rat A}∞_{∩ P(A}ω_).

Remarque 1.3 On a également que Rat A∗ _{est l’ensemble des langages de mots}

finis appartenant à Rat A∞_{, c’est-à-dire que Rat A}∗ _{= Rat A}∞_{∩ P(A}∗_).

Comme dans le cas des langages rationnels, on utilise les expressions rationnelles pour représenter les langages ∞-rationnels (et ω-rationnels).

Définition 1.23 Les expressions ∞-rationnelles et leur langage ∞-rationnel asso- cié, sont définis récursivement :

– ∅ est une expression ∞-rationnelle et est associée au langage ∞-rationnel ∅. – a est une expression ∞-rationnelle et est associée au langage ∞-rationnel {a}

pour toute lettre a ∈ A.

– ε est une expression ∞-rationnelle et est associée au langage ∞-rationnel {ε}. – si E1 et E2 sont des expressions ∞-rationnelles respectivement associées aux

langages ∞-rationnels L1 et L2, (E1∪ E2) est une expression ∞-rationnelles

– si E1 et E2 sont des expressions ∞-rationnelles respectivement associées aux

langages ∞-rationnels L1 et L2 et si de plus E1 ne contient pas de ω (c’est-

à-dire que L1 est un langage de mots finis), (E1 · E2), E1∗ et E1ω sont des

expressions ∞-rationnelles respectivement associées aux langages ∞-rationnels L1· L2, L∗1 et Lω1.

Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on supprime les parenthèses inutiles.

Dans la suite, on se permettra l’abus de langage consistant à confondre une expression ∞-rationnelle avec le langage qu’elle représente. Enfin, les expressions ∞-rationnelles généralisant les expressions rationnelles, on les confondra avec ces dernières.

Automates de Büchi et langages reconnaissables

Comme dans le cadre des mots finis, on propose un modèle de machines recon- naissant exactement les langages rationnels : les automates de Büchi. Les automates de Büchi fonctionnent comme les automates pour les mots finis, sauf en ce qui concerne la procédure d’acceptation. En effet, l’acceptation par état final n’est plus très pertinente dans le cas des mots infinis puisque la lecture d’un tel mot ne se termine jamais. Cependant, le nombre d’états étant fini, lors de la lecture d’un mot infini, certains états vont être infiniment souvent visités. Dès lors, le critère adopté pour décider si un calcul est acceptant ou non n’est plus le dernier état atteint, mais l’ensemble des états infiniment souvent visités au cours de la lecture du mot infini par l’automate.

Plus formellement, on a les définitions suivantes.

Définition 1.24 (Automate de Büchi) Un automate de Büchi A est un quintu- plet hQ,A,I,F,δi, où Q est un ensemble fini d’états, A est un alphabet fini, I ⊆ Q est un sous-ensemble de Q appelé ensemble des états initiaux, F ⊆ Q est un sous- ensemble de Q appelé ensemble des états finaux, et δ est une application de Q × A dans P(Q), appelée fonction de transition.

Définition 1.25 Etant donné un automate de Büchi A = hQ,A,I,F,δi, on dit qu’il y a une transition d’un état p à un état q d’étiquette a, ce que l’on note p−→ q sia q ∈ δ(p,a). Un calcul c : q0 a1 −→ q1 a2 −→ q2 an

−→ q3· · · est une suite de transitions telles

que l’origine de chacune coïncide avec l’extrémité de la précédente. Le mot a1a2a3· · ·

est appelée l’étiquette du calcul c. L’état q0 est appelé origine de c. Lorsque le calcul

c est infini, on note Inf (c) l’ensemble des états qui apparaissent infiniment souvent dans c, c’est-à-dire Inf (c) = {q ∈ Q | ∃∞_{i t.q. q}

i = q}. Enfin, un calcul acceptant

est un calcul infini c dont l’origine est un état initial et tel que Inf (c) ∩ F 6= ∅. Définition 1.26 Un mot infini u est accepté (ou reconnu) par un automate de Büchi A s’il est l’étiquette d’au moins un calcul acceptant de A. On note L(A) l’ensemble des mots acceptés par l’automate A, et L(A) est appelé langage reconnu par A.

La représentation graphique d’un automate de Büchi est la même que celle d’un automate pour les mots finis, à la seule différence que les états finaux ne possèdent plus de flèche sortante mais sont doublement cerclés.

Exemple 1.6 Soit A = hQ,A,I,F,δi l’automate défini par : – Q = {p,q,r}.

– A = {a,b}. – I = {p}. – F = {q}.

– δ(p,a) = {p}, δ(p,b) = {p,q}, δ(q,a) = {r}, δ(q,b) = {q}, δ(r,a) = {r} et δ(r,b) = {r}.

