Nas questões de conteúdo apresentadas anteriormente, foram discutidos os tópicos considerados essenciais à formação matemática dos estudantes durante o ensino mé- dio, considerando-se a diversidade de carga horária existente nas escolas brasileiras.
Acredita-se que, ao levar em conta o projeto político-pedagógico de cada unidade escolar, os professores possam analisar a pertinência de um trabalho complementar em relação ao conhecimento matemático. Apresentam-se a seguir algumas idéias, mas com a recomendação de que os professores de cada escola defi nam, de acordo com seu contexto escolar, a adequação de um projeto que envolva temas complementares.
São apresentados, a seguir, tópicos que podem servir muito bem aos propósi- tos das feiras e dos clubes de ciências, ou para atividades em laboratórios de Ma- temática, ou ainda para compor, de forma interdisciplinar, a parte diversifi cada do currículo. Alguns desses tópicos também servem para trabalhar as aplicações matemáticas. Em outros tópicos, tem-se o aspecto artístico e lúdico no trabalho de construção de modelos concretos ilustrativos.
Por exemplo, o estudo das curvas cônicas como lugar geométrico de pontos (elipse, parábola e hipérbole), acompanhado de suas equações. As mais simples, se bem escolhida a posição do sistema de coordenadas, geram um tópico inte- ressante, pois trata-se de curvas que podem ser a solução de uma equação geral de grau dois em duas variáveis (vale lembrar que até então esse estudo estava restrito à reta, círculo e parábola). Podem-se, com isso, explicar os princípios de funcionamento de uma antena parabólica, dos espelhos hiperbólicos usados em telescópios e dos espelhos elípticos.
No estudo da geometria, também se podem provocar os alunos com a per- gunta: “Como funcionam certos mecanismos do nosso quotidiano ou certos instrumentos de trabalho?”. São propriedades geométricas que explicam o fun- cionamento de um macaco de carro, dos brinquedos de uma praça infantil, do teodolito, do periscópio, da máquina fotográfi ca, do projetor de imagens. Tam- bém perguntas simples, como “Por que o parafuso é sextavado?” ou “Por que os prismas triangulares, junto com o movimento de rotação, são usados para vei- cular propagandas?”, são respondidas com conhecimento bastante elementar de
geometria, que também possibilita inúmeras atividades de natureza interdiscipli- nar: os poliedros e os cristais, as simetrias nos seres vivos, a concha de Nautilus e a espiral de Arquimedes.
O estudo de poliedros, o Teorema de Euler e a classifi cação dos poliedros platônicos compõem um interessante tópico, em que a construção dos poliedros, via planifi cações feitas com régua e compasso, pode ser uma atividade de grande satisfação estética. Na direção de valorização da Matemática, no seu aspecto esté- tico, existem alguns vídeos que podem servir como ponto de partida de discussão de assuntos tais como simetrias, fractais, o número de ouro, etc.
Um outro tópico de natureza interdisciplinar que pode ser interessante é o estudo de fenômenos que têm registro em escala logarítmica: idade fóssil, inten- sidade de um abalo sísmico, intensidade de um som.
Pode ser bastante interessante levar para a sala da aula a discussão de bri- lhantes idéias geométricas que resolveram certos problemas na Antiguidade. Al- guns desses problemas clássicos: o cálculo do raio da Terra, feito por Eratóstenes no século III a.C.; a solução de Eupalinos na construção de um túnel, 2.500 anos atrás; os diferentes cálculos astronômicos na Grécia antiga, tais como as distân- cias relativas entre Terra, Lua e Sol.
O estudo de diferentes sistemas de coordenadas para o plano e o espaço (car- tesianas, polares, esféricas), e de construção de algumas curvas e superfícies, pro- voca um pensamento matemático generalizador ao ir além do até então restrito universo de retas, círculos e curvas, que são gráfi cos de funções reais, de variável real. Espirais, cilindros, cones, esferas, parabolóides, hiperbolóides são formas geo- métricas que passam a ser descritas em
sistemas de coordenadas, via curvas pa- rametrizadas, superfícies de revolução, gráfi cos de funções de duas variáveis. Nesse tópico, tem-se também a possi- bilidade de um interessante trabalho de natureza interdisciplinar: as caracterís- ticas geométricas dos diferentes tipos de mapa-múndi, que são dadas via trans- formações entre espaços de dimensão
três e dois. Uma introdução à geometria vetorial e às transformações geométricas no plano e no espaço – isometria e homotetia – é também mais uma oportunidade de trabalhar conceitos matemáticos sob os pontos de vista algébrico e geométrico.
Outro tópico que pode ser tratado como tema complementar é o estudo mais aprofundado dos números complexos. Por um lado, podem-se explorar os
Pode ser bastante interessante levar para a sala da aula a discussão de brilhantes
idéias geométricas que resolveram certos problemas na Antiguidade.
aspectos históricos da introdução dos números complexos e de seu papel fun- damental no desenvolvimento da álgebra. Por outro lado, podem-se explorar as conexões entre as operações com números complexos e as transformações geo- métricas no plano.
A maior parte dos conteúdos de Matemática do ensino médio está vinculada a modelos matemáticos de natureza contínua: os números reais e os espaços geo- métricos (reta, plano e espaço tridimensional). O estudo da geometria e das fun- ções de variável real inserem-se nesse contexto, refl etindo o papel fundamental do Cálculo (esse assunto é objeto de estudo na universidade) no desenvolvimen- to das aplicações da Matemática nas Ciências. No entanto, no decorrer do século XX, novas necessidades tecnológicas advindas da introdução dos computadores – que têm uma Matemática Discreta no seu funcionamento – provocaram um grande desenvolvimento dos modelos matemáticos discretos.
Desse processo decorre um desenvolvimento signifi cativo da área de com- binatória, que é a Matemática dos conjuntos fi nitos. No ensino médio, o termo “combinatória” está usualmente restrito ao estudo de problemas de contagem, mas esse é apenas um de seus aspectos. Outros tipos de problemas poderiam ser trabalhados na escola – são aque-
les relativos a conjuntos fi nitos e com enunciados de simples entendimento relativo, mas não necessariamente fá- ceis de resolver. Um exemplo clássico é o problema das pontes de Könisberg, tratado por Euler: dado um conjunto de sete ilhas interligadas por pontes, a pergunta que se coloca é: “Partindo- se de uma das ilhas, é possível passar
pelas demais ilhas e voltar ao ponto de partida, nisso cruzando-se cada uma das pontes uma única vez?” Problemas dessa natureza podem ser utilizados para desenvolver uma série de habilidades importantes: modelar o problema, via es- trutura de grafo – no exemplo, um diagrama em que cada ilha é representada por um ponto e cada ponte é um segmento conectando dois pontos; explorar o problema, identifi cando situações em que há ou não solução; convergir para a descoberta da condição geral de existência de uma tal solução (ainda no exemplo, o caso em que cada ilha tem um número par de pontes). Muitos outros exemplos de problemas combinatórios podem ser tratados de modo semelhante, tais como determinar a rota mais curta em uma rede de transportes ou determinar um efi - ciente trajeto para coleta de lixo em uma cidade.
A articulação da Matemática ensinada no ensino médio com temas atuais da ciência e da tecnologia é possível e