2.4 Traitement numérique de la géométrie
3.1.1 La carte du monde et les coordonnées sphériques
Considérons le problème posé par le dessin d’une carte du monde. Comme nous pouvons le voir sur la Figure 3.1, le problème consiste à trouver une bonne manière de “déplier” la surface du monde, afin d’obtenir une surface 2D plate. Comme la surface du monde
A
B
C
D
A
B
C
D
Figure 3.1: Découpez moi un méridien, et je déplierai le monde . . .
est fermée, pour la déplier, il sera nécessaire de la découper. Par exemple, il est possible de la découper le long d’un méridien, à savoir une courbe qui joint les deux poles. Lors du dépliage, nous pouvons remarquer que les deux pôles sont très déformés, et deviennent deux courbes. Le pôle Nord devient le segment[A −C], et le pôle Sud devient le segment [B − D]1. Nous remarquons également que le méridien le long duquel la sphère a été dé-coupée correspond à deux courbes différentes: les segments[A − B] et [C − D]. En d’autres termes, si une ville était située exactement sur ce méridien, elle apparaitrait deux fois sur la carte. Comme nous le montrons sur la Figure 3.2, il est possible de donner à chaque point de la carte deux coordonnées(θ , φ ). Dans le cas de la projection utilisée sur la Figure 3.1, les coordonnées(x, y, z) dans l’espace 3D et les coordonnées (θ , φ ) sur la carte sont liées par l’équation suivante, appelée une équation paramétrique de la sphère :
θ ∈ [0...2.π], φ ∈ [−π ...π] 7→ x(θ , φ ) = R. cos(θ ). cos(φ ) y(θ , φ ) = R. sin(θ ). cos(φ ) z(θ , φ ) = R. sin(φ )
(3.1)
où R dénote le rayon de la sphère. Nous pouvons voir que cette équation est assez dif-férente de l’équation habituelle d’une sphère x2+ y2+ z2= R2, également appelée équation implicite. L’équation implicite fournit un moyen de tester si un point donné appartient à une sphère, alors que l’équation paramétrique fournit un moyen de transformer le rectangle [0 . . . 2.π] × [−π ...π] en une sphère.
Nous donnons les définitions suivantes, liées à l’équation paramétrique:
⋄ Les coordonnées (θ ,φ) en un point p = (x,y,z) sont appelées coordonnées sphériques au point p.
⋄ Les lignes verticales de la carte, définies par θ = Constante, correspondent chacune à une courbe sur la surface 3D, appelée une courbe iso-θ . Dans notre cas, les courbes iso-θ sont des cercles qui traversent les deux pôles de la sphère (à savoir les méridiens du globe).
1A noter que le dépliage utilisé dans une vraie planisphère peut être différent. Dans notre exemple, nous gardons un dépliage qui a une équation très simple, à savoir qui correspond à une paramétrisation plus simple que dans le cas d’une vraie carte du monde. L’article de Michael Floater[FH04]liste quelques unes des méthodes de projection utilisées par les cartographes.
3.1. NOTION DE PARAMÉTRISATION 31
θ φ
θ
φ
0
2π
−π
π
Figure 3.2: Coordonnées sphériques
θ r
φ
r
z
Figure 3.3: Construire une sphère en empilant des disques
⋄ Les lignes horizontales de la carte, définies par φ = Constante correspondent chacune à une courbe iso-φ . Dans notre cas, les courbes iso-φ correspondent aux parallèles du globe, et la courbe iso-φ caractérisée par φ = 0 correspond à l’équateur.
Comme nous pouvons le voir sur la Figure 3.2, dessiner les courbes iso-θ et iso-φ aide à comprendre comment la carte est déformée quand elle est appliquée sur la surface. Sur la carte, les courbes iso-θ et iso-φ sont respectivement des lignes verticales et horizontales, qui forment une grille régulière. Visualiser ce que cette grille devient en appliquant la carte sur la surface permet de voir par exemple que ceci cause de grandes déformations près des pôles. En effet, près des pôles, la forme des carrés de la grille est très nettement altérée. Nous verrons dans la section suivante comment caractériser et mesurer ces déformations. D’autre part, comme le lecteur pourrait légitimement se demander d’où cette équation de la sphère provient, nous tentons à présent de donner une explication intuitive des coordonnées sphériques.
Comme nous le montrons sur la Figure 3.3, nous pouvons considérer une sphère comme un “empilement” de cercles de rayons variables. Un point sur l’un de ces cercles à une hauteur donnée z peut alors être repéré par ses coordonnées x= r cos(θ ), y = r sin(θ ), où rdénote le rayon du cercle considéré (à savoir le rayon de la “tranche”), et oùθ ∈ [0,2.π] est un paramètre qui permet de “tourner autour” de la tranche. Comme nous pouvons le remarquer, r dépend de z (le rayon de la tranche dépend de l’endroit où la tranche est découpée). Comme nous le montrons sur la Figure 3.3, il est possible d’exprimer à la fois r et z en fonction d’un paramètre supplémentaireφ , sous la forme r = R. cos(φ ),z = R. sin(φ ), où R dénote le rayon de la sphère, et où φ ∈ [−π,π] permet de sélectionner la tranche. Ainsi, en remplaçant r et z par leur expression, nous obtenons l’équation paramétrique de la sphère (que nous avons déjà vue précédemment):
θ ∈ [0...2.π], φ ∈ [−π ...π] 7→ x(θ , φ ) = R. cos(θ ). cos(φ ) y(θ , φ ) = R. sin(θ ). cos(φ ) z(θ , φ ) = R. sin(φ )
A
B
C
D
A
B
C
D
A C
B D
A C
B D
A
A
B B D DC
C
φ
0
2π
0 θ 2π
Figure 3.4: Comment construire un tore à partir d’une feuille de papier
Pour résumer, l’équation paramétrique de la sphère explicite “comment construire une sphère”, alors que l’équation usuelle (implicite) permet de tester si un point donné appar-tient à la sphère. Chaque point de la sphère est repéré par un couple unique2de coordon-néesθ et φ , ainsi, la paramétrisation définit un système de coordonnées (curvilignes) sur la sphère. Nous pouvons également remarquer que bien que chaque point de la sphère ait trois coordonnées(x, y, z), deux coordonnées (θ , φ ) suffisent pour le repérer. En réalité, une surface (même plongée dans un espace 3D) est un objet 2D, dont la nature bi-dimentionelle peut être révélée en exhibant une paramétrisation. L’espace paramétrique peut alors être considéré comme une “carte” de la surface.
Avant d’aller plus loin, considérons un autre exemple. Comme nous le montrons sur la Figure 3.1.1, il est facile de transformer un domaine 2D carré en un tore. Une équation paramétrique du tore peut alors s’écrire:
θ ∈ [0...2.π], φ ∈ [0...2.π] 7→ x(θ , φ ) = (R2+ R1. cos(θ )) . cos(φ ) y(θ , φ ) = (R2+ R1. cos(θ )) . sin(φ ) z(θ , φ ) = R1. sin(θ )
(3.3)