7.2.1
La familleSD
Nous allons étudier un certain nombre de fragments deSD.
Définition 7.2.1 (FragmentsdeSD). FSD est le fragment de SD satisfaisant la conver- gence [définition 4.2.3].
Soit < un ordre strict total sur I ; OSD< est la restriction de SD aux graphes
ordonnés par < [définition 1.3.25].OSD est l’union de tous les OSD<, pour tout ordre
strict total <.
SDD (resp. FSDD, OSDD<,OSDD) est la restriction de SD (resp. FSD, OSD<,OSD)
aux propriétés de décision forte et exclusive [définition 1.3.23].
La notation « DD » se réfère aux diagrammes de décision ; on considère que satis- faire la décision forte et la décision exclusive — c’est-à-dire ne contenir que des nœuds purement disjonctifs ou conjonctifs, et que des nœuds de décision avec arcs sortants disjoints — est constitutif des diagrammes de décision.
Notons que, d’un point de vue formel, puisque⊻ est une variable spéciale, elle n’est pas contrainte par la « décision exclusive ». De plus, cette variable spéciale visant à représenter une disjonction pure, un SD ne peut satisfaire la décision forte que s’il ne contient aucun nœud⊻. Cependant, il faut remarquer qu’un nœud ⊻ sa- tisfaisant la décision exclusive a au plus un seul arc sortant non mort ; il correspond donc à un nœud∨ à un seul fils, qui peut être retiré sans conséquence. Formel- lement, l’exigence « décision forte et exclusive » sur les SDs au format GRDAG revient donc à une exigence plus simple sur les SDs au format diagramme de déci- sion : « tous les nœuds (y compris⊻) doivent satisfaire la décision exclusive ». Dans la suite, « décision exclusive » désignera toujours cette dernière version. Passons à présent à la hiérarchie des langages de la famille deSD ; on peut la représenter par un diagramme d’inclusion.
SD FSD OSD OSD< OSDD< OSDD FSDD SDD
Fig. 7.3 : Hiérarchie d’inclusion des langages de la familleSD. Les langages satis- faisant la décision exclusive sont à l’intérieur du cercle (jaune) de droite.
Proposition 7.2.2. Les résultats d’inclusion présentés en figure 7.3 sont démontrés.
Pour tous ces fragments, la réduction fonctionne de la même manière que pourSD.
Proposition 7.2.3 (Réduction). SoitL un des fragments de SD de la définition 7.2.1. Il existe un algorithme polynomial qui transforme n’importe quelleL-représentation
φ en uneL-représentation réduite équivalente φ′vérifiant∥φ′∥ ⩽ ∥φ∥.
7.2.2
Relations avec les famillesIA et BDD
Notre objectif, en définissant les set-labeled diagrams, était de caractériser la forme prise par les automates à intervalles après une discrétisation suivant un maillage. Ces deux langages sont donc proches l’un de l’autre : cela est logique si l’on remarque qu’ils sont tous deux définis comme des sous-langages deNNF satis- faisant la décision∧-simple. Cependant, à cause de leurs domaines d’interprétation et expressivités littérales différents, aucun des deux n’est inclus dans l’autre.
Proposition 7.2.4. Il est démontré queSD⊈ IA et IA ⊈ SD.
Cependant, après restriction à des variables communes (c’est-à-dire à l’ensemble des variables entières à domaine fini, que nous avons appeléE en section 1.2.1) et des littéraux communs (l’ensemble des singletons d’entiers,SZ), leur similarité de structure devient évidente.
Proposition 7.2.5. Il est démontré queSDSZE =IASZE =SD∩ IA.
Notons que c’est également le cas pour les IAs et SDs convergents : FSDSZE = FIASZE =FSD∩ FIA. En revanche, SDSZE etFSDSZE ne sont pas stables par la procé- dure de réduction que nous avons définie sur les SDs. La figure 7.4 montre pourquoi — et illustre au passage comment le choix d’étiqueter les arcs par des unions rend la convergence plus générale. Il est intéressant de constater, en passant, que res- treindreSD aux variables énumérées rend le langage complet.
x y x 03 8 7 3 0 8 −30 x y x 03 8 7 3 0 8 φIA x y x {0, 3, 8} 7 3 {0, 8} φSD
Fig. 7.4 : En haut : uneSDSZE -représentation φ, sur les variables x et y de domaine [0, . . . , 10]. En bas à gauche : la structure φIAobtenue en appliquant à φ la procédure
de réduction deIA. En bas à droite : la structure φSDobtenue en appliquant à φ la
procédure de réduction deSD. On voit que φIAest toujours dansSDSZE , alors que ce
n’est pas le cas de φSD. En revanche, φSDest convergent, quand φIAne l’est pas.
Proposition 7.2.6.SD est incomplet, mais SDEest complet.
Regardons à présent quelles relations entretiennent les famillesSD et BDD. Étant donné que les SDs sont proches des automates à intervalles, et que l’on sait que BDDIRT ⊆ IA et FBDDIRT ⊆ FIA, on s’attend à des résultats similaires pour les SDs.
Proposition 7.2.7. Les propriétés suivantes sont démontrées :
BDDTZI =SDD, FBDDTZI ⊊ FSDD, OBDDTZI =OSDD,
OBDDTZ<,I =OSDD<.
Cette proposition est une des raisons pour lesquelles nous avons utilisé « DD » dans le nom des SDs satisfaisant la décision exclusive :SDD correspond exactement au langage généralBDD restreint aux variables entières et aux littérauxZ-pavable. En particulier,SDD contient les BDDs booléens classiques, comme le montre la proposition suivante.
Proposition 7.2.8. Il est démontré que
SDDSBB =BDDSBB , OSDDSBB =OBDDSBB ,
OSDDSB<,B =OBDDSB<,B.
On peut également montrer queMDD = OSDDSZE , commeMDD = OBDDSZE . Cepen- dant, il est notable queMDD⊊ OSDDE, à cause de l’expressivité littérale deOSDD. On peut même facilement montrer queOSDDE est strictement plus succinct queMDD.
Proposition 7.2.9. Il est démontré queMDD⩽̸sOSDDE.
En résumé, la familleSD est très liée aux autres langages de type « diagrammes de décision », mais généralise les diagrammes de décision binaires et multivalués selon plusieurs axes :
• variables plus générales queB et E ;
• expressivité littérale moins contrainte, ce qui permet des gains en espace po- tentiellement exponentiels ;
• relâchement de la décision exclusive sur certains fragments, avec notamment la possibilité d’utiliser des nœuds purement disjonctifs.