A trajetória histórica da Matemática mostra que sua introdução como disciplina na escola formal aconteceu pela junção de conhecimentos matemáticos que eram realizados fora dos domínios de uma mesma disciplina. Perez (2009) cita Silva (1999) que comenta a necessidade de conhecer a história da Matemática para desenvolver concepções mais realistas sobre sua natureza, considerando que sua evolução “tem estado condicionada pelas necessidades do cotidiano e pelas aplicações no desenvolvimento das ciências”. Isso contribui para a complexidade em compreender as concepções de Matemática, e justificam-se as discussões quando o assunto é determinar quais saberes são necessários para formar os conteúdos da disciplina Matemática na escola formal.
Atualmente, a tendência tem sido considerar a Matemática como uma ciência dinâmica que está sempre em construção, conforme pontua Perez (2009). Alia-se a esta dinâmica as mudanças significativas que vêm ocorrendo na sociedade do conhecimento que caracteriza o mundo de hoje. Segundo Velloso e Albuquerque (2004, p. 58), Tarso Genro assim se pronunciou “nosso cotidiano evidencia o fim de muitos postos de trabalho [...] Ao mesmo tempo, novos serviços comparecem à cena social com exigências reveladoras de uma nova forma de mais-valia: a mais valia intelectual”.
Estas mudanças e transformações têm ensejado uma política educacional voltada para a inclusão e desenvolvimento social que visa “ampliar o acesso a todas as etapas da educação básica e de garantir padrões de qualidade social ao ensino público brasileiro” (Velloso e Albuquerque, 2004, p. 57). Neste sentido, a escolarização exige um conhecimento que tenha necessariamente como base a participação social e política.
Velloso e Albuquerque (2004, p. 59) registraram o pronunciamento de Tarso Genro sobre as mudanças e transformações sociais e políticas que o mundo de hoje está atravessando, espera-se que a escola seja a base de sustentação para que elas ocorram,
Por isso, à escola não se pode mais pedir apenas a transmissão de informações. As informações a serem repassadas pela escola precisam ser permeadas pela busca de novos sentidos e de novas realidades. Somente assim, no espaço escolar talhado em anos sequenciais, será possível que o professor ensine, que o aluno aprenda e que ambos continuem a aprender por intermédio de outros meios extraescolares. Consequentemente, no desenvolvimento das capacidades abstrativas que o espaço escolar propicia como formação básica inicial, haverá o gosto por continuar a “aprender aprendendo” – desde que, logicamente, alguém ensine; haverá a inclusão de aspectos éticos e socioculturais como componentes curriculares, o que insere, na rede de informações, conteúdos vinculados às problemáticas sociais (VELLOSO e ALBUQUERQUE , 2004, p. 59).
Os autores consideram que para estas mudanças acontecerem faz-se necessário um padrão de ensino que coloque o conhecimento no centro das preocupações das políticas de um sistema educacional que prioriza a pesquisa científica séria, compromissada com os valores democráticos e com a qualidade social da educação. Isso significa conduzir o sistema de ensino pela reflexão do papel social da escola, ou seja, direcionar a prática pedagógica para a democratização do saber.
Este direcionamento encontra um campo fértil quando se trabalha a Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, pois conforme comentam Nunes e Bryant (1997), na fase etária deste nível de ensino, as crianças constroem conhecimentos matemáticos com notável engenhosidade e persistência. Estes
autores não são professores, mas psicólogos interessados no raciocínio das crianças com a certeza do que elas,
...precisam aprender sobre matemática a fim de entender o mundo ao seu redor [pois] sem a matemática elas ficarão desconfortáveis não apenas na escola, mas em grande parte de suas atividades cotidianas quando partilham bens com seus amigos, planejam gastar sua mesada, discutem sobre velocidade e distância, viajam e têm que começar a entender o mundo do dinheiro, de compras e vendas, hipotecas e apólices de seguro, precisam de habilidades matemáticas (NUNES e BRYANT, 1997, p. 17).
Os autores enfatizam que as atividades que mencionam não são comumente vistas como “matemática”, mas que necessitam de conhecimentos matemáticos ou ainda de técnicas matemáticas aprendidas na escola. É a partir da necessidade do uso da Matemática no dia a dia das pessoas que se justifica a importância das habilidades matemáticas desde a infância,
Em muitas sociedades as pessoas expressam preocupações consideráveis sobre as habilidades matemáticas da população em geral, e quando fazem isso seus pensamentos geralmente se voltam para as crianças escolares e seus professores. A questão geralmente se torna “O que pode ser feito?”, para certificar-se de que no futuro as crianças deixarão a escola com muito mais no sentido da habilidade matemática e conhecimento do que elas possuem no momento (NUNES e BRYANT, 1997, p. 17).