La représentation graphique de cet automate est donnée par la figure 1.5. Le langage reconnu par A est l’ensemble des mots ne contenant qu’un nombre fini de a, c’est-à-dire que L(A) = {u ∈ {a,b}ω _{| |u|}

a< ∞}.

p b q a r

a,b _b a,b

Fig.1.5 – Représentation graphique d’un automate de Büchi

Les automates de Büchi fournissent donc un autre moyen de représenter des langages de mots infinis. Un langage reconnu par un automate fini est qualifié de reconnaissable

Définition 1.27 Un langage de mots infinis est ω-reconnaissable s’il existe un au- tomate de Büchi qui le reconnaît. Etant donné un alphabet A, on note Rec Aω

l’ensemble des langages ω-reconnaissables sur l’alphabet A.

Quel est le lien entre les langages ω-rationnels de mots infinis et les langages ω- reconnaissables de mots infinis sur un alphabet fini A? La réponse nous est donnée par le théorème de Kleene Büchi

Théorème 1.4 (Kleene Büchi) Pour tout alphabet fini A, les langages ω-rationnels de A et les langages ω-reconnaissables de A coïncident :

Rat A∞ = Rec A∞

Automates de Muller et automates de parité

Dans le cas des mots finis, nous avions définis les automates déterministes, et noté que ceux-ci reconnaissent les mêmes langages que leurs homologues non déter- ministes. De la même façon que pour les mots finis, on peut définir les automates de

Büchi déterministes. Cependant, ces derniers ne reconnaissant pas tous les langages ω-réguliers.

Proposition 1.5 Le langage ω-régulier {u ∈ {a,b}ω _{| |u|}

a < ∞} n’est pas recon-

naissable par un automate déterministe de Büchi.

L’intérêt d’un modèle de calcul déterministe par rapport à un modèle non déter- ministe apparaîtra naturellement au cours de cette thèse, par exemple lorsque nous ferons des produits entre des graphes et des automates. La faiblesse des automates déterministes de Büchi vient certes de leur caractère prévisible, mais aussi de leur condition d’acceptation qui a un champ d’action assez limité, puisqu’elle ne per- met de distinguer que deux types d’états, les bons et les mauvais. On pourrait en effet autoriser des mauvais comportements du moment que d’autres se produisent, c’est-à-dire hiérarchiser les événements et demander que le plus petit état infiniment souvent répété soit dans un certain ensemble. La condition de parité permet cela : on attribue à chaque état un entier, que l’on appelle couleur, et parmi les états ap- paraissant infiniment souvent lors d’un calcul, on regarde celui qui a la plus petite couleur. Si cette couleur est paire, le calcul est acceptant, sinon il ne l’est pas. Plus formellement on a la définition suivante.

Définition 1.28 (Automate de parité) Un automate de parité A est un quin- tuplet hQ,A,I,δ,ρi, où Q est un ensemble fini d’états, A est un alphabet fini, I ⊆ Q est un sous-ensemble de Q appelé ensemble des états initiaux, δ est une application de Q × A dans P(Q), appelée fonction de transition, et ρ est une application de coloriage de Q dans un ensemble fini C ⊂ N de couleurs.

Définition 1.29 Etant donné un automate de parité A = hQ,A,I,δ,ρi, on dit qu’il y a une transition d’un état p à un état q d’étiquette a, ce que l’on note p −→ qa si q ∈ δ(p,a). Un calcul c : q0 a1 −→ q1 a2 −→ q2 an

−→ q3· · · est une suite de transitions

telles que l’origine de chacune coïncide avec l’extrémité de la précédente. Le mot a1a2a3· · · est appelée l’étiquette du calcul c. L’état q0 est appelé origine de c. A un

calcul infini c = q0 a1 −→ q1 a2 −→ q2 an

−→ q3· · · , on associe un mot ρ(c) sur l’alphabet C,

en posant ρ(c) = c1c2· · · avec ci = ρ(qi). On note Inf (ρ(c)) l’ensemble des couleurs

qui apparaissent infiniment souvent dans ρ(c), c’est-à-dire Inf (ρ(c)) = {c ∈ C | ∃∞_{i t.q. ρ(q}

i) = c}. Enfin, un calcul acceptant est un calcul c dont l’origine est un

état initial et tel que min(Inf (c)) est pair.

Un mot infini u est accepté (ou reconnu) par un automate de parité A s’il est l’étiquette d’au moins un calcul acceptant de A. On note L(A) l’ensemble des mots acceptés par l’automate A, et L(A) est appelé langage reconnu par A.

La représentation graphique d’un automate de parité est la même que celle d’un automate de Büchi, à ceci près qu’il n’y a pas d’états finaux donc pas d’états dou- blement cerclé, et que l’on écrit sa couleur à coté de l’étiquette de l’état.

