La syntaxe des ETCM

Cette section illustre les nouveaux opérateurs des ETCM présentés dans la Table 3.7. Les ETCM sont une extension stricte des ECM qui expriment des lan-gages temporisés sous forme de TES. Cela implique que tout ECM peut être in-terprétée comme une ETCM, et représente donc un langage temporisé. Ainsi, une ECM e représente le langage temporisé contenant toutes les TES w dont en reti-rant les délais on obtient un mot non-temporisé appartenant au langage de e défini par la sémantique des ECM.

Expression e, e₁, e₂, . . . : :=

e_ECM (expression ECM)

| O e^c (Start)

| e

c

‡_I (Check)

| e_\a (Masquage)

Table 3.7 – La syntaxe des Expressions Temporisées à Couches Mémoires (ETCM).

Exemple 3.3.1 Étant donné l’ECM ]X1 · X1, elle représente le langage non-temporisé {aa | a ∈ U }. En interprétant cette même expression comme une ETCM, elle représente le langage temporisé des TES de la forme {xax⁰a | a ∈ U , x, x⁰ ∈ Q+}. Chaque lettre des mots du langage est précédée d’un délai. Comme l’expres-sion ne contient aucune contrainte de temps alors les délais peuvent être de durée arbitraire.

Les opérateursO et^c

c

‡_I, inspiré de [25, 8], permettent de spécifier des contraintes sur la durée des mots. Le symbole O s’applique en préfixe d’une expression afin^c d’indiquer le début du calcul de la durée pour les contraintes annotées par c. Le symbole

c

‡_I est l’opérateur de contrainte de temps. Il s’applique en préfixe d’une expression e pour indiquer que la durée des mots représentées par e, depuis le précédent O, est incluse dans l’intervalle I. L’intervalle I est un sous-ensemble^c continu de [0, ∞[.

Exemple 3.3.2 Par exemple, l’expression a· O b · c¹

1

‡_[1,1] ·d ‡¹_[2,2] représente les séquences d’événements temporisés de la forme x_aax_bbx_ccx_dd où x_a, x_b, x_c, x_d ∈ Q tel que x_b+ x_c = 1 et x_b + x_c+ x_d = 2. Il n’y a aucune contrainte sur le délai x_a précédant l’événement a.

L’identifiant c, en exposant des deux opérateurs, permet d’exprimer des contraintes de temps qui se chevauchent sur l’expression, comme dans l’exemple 3.3.3. Ces indices sont l’équivalent des couleurs dans les expressions temporisées équilibrées [8], où encore des horloges dans les automates temporisés.

Exemple 3.3.3 Par exemple, l’expression O a·¹ O b²

1

‡_[1,1] ·c ‡²_[1,1] contient deux contraintes de temps croisées. Les mots reconnus par cette expression sont de la forme x_aax_bbx_cc. La contrainte de temps d’indice 1 indique que la durée de ab doit être égale à 1, c’est-à-dire x_a+ x_b = 1. La contrainte d’indice 2 indique que la durée de bc doit être égale à 1, c’est-à-dire xb+ xc= 1.

L’initialisation de la mesure de la durée par O peut apparaître plusieurs fois^c dans une expression pour le même exposant c. Cela peut notamment se pro-duire avec l’utilisation de l’itération ∗ ou de la disjonction +. Pour vérifier si une contrainte de temps

c

‡_I est satisfaite, on mesure la durée à partir duO le plus^c proche qui précède

c

‡_I, ou le début du mot si aucun O ne précède.^c

Exemple 3.3.4 En prenant l’exemple de l’expression e = a · (b

1

‡_[0,1] · O c)^{1 ∗}/∅/ on peut se représenter les contraintes de temps en indiquant dans les mots les symbolesO et^c

c

‡_I. Ainsi, les mots de cette expression sont de la forme : x_aax_bb

1 ‡_[0,1]O¹ x_ccx⁰_bb 1 ‡_[0,1]O x^{1 0}ccx⁰⁰_bb 1 ‡_[0,1] . . . Chaque contrainte 1

‡_[0,1] est mesurée par rapport au O qui lui précède. La pre-¹ mière contrainte n’est précédée par aucun O, la durée est alors mesurée depuis le¹ début du mot, donc on en déduit que x_a+ x_b ∈ [0, 1]. Les contraintes suivantes sont systématiquement précédées d’un O, donc on déduit les contraintes x¹ c+ x⁰_b ∈ [0, 1], x⁰_c+ x⁰⁰_b ∈ [0, 1]... Le langage de l’expression e est donc l’ensemble des séquences d’événements temporisés de la forme a(bc)^∗ tel que le délai séparant deux b est toujours inférieur à 1 unité de temps.

Le masquage

Pour des raisons techniques (généralisation du mot vide) on introduit l’opéra-teur de masquage de lettre, noté e\a, où a ∈ Σ, qui permet de cacher des lettres de

3.3. LES EXPRESSIONS TEMPORISÉES 61 Σ dans le langage représenté par e. Masquer une lettre a dans un mot ou un langage signifie remplacer toutes les occurrences de cette lettre par le mot vide ε dans tous les mots du langage représenté. Cela permet donc de représenter explicitement le mot vide ε dans les ECM.

Exemple 3.3.5 Par exemple l’expression ((ab)^∗/∅/c)\b, représente le langage de (ab)^∗c dont masque la lettre b. Le langage de (ab)^∗c est l’ensemble des mots de la forme ababab . . . abc où le sous-mot ab apparaît un nombre arbitraire de fois, ou voire même absent. Ainsi, ((ab)^∗/∅/c)\b représente l’ensemble des mots de la forme :

aεaε . . . aεc = a^∗c

Le but premier de cet opérateur est de permettre l’expression des contraintes de temps qui débutent ou se terminent entre deux événements. En effet, l’opérateurO^c commence à mesurer la durée de l’expression à partir de la dernière lettre précédant l’expression sur laquelle il est appliqué. Par exemple, dans l’expression : a·O b¹

1

‡_I ·c, la durée mesurée est le délais depuis a. Ainsi, la durée est mesurée à partir de a. De même,

c

‡_I indique que la contrainte de temps est mesurée à l’instant de la dernière de l’expression sur laquelle elle est appliquée. Dans l’exemple précédent, on mesure la contrainte à l’instant exact de b. Le masquage permet de faire disparaître des lettres sur lesquelles des contraintes de temps sont définies et donc de faire débuter ou terminer la mesure de la durée entre deux lettres.

La possibilité d’exprimer de telles contraintes temporelles sur des événements silencieux accroît l’expressivité des ETCM. En effet, il est démontré dans [17] qu’il existe des contraintes qui ne sont pas exprimables sans cette fonctionnalité. Exemple 3.3.6 En reprenant l’exemple de [17], on représente le langage des mots dont les lettres sont séparées par des délais de longueur paire avec l’expression :

((O b¹

1

‡_[2,2])^∗/∅/a)^∗/∅/_\b

Les mots de ce langage sont de la forme x₁ax₂a . . . où ∀i, x_i mod 2 = 0. La pre-mière itération de l’expression, (O b¹

1

‡_[2,2])^∗/∅/ contient la lettre b qui est masquée, et spécifie la possibilité d’accepter plusieurs délais de 2 unités de temps avant une lettre a.

L’opérateur de masquage permet de spécifier des contraintes de temps sur le délai suivant la dernière lettre du mot. Cependant, comme indiqué dans la Section 3.3.1, nous ne faisons pas la distinction entre des mots qui ne diffèrent que par leurs délais finaux. Ainsi, la contrainte de temps sur le délai final permet uniquement d’agir sur sa valeur minimale.

Exemple 3.3.7 Par exemple, l’expression (a^∗/∅/·O b¹

1

‡_[2,3])\b représente, avant le masquage, l’ensemble des séquences d’événements temporisés composé d’une répé-tition de l’événement a un nombre quelconque de fois suivant d’un b précédé d’un délai de 2 à 3 unités de temps. Ainsi, les TES représentées sont celles dont la forme canonique appartient à {x_aax⁰_aa . . . xn

aax_bb | x_b ∈ [2, 3]}. Donc, dans les séquences effectivement représentées, le b peut être suivi par un délai quelconque.

Une fois le masquage pris en compte, le b est remplacé par ε dans toutes les TES du langage précédemment décrit : {x_aax⁰_aa . . . xn

aax_bε | x_b ∈ [2, 3]}. Cet ensemble contient toutes les séquences composées d’une répétition de a et se terminant par un délai d’au moins 2 unités de temps. C’est un cas particulier où la borne maximale de la contrainte de temps ne restreint pas le langage.