Entre estas sociedades, pode-se destacar a sociedade brasileira que se insere nos constantes movimentos e discussões sobre o ensino de Matemática. Smole e Diniz (2001, p. 11), por exemplo, comentam que,
Todas as discussões atuais sobre competências resultam de uma forte pressão social sobre a escola para que a formação de nossos alunos cuide do desenvolvimento de um número considerável de habilidades de pensamento indo muito além dos conhecimentos específicos e dos procedimentos.
As autoras complementam que esta expectativa sobre a formação dos alunos não é recente, vem de longa data, mas somente após muitos movimentos e reformas do sistema de ensino, hoje a sociedade brasileira tem maior esperança de que os alunos aprendam os conteúdos escolares relacionando adequadamente informações, conhecimentos e habilidades com situações-problemas que enfrentam no seu cotidiano.
Verifica-se esta mesma linha de pensamento nas orientações para o professor elaboradas pelo SAEB (2009, p. 10),
Matemáticos interessados pelo ensino de Matemática nas escolas, já no final do século XIX denunciavam a distância entre o que era ensinado aos jovens no ensino secundário escolar e os conhecimentos de Matemática oriundos da pesquisa acadêmica. É daí que nasce um movimento internacional em Roma em março de 2008, por ocasião do Primeiro Centenário da Comissão Internacional de Instrução Matemática (1908-2008) que teve como subtítulo Refletindo e dando forma ao mundo da Educação Matemática. Com o epíteto de ancião, esse movimento internacional marca a luta centenária de alguns matemáticos em prol do ensino da matemática mais articulado com as pesquisas dos cientistas e apresenta de maneira incontestável sua origem, e os desdobramentos que vêm repercutindo na constituição de um campo de conhecimento específico: a Educação Matemática.
Esta articulação segundo as orientações do SAEB (2009) significa destituir o estigma do ensino da Matemática de ser uma transmissão de símbolos, de propriedades técnicas, de manipulação de fórmulas e demonstrações de teorias, e passar a valorizar novos conteúdos no currículo da Matemática escolar. A partir das pesquisas em Educação Matemática, observa-se que,
Há limites para a compreensão conceitual de conteúdos matemáticos, em qualquer nível de ensino, quando a prática pedagógica do professor prioriza a memória dos alunos e reduz a tarefa do professor apenas a recitar, monitorar o treinamento e avaliar os resultados do rendimento escolar, valorizando sobremaneira a reprodução de modelos previamente treinados em uma única forma de linguagem, a convencional (SAEB, 2009, p. 11).
Estes limites foram bem delineados quando as pesquisas do SAEB (2009) sobre proficiência Matemática da Psicologia Cognitiva confirmaram que pessoas não escolarizadas ou com baixa escolaridade de diferentes faixas etárias sabiam muito mais de Matemática do que alunos regularmente frequentadores da escola formal.
Nas orientações do SAEB (2009) há uma observação de que estes resultados contribuíram para que aumentasse a importância do contexto sociocultural da aprendizagem de Matemática e influenciasse a política do sistema de educação na elaboração dos PCN.
Portanto, os PCN estabeleceram para o ensino, princípios que foram resultados de intensas pesquisas, práticas e debates. No caso do ensino de Matemática, estes princípios estão embasados no fato de que a Matemática é essencial para a construção da cidadania. Assim, os princípios que caracterizam o ensino da Matemática,
... têm origem nas discussões que, nos últimos anos, vêm ocorrendo no Brasil e em outros países. O objetivo tem sido o de adequar o trabalho escolar a uma nova realidade, marcada pela crescente presença dessa área do conhecimento em diversos campos da atividade humana (BRASIL, 2001, p. 20).
Neste sentido considera-se a importância do saber matemático na construção da cidadania; na necessidade deste saber estar ao alcance de todos; na construção e apropriação do conhecimento pelo aluno para que ele compreenda e transforme sua realidade.