Exemple 1.7 Considérons à nouveau le langage L = {u ∈ {a,b}ω _{| |u|}

a < ∞}. Le

langage L est reconnu par l’automate de parité A = hQ,A,I,δ,C,ρi représenté par la figure 1.6 et défini comme suit :

– A = {a,b}. – I = {p}. – δ(p,a) = δ(q,a) = a et δ(p,b) = δ(q,b) = b. – ρ(p) = 1 et ρ(q) = 2. p/1 q/2 b a a b

Fig. 1.6 – Représentation graphique d’un automate de parité

Remarque 1.4 Les automates de Büchi sont un cas particulier d’automate de pa- rité à deux couleurs, 0 et 1. En effet, étant donné un automate de Büchi hQ,A,I,F,δi, il est facile de voir que l’automate de parité hQ,A,I,ρ,δi où ρ(q) = 0 si q ∈ F et ρ(q) = 1 sinon, reconnaît le même langage.

L’automate de parité donné dans l’exemple précédent utilise deux couleurs, 1 et 2. Il est qualifié d’automate de co-Büchi. Un calcul est acceptant s’il ne visite qu’un nombre fini d’états colorés par 1. La condition de co-Büchi peut être décrite en terme d’états interdits (qui sont ceux colorés par 1) : un calcul est acceptant si et seulement s’il ne visite que finiment souvent des états interdits.

Une autre condition d’acceptation, et donc une autre famille d’automates, est due à Muller.

Définition 1.30 (Automate de Muller) Un automate de Muller A est un quin- tuplet hQ,A,I,F,δi, où Q est un ensemble fini d’états, A est un alphabet fini, I ⊆ Q est un sous-ensemble de Q appelé ensemble des états initiaux, F ⊆ P(Q) est une col- lection de sous-ensembles de Q appelés ensembles terminaux, et δ est une application de Q × A dans P(Q), appelée fonction de transition.

Définition 1.31 Etant donné un automate de Muller A = hQ,A,I,F,δi, on dit qu’il y a une transition d’un état p à un état q d’étiquette a, ce que l’on note p −→ qa si q ∈ δ(p,a). Un calcul c : q0 a1 −→ q1 a2 −→ q2 an

−→ q3· · · est une suite de transitions

telles que l’origine de chacune coïncide avec l’extrémité de la précédente. Le mot a1a2a3· · · est appelée l’étiquette du calcul c. L’état q0 est appelé origine de c. On

note Inf (c) l’ensemble des états qui apparaissent infiniment souvent dans c, c’est- à-dire Inf (c) = {q | ∃∞i t.q. qi = q}. Enfin, un calcul acceptant est un calcul c dont

l’origine est un état initial et tel que Inf (c) ∈ F.

Un mot infini u est accepté (ou reconnu) par un automate de Muller A s’il est l’étiquette d’au moins un calcul acceptant de A. On note L(A) l’ensemble des mots acceptés par l’automate A, et L(A) est appelé langage reconnu par A.

La représentation graphique d’un automate de Muller est la même que celle d’un automate de Büchi, à ceci près qu’il n’y a pas d’états doublement cerclés.

Exemple 1.8 Considérons à nouveau le langage L = {u ∈ {a,b}ω _{| |u|}

a < ∞}. Le

langage L est reconnu par l’automate de Muller A = hQ,A,I,F,δi, représenté par la figure 1.7, et défini comme suit :

– Q = {p,q}. – A = {a,b}. – I = {p}. – δ(p,a) = δ(q,a) = a et δ(p,b) = δ(q,b) = b. – F = {{q}}. p q b a a b

Fig. 1.7 – Représentation graphique d’un automate de Muller

Concernant le pouvoir de reconnaissance des automates de parité et de Muller, on a le résultat suivant [70]

Proposition 1.6 Soit L un langage de mots infinis. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

– il existe un automate de Büchi reconnaissant L;

– il existe un automate déterministe de parité reconnaissant L; – il existe un automate déterministe de Muller reconnaissant L. Automates alternants sur les mots infinis

Signalons enfin que l’on peut également considérer des automates alternants pour reconnaître des mots infinis. Ces derniers sont définis comme précédemment, sauf que maintenant un arbre de calcul peut avoir des branches infinies. La condition d’acceptation doit alors être vérifiée pour toutes les branches infinies. Pour ce qui est des branches finies, on demande qu’elles se terminent par tt. Ainsi, pour une condition de Büchi, on demandera que toute branche infinie contiennent une infinité d’états finaux. Pour une condition de parité, on demandera que dans toute branche infinie, la plus petite couleur apparaissant infiniment souvent soit paire.

Il est à noter que l’on n’accroît pas le pouvoir de reconnaissance en ajoutant de l’alternance.

Proposition 1.7 Soit L un langage de mots infinis. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

– il existe un automate alternant de parité reconnaissant L; – il existe un automate alternant de Muller reconnaissant L; – il existe un automate de Büchi reconnaissant L.