CHAPITRE 4 ANALYSE A PRIORI DES TÂCHES PROPOSÉES
4.3 L’INTÉGRATION PAR PARTIE
La deuxième technique enseignée dans le cadre du cours observé est l’intégration par partie et correspond à la section 3.1 du manuel. La formule et la notation utilisée sont celle- ci :
∫ udv = uv − ∫ v du
Cette technique est utilisée lorsque l’on rencontre une intégrale où deux fonctions sont multipliées et que le changement de variable ne suffit pas à la résoudre.
4.3.1 PRÉSENTATION DE LA NOTION
Six intégrales sont présentées aux étudiants afin de se familiariser avec cette méthode. Cette notion est une réponse à de nouveaux problèmes précis que les étudiants sont en mesure de comprendre, dans ce cas