O saber matemático ainda deve colaborar para que esta transformação seja embasada na capacitação do aluno em relacionar as observações do mundo real com as representações matemáticas e relacionar estas representações com princípios e conceitos matemáticos na compreensão do significado, ou seja, apreender o significado de um objeto ou acontecimento relacionando-o com outros objetos e acontecimentos.
Um saber matemático que possa propiciar ao aluno estabelecer as conexões com outras disciplinas relevando-se o aspecto social da Matemática e sua contribuição para o desenvolvimento intelectual como um processo em permanente construção. Esse saber ainda deve oportunizar a integração de recursos didáticos
com situações do cotidiano, de forma a proporcionar ao aluno, o exercício da análise e da reflexão.
Finalmente propaga-se para o ensino da Matemática uma avaliação que leva em conta não só o desempenho do aluno, mas também os aspectos da seleção e dimensionamento dos conteúdos, práticas pedagógicas, condições em que se processa o trabalho escolar e as próprias formas de avaliação (BRASIL, 2001).
A partir deste contexto os conteúdos para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental, foram divididos em quatro blocos: números e operações; espaço e forma; grandezas e medidas e tratamento da informação. Contudo, a orientação dos PCN é de que a partir destes blocos de conteúdos sejam explorados os conhecimentos, competências, hábitos e valores socialmente relevantes. Além disso, devem também contribuir para o desenvolvimento intelectual do aluno, capacitando-o para que construa e coordene o pensamento lógico-matemático de forma a ser uma pessoa criativa e crítica, podendo assim interpretar fatos e fenômenos do seu cotidiano.
Na presente dissertação os conteúdos discutidos e analisados referem-se aos “Números Racionais” que de acordo com os PCN (BRASIL, 2001, p. 101), têm como objetivo principal “levar os alunos a perceberem que os números naturais, já conhecidos, são insuficientes para resolver determinados problemas”.
Este objetivo corresponde a um aprendizado diferenciado daquilo que até então tinha sido explorado no ensino da Matemática. Trabalhando com números naturais, o aluno aprende a somar, diminuir, dividir e multiplicar sob um sistema que torna estas operações lógicas sem deter-se a certas regras. No aprendizado destas mesmas operações com números racionais, os algoritmos são mais complexos e, por isso, se não forem corretamente compreendidos promovem confusão no raciocínio,
...em que pese às relações entre números naturais e racionais, a aprendizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construídas pelos alunos acerca dos números naturais, e, portanto, demanda tempo e uma abordagem adequada (BRASIL, 2001, p. 101).
O aspecto lógico referido para o raciocínio do aprendizado dos números naturais faz o aluno encontrar vários obstáculos para o aprendizado dos números racionais. Nos PCN (Brasil, 2001, p. 101) são exemplificados estes obstáculos, como sendo:
- enquanto o número natural é reconhecido por uma grafia única (1, 2, 3, etc.), o “número racional pode ser representado por diferentes (e infinitas) escritas fracionárias, como exemplo 1/3; 2/6; 3/9 são diferentes representações de um mesmo número”;
- quando se compara os números naturais a lógica é que 3>2, ou seja, o número três representa um valor sempre maior que o 2, enquanto que na representação dos números racionais esta lógica se mostra contraditória, pois 1/3<1/2, havendo necessidade de um ensino direcionado para o aluno compreender esta diferença;
- nos números naturais a visualização da escrita dos números de imediato permite verificar a ordem de grandeza, como exemplo, o número 8.345 de imediato percebe-se ser maior que o número 45, enquanto nos números racionais o número 2,125 é menor que o número 2,3, ou seja, o critério de perceber a grandeza do número é diferente;
- na multiplicação de um número natural por outro também natural é lógico pensar que o resultado será um número maior que ambos, por exemplo, 2 x 4 = 8, enquanto que se a multiplicação envolver número racional o resultado apresenta um número natural de menor valor do que aquele que foi multiplicado pelo número racional, por exemplo 10 x 1/2 = 5;
- o antecessor e o sucessor dos números naturais seguem a lógica da grandeza de cada número, enquanto que para os números racionais isso não faz sentido, “uma vez que entre dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional”, por exemplo, entre 0,8 e 0,9 existem os números 0,81, 0,81 ou 0,87.
A tarefa para transpor estes obstáculos necessita “uma organização de ensino que possibilite experiências com diferentes significados e representações” (BRASIL, 2001, p. 104). Esta necessidade requer, entre outras ações, a de construir
o conceito de número racional embasado em um sistema específico de ensino e aprendizagem de frações.