4.2 Etude numérique
4.2.2 La méthode de Monte Carlo
Dans le cas d’un milieu participatif tel que la fumée produite lors d’un incendie, la percep-tion visuelle des objets est altérée par les différents phénomènes d’absorppercep-tion et de diffusion de la lumière.
Les propriétés d’extinction d’un milieu constitué de particules englobent deux phénomènes distincts :
CHAPITRE 4. ETUDE DE LA VISIBILITÉ
– la diffusion, qui consiste en une dispersion de l’énergie dans le milieu.
Un milieu constitué de particules de suie absorbantes et diffusantes peut donc être caracté-risé par trois propriétés radiatives :
– le coefficient d’absorptionκ, qui quantifie la capacité du milieu à absorber l’énergie lu-mineuse ; ce coefficient d’absorption dépend de la concentration du milieu en particules et de la longueur d’onde ;
– le coefficient de diffusionσ, qui caractérise sa faculté à diffuser la lumière, et qui dépend également de la concentration en particules ;
– la fonction de phaseP(θ), qui permet de décrire la répartition angulaire de l’énergie dif-fusée au contact des particules.
Dans la pratique, ces propriétés radiatives dépendent de la particule considérée, et notam-ment de sa dimension et de sa morphologie particulière. Toutefois, on travaillera ici dans un milieu homogène équivalent, avec des propriétés radiatives globales caractérisant un ensemble de particules.
L’estimation des propriétés radiatives d’un ensemble de particules peut être réalisée en uti-lisant la théorie de Mie, en faisant l’hypothèse que les particules sont sphériques. Ce paramètre de taille est défini comme le rapport entre la taille caractéristique de la particule et la longueur d’onde incidente. La connaissance de l’indice optique des particules et de leur paramètre de taille permet alors, en utilisant par exemple la formulation de Bohren et Huffman [111], de dé-terminer les sections efficaces d’absorption et de diffusion des particules ainsi que leur fonction de phase.
A partir de ces données, l’objectif de cette section est de calculer la PSF du système {milieu absorbant-diffusant+lentille}. Pour cela, on va devoir prendre en compte les transferts radiatifs au sein du milieu. La résolution du transfert radiatif est effectuée grâce à la méthode de Monte Carlo dite 2.2 déjà développée au LEMTA [110]. Le principe de cette méthode est le suivant :
1. On lance depuis un point objet des quanta (paquets d’énergie initialement identiques). 2. On suit l’évolution de chaque quantum dans le milieu en prenant en compte les
évene-ments d’absorption et de diffusion qu’il subit.
3. On effectue des statistiques sur les quanta reçus par la lentille et on reconstruit l’image du point objet (PSF) dans le plan focal image de la lentille.
La figure 4.4 schématise la méthode de Monte Carlo pour le suivi des quanta. Émission de quanta
On émet à partir du point objet un grand nombre Nquanta de quanta ayant pour énergie initiale :
Eini = Etot
Nquanta
(4.15) oùEini représente l’énergie initiale d’un quantum etEtotl’énergie totale envoyée depuis le point source. On pourra considérer dans la suite de l’étude une énergie totale unitaire de 1J.
Les quanta sont émis dans un angle solide d’amplitudeθmaxen respectant la loi de Lambert (émission isotrope). La direction d’émission des quanta étant choisie aléatoirement, elle est définie par un angle polaireθet un angle azimutalϕ:
CHAPITRE 4. ETUDE DE LA VISIBILITÉ
FIGURE 4.4 – Schéma de principe de la méthode de Monte Carlo pour le suivi de quanta
ϕ= 2R2π (4.17)
oùR1etR2sont des nombres aléatoires choisis selon une loi uniforme sur l’intervalle[0; 1]. La direction−Ω→
e d’émission du quantum est alors (voir figure 4.5) :
−→
Ωe = cosθ~ex+ sinθcosϕ~ey + sinθsinϕ~ez (4.18) où~exest la normale à la surface.
On notera que l’angle θmax est, dans l’absolu, égal à π
2. Néanmoins, pour des raisons de temps de calcul, on peut se permettre de le réduire dans une certaine mesure (car un quantum émis selon un angle élevé a peu de probabilité d’être diffusé en direction de la lentille).
Suivi des quanta
La méthode de Monte Carlo MMC 2.2 que nous avons choisie pour résoudre le transfert radiatif est basée sur le principe suivant :
– on détermine la position du prochain évènement de diffusion ;
– on calcule la nouvelle direction de propagation du quantum en fonction de sa direction incidente et de la fonction de phase des particules ;
– on évalue l’énergie du quantum atténuée tout le long de son parcours. Longueur d’interaction et évènement de diffusion
On appelle longueur d’interaction de diffusion Lσ la distance qui sépare deux évènements de diffusion consécutifs. A partir du point d’émission du quantum (ou à partir d’un évènement de diffusion), on tire aléatoirement la longueur d’interaction de diffusionLσ selon la formule :
Lσ =−σ1 ln(R) (4.19) oùRest un nombre tiré aléatoirement selon la loi uniforme sur[0; 1]. La longueur d’inter-action permet alors de calculer la position de l’évenement de diffusion suivant. On notera que la longueur moyenne d’interaction de diffusion s’appelle le libre parcours moyen et correspond à l’inverse du coefficient de diffusionσ.
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Diffusion du quantum
Lors d’un évènement de diffusion, on calcule la nouvelle direction de diffusion−Ω→
ddu quantum, qui dépend de sa direction d’incidence−Ω→
i. L’angle polaire de diffusionΘ est déterminé de la façon suivante : RΘ = 1 2 Z Θ 0 P(u) sinudu (4.20)
L’angle azimutalΦest ensuite déterminé avec la relation :
Φ= 2RΦπ (4.21)
oùRΘetRΦ sont des nombres tirés aléatoirement selon la loi uniforme sur[0; 1].
En prenant les notations de la figure 4.5, sur laquelle ~er est la direction d’incidence du quantum, on a :
~er = sinϕcosθ~ex+ sinϕsinθ~ey + cosϕ~ez (4.22)
~eϕ = cosϕcosθ~ex+ cosϕsinθ~ey −sinϕ~ez (4.23)
~eθ =−sinθ~ex+ cosθ~ey (4.24)
FIGURE4.5 – Système de coordonnées cylindriques
La direction de diffusion−Ω→
dest alors donnée par la relation suivante (figure 4.6) :
−→
Ωd= cosΘ~er−sinΦsinΘ~eϕ+ cosΦsinΘ~eθ (4.25) Dans le repère de base, cette relation devient :
−→
Ωd =(cosΘsinϕcosθ−sinΦsinΘcosϕcosθ−cosΦsinΘsinθ)~ex +(cosΘsinϕsinθ−sinΦsinΘcosϕsinθ+ cosΦsinΘcosθ)~ey +(cosΘcosϕ+ sinΦsinΘsinϕ)~ez
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FIGURE4.6 – Direction de diffusion
Absorption du quantum
Le long de son parcours dans le milieu, l’énergie du quantum est absorbée selon la loi de Beer-Lambert :
E =Einiexp(−κL) (4.27) oùLdésigne la distance parcourue par le quantum entre son point de départ et sa position courante etEl’énergie transportée par le quantum à la distanceL.
Arrêt du suivi du quantum
Le suivi du quantum dans le milieu se poursuit jusqu’à l’un des trois évènements suivants : – L’énergie transportée par le quantum devient inférieure à une certaine valeur critique
Elim. En-deçà de cette valeur, on peut considérer que le quantum ne transporte plus d’énergie et que sa contribution pour le calcul de la PSF est donc négligeable.
– Le quantum atteint une position trop éloignée de l’axe de la lentille (distance critique
Daxe) ou trop éloignée de son point d’émission (distance critique Dcentre). Dans ce cas, on considère que le quantum est perdu.
– Le quantum traverse la lentille. Dans ce dernier cas, l’énergie qu’il transporte est suscep-tible de contribuer au calcul de la PSF.
Focalisation par la lentille
On s’intéresse ici aux quanta qui traversent la lentille et vont contribuer au calcul de la PSF. Le quantum qui atteint la lentille va arriver à une certaine position sur la lentille et sous une incidence donnée. La position d’arrivée du quantum dans le plan focal image de la lentille est alors déterminée grâce à une formulation vectorielle des lois de Descartes. La répartition spatiale de l’énergie récoltée dans le plan image de la lentille nous permet de représenter la PSF comme sur la figure 4.3.
Critère de convergence statistique
La méthode de Monte Carlo n’est pas exacte dans le sens où elle est basée sur des processus stochastiques et tirages aléatoires. Elle permet néanmoins de converger vers la solution exacte du problème si le nombre de quanta lancés est suffisamment important. L’utilisation de cette méthode nécessite donc un traitement statistique des données afin de s’assurer que l’on converge bien vers une solution unique. L’algorithme mis en place est le suivant :
1. On lanceNechéchantillons deNquantaquanta, que l’on suit tout au long de leur parcours, et éventuellement jusqu’à la focalisation dans le plan image.
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2. Pour chaque échantilloni(i= 1, ..., Nech), on calcule l’énergieEireçue par la lentille. 3. On calcule la moyenneµE et l’écart-typeσE pour les valeurs deEi:
µE = 1 Nech Nech X i=1 Ei (4.28) σE = v u u t 1 (Nech)(Nech−1) Nech X i=1 (Ei−µE)2 (4.29) 4. Tant que σE
µE est supérieur à un certain seuil, on repart à l’étape 1 en doublant le nombre de quanta à lancer. Si σE
µE est inférieur à ce seuil, on considère que la convergence est atteinte. La PSF du système est alors la moyenne desNechPSF calculées.