La modélisation de la déformation d’un robot industriel

Dans le cadre du soudage par FSW, les déformations liées au chargement externe ne peuvent pas être négligeables. C’est pour cette raison que des mo- dèles de déformation ont été intégrés dans le modèle dynamique du robot.

Les modèles de la flexibilité des manipulateurs, les plus souvent utilisés, peuvent être trouver dans les travaux de recherche de [79], [49], [21] et [90]. Par exemple, Spong a proposé un modèle, comme illustré dans la figure 4.8 en modélisant la flexibilité par un ressort de torsion linaire avec une rigidité K.

Figure 4.8 – Articulation flexible [92]

Dans la thèse d’Al Assad, le modèle a été repris et complété par des mo- dèles d’amortissements [3], voir la figure 4.9.

Dans cette partie, la modélisation de l’élasticité et la définition des para- mètres de rigidité d’un robot sériel utilisé pour effectuer le procédé de FSW ont été défini.

Certains modèles de rigidité ont été présentés dans les travaux suivants [69], [67] pour des robots parallèles et sériels.

Pour définir le modèle élasto-statique du robot industriel utilisé dans ces travaux de recherche, deux hypothèses ont été utilisées pour simplifier les calculs, comme dans les travaux de [4], [112], [29] et [73]. La première hy- pothèse consiste à négliger l’élasticité des corps du robot industriel utilisé devant celle créée au niveau de ses articulations, alors que la deuxième per- met de modéliser chaque liaison pivot des articulations du robot comme un ressort de torsion linaire autour de son axe de rotation [29].

Dumas dans sa thèse [28] a développé plusieurs méthodes pour vérifier ces hypothèses et étudier l’influence de ces approximations sur les performances du système robotisé.

Pour la localisation de la flexibilité générée par l’ensemble du robot au niveau des articulations, il y avait deux possibilités [73] :

• La localisation de la flexibilité aux axes moteurs.

• La localisation de la flexibilité aux axes de sortie des réducteurs. Les deux possibilités sont équivalentes et me donnent à la fin l’expression du vecteur des couples transmis aux corps.

Dans ces travaux, l’axe moteur et l’accouplement ont été supposés rigides et les engrenages ont été supposés flexibles.

θl(6 × 1) représente le vecteur des positions angulaires à la sortie du

réducteur de chaque articulation, on a donc :

θl = N−1θ (4.31)

N : la matrice de transmission de vitesse θ : le vecteur des positions articulaires moteurs

Le robot Kuka KR500-2MT utilisé dans cette thèse, présente des cou- plages entre ses 3 derniers axes 4, 5 et 6. C’est pour cette raison que la

matrice du rapport de transmission de vitesse N , n’est pas diagonale [36] telle que : N =         N11 0 0 0 0 0 0 N22 0 0 0 0 0 0 N33 0 0 0 0 0 0 N44 0 0 0 0 0 N54N55 N55 0 0 0 0 N64N66 N65N66 N66        

Les valeurs diagonales des rapports de réduction Ni ainsi que les coeffi-

cients de couplages cinématiques sont présentées dans les tableau 8.1 et 8.2 de l’annexe i [36].

L’élasticité dans l’articulation a été modélisée comme un ressort de torsion linaire [89] de matrice de rigidité K, le modèle s’écrit :

Γ = K(θl− q) (4.32)

Où q est le vecteur des positions articulaires réelles, K est une matrice de dimension 6 × 6, non diagonale mais symétrique. Γ est le vecteur des couples articulaires en sortie de réducteur.

