1.3 Hypothèses et critères de séparation
1.3.6 La parcimonie
L’utilisation de la parcimonie des sources est très populaire actuellement en séparation aveugle de sources (on parle de Sparse Component Analysis) [84]. En
1.3. Hypothèses et critères de séparation 27 général, les observations sont transposées dans une représentation améliorant le caractère parcimonieux des sources, c.-à-d. leur nullité dans certaines zones de la représentation, et permettant donc une meilleure estimation des paramètres de mélange (on peut citer l’analyse temps-fréquence, l’analyse temps-échelle et l’analyse multi-résolution). Contrairement à beaucoup d’autres approches, elle permet l’estimation de sources gaussiennes et/ou corrélées ainsi que la séparation des mélanges sous-déterminés.
On distingue trois types d’approches tirant parti de la parcimonie des sources :
1) Une méthode consiste à identifier séparément les colonnes de la ma-
trice de mélange grâce à des techniques de clustering appliquées au nuage de points des observations pour estimer la matrice de mélange [35,36,94,119,120]. Plusieurs techniques de clustering peuvent être employées [228] pour identifier les vecteurs colonnes (K-means [132], K-medians [200], C-means [228]). Une méthode de ce type pour mélanges linéaires à atténuations et retards a été proposée par P. Bofill [33].
2) Une autre méthode suppose l’orthogonalité disjointe des sources qui
est une hypothèse relativement restrictive sur les sources. Elle suppose en effet que dans chaque case du plan temps-fréquence, une seule source soit active. On peut alors en calculant des rapports d’observations identifier les pa- ramètres d’amplitude et de phase de la matrice de mélange puis reconstituer les sources à l’aide de masques temps-fréquence binaires. L’algorithme DUET utilise ce principe et permet la séparation de mélanges linéaires à atténuations et retards [21, 22, 101, 175, 177–179, 229]. Des versions convolutives de DUET ont été développées [32, 133, 134]. Notons l’existence d’approches similaires à DUET, par exemple l’utilisation par C. Choi [49] de l’algorithme de cluste- ring K-means et l’utilisation de la "basis pursuit" basée sur la norme q par R.
Saab [180]. Récemment, une approche de type sous-espace a été proposée par Aissa-El-Bey et al., qui permet la reconstruction des sources lorsque le nombre de sources actives à chaque point temps-fréquence est strictement inférieur au nombre d’observations [17, 18]. Une approche bayésienne de DUET a aussi été étudiée pour ce cas où plusieurs sources sont actives dans une même zone temps-fréquence [128, 129].
3) D’autres méthodes prennent elles en compte la similitude des observa-
tions entre elles pour effectuer l’estimation de la matrice de mélange dans des zones privilégiées du plan temps-fréquence où une seule source est active. L’al- gorithme TIFROM [7,9,195] estime cette similitude en calculant des variances de rapports d’observations dans le plan temps-fréquence (n, ω) :
JT IF ROM = V ar Xi(n, ω) Xj(n, ω) (1.43) Si cette variance est faible dans une zone du plan temps-fréquence, on peut
28 Chapitre 1. Mélanges convolutifs : état de l’art
montrer que la zone en question est mono-source ce qui permet l’identification d’une colonne de la matrice de mélange par moyennage de rapports d’observa- tions. Une version améliorée de cet algorithme a été développée spécifiquement pour les mélanges à atténuations et retards [166, 168].
L’algorithme TIFCORR [66, 71, 196] utilise le coefficient de corrélation4 entre 2 observations dans le plan temps-fréquence :
JT IF CORR=
|Rxixj(n, ω)|2
Rxixi(n, ω)Rxjxj(n, ω)
, (1.44)
où, si n1· · · nL sont les instants de la fenêtre temporelle d’indice n,
Rxixj(n, ω) = 1 L L p=1 xi(np, ω)x∗j(np, ω). (1.45)
Si le module de JT IF CORR est proche de 1 dans une zone temps fréquence, les
deux observations contiennent majoritairement une source dans cette zone, ce qui permet là encore d’identifier une colonne de la matrice de mélange. Chaque coefficient de mélange est cette fois estimé en calculant le rapport entre l’in- tercorrélation de deux observations et l’autocorrélation de l’une d’elles. Une version de TIFCORR utilisant un clustering de type médiane (K-medians) pour l’identification de la matrice de mélange a été proposée [169] ainsi qu’une version pour mélanges à atténuations et retards [167].
TIFCOHERE [10, 11] utilise une fonction statistique appelée fonction de cohérence définie par le rapport entre le module au carré de la densité inter- spectrale de puissance et le produit des densités (auto-)spectrales de puissance segmentées temporellement.
JT IF COHERE =
|Sxixj(n, ω)|2 Sxixi(n, ω)Sxjxj(n, ω)
(1.46) Là encore, une valeur de JT IF COHERE élevée (proche de 1), indique que l’on a
une zone mono-source permettant l’identification d’une colonne de la matrice de mélange. TIFCOHERE identifie ensuite chaque coefficient de mélange par le calcul du rapport entre la densité interspectrale de puissance de deux obser- vations et la densité autospectrale de l’une d’elles. Une version à atténuations et retards a aussi été proposée [10] ainsi qu’une version convolutive [12].
Notons que ces trois algorithmes TIFROM, TIFCORR et TIFCOHERE sont transposables à d’autres domaines d’analyse que le domaine temps-fréquence. Une version temps-échelle de TIFCORR a ainsi été proposée [68] récemment.
4Les auteurs ont proposé deux versions de TIFCORR ; l’une centre les observations dans
la fenêtre d’analyse au préalable, et l’autre non. Nous ne présentons ici que la version non centrée.
1.3. Hypothèses et critères de séparation 29 M. Xiao, S. Xie et Y. Fu ont proposé une méthode de détection des zones mono-sources basée sur une normalisation du vecteur d’observation à chaque instant et sur la dérivation temporelle de ce nouveau vecteur. Si la dérivée du vecteur normalisé est proche de 0 dans une zone du domaine d’analyse, cela indique qu’une seule source est présente dans cette zone et que l’on peut y identifier une colonne de la matrice de mélange (par une approche de type clustering ou par le calcul de rapports d’observations) [226].