K =         K1 0 0 0 0 0 0 K2 0 0 0 0 0 0 K3 0 0 0 0 0 0 K4 K54 K64 0 0 0 K54 K5 K65 0 0 0 K64 K65 K6        

Dans sa thèse, [73] a noté que les grandeurs K54, K64 et K65 sont négli-

geables par rapport aux éléments diagonaux. La matrice de rigidité a donc été simplifiée : K =         K1 0 0 0 0 0 0 K2 0 0 0 0 0 0 K3 0 0 0 0 0 0 K4 0 0 0 0 0 0 K5 0 0 0 0 0 0 K6        

L’identification de la matrice de rigidité

Généralement le fabricant d’un robot industriel ne fournit pas à ses clients certaines données et paramètres nécessaires à la modélisation du robot. En effet, pour résoudre certains problèmes liés à l’utilisation du robot et augmen- ter sa facilité d’application ou améliorer ses performances et lui introduire des nouveautés, plusieurs paramètres non connus doivent être déterminés. Parmi ces paramètres, on trouve les paramètres dynamiques, les paramètres d’inertie ainsi que les constantes de la matrice de rigidité.

Ces paramètres peuvent être identifiés par des essais et des mesures ap- pliquées sur le robot en utilisant différentes méthodes et techniques.

A titre d’exemple Abele dans son article [2] a présenté deux méthodes d’identification afin de déterminer la matrice de rigidité d’un robot à 5 axes. La première méthode consiste à bloquer toutes les articulations du robot sauf une et identifier par la suite sa rigidité. Ainsi, la matrice de rigidité a été dé- finie en répétant cette technique avec toutes les articulations du robot. Par conséquence, pour déterminer la matrice de rigidité d’un robot sériel à 6 axes, il suffit de répéter cette expérience seulement 6 fois. Avec cette méthode, les corps du robot ont été considérés comme rigides alors que l’élasticité a été localisée seulement au niveau des articulations.

La deuxième méthode consiste à appliquer des charges sur le robot, mesu- rer le déplacement de l’effecteur et identifier par la suite la matrice de rigidité. Cette méthode donne des résultats plus précis que la première, étant donné qu’elle prend en compte l’élasticité créée au niveau des articulations ainsi que celle créée au niveau des corps du robot.

L’équipe de la robotique du LCFC, en collaboration avec l’institut IS, a élaboré elle-même une nouvelle méthode pour l’identification de la matrice de rigidité d’un robot sériel. Cette méthode consiste à mettre le robot en position d’appui sur un obstacle rigide en variant la force d’appui selon l’axe z de l’outil, voir figure 4.10. Pour différentes configurations de robot, cet essai a été répété plusieurs fois afin d’identifier par la méthode des moindres carrés les raideurs articulaires du robot. Cette identification a été appliquée sur le robot KuKa KR500-2MT.

Figure 4.10 – La mesure des raideurs [36]

Notre robot étant un modèle identique, les mêmes paramètres de rigidité identifiés par ce groupe de recherche ont été utilisés pour calculer et optimi-

ser les erreurs de positionnement de l’outil. Les valeurs des Ki sont illustrées

dans le tableau ci-dessous [36].

Ki Valeur identifiée K1 6.21 106 K2 6.66 106 K3 3.91 106 K4 5.6 105 K5 6.6 105 K6 4.7 105

Table 4.3 – Les raideurs du robot Kuka KR500-2MT

4.4

Compensateur de gravité

4.4.1

Description

Dans notre étude, un robot industriel Kuka KR500 a été utilisé. Ce ma- nipulateur possède un système d’équilibrage pour compenser la gravité. Il permet, généralement de produire une force sur le deuxième axe du robot

le robot KR500-2MT est illustré sur la figure 4.12. Pour plus de détails, ce système d’équilibrage est un vérin à gaz, comme présenté dans la figure 4.11. La force créée par le compensateur est proportionnelle au déplacement du vérin en négligeant les frottements ainsi que les effets thermodynamiques provoqués par la compression du gaz. En fait, ces approximations sont gé- néralement correctes vu que le vérin fonctionne souvent avec des vitesses linaires relativement faibles. La modélisation du compensateur de gravité est donc basée sur la loi de comportement du gaz parfait.

Les efforts générés par ce système doivent être forcément pris en compte dans la modélisation dynamique du robot et plus précisément dans le calcul de la gravité du robot.

Figure 4.11 – Le compensateur de gravité à vérin à gaz

Sur notre modèle dynamique du robot Kuka, le vecteur G a été calculée en prenant en considération la force de compensation de gravité, tel que :

4.4.2

La modélisation du compensateur de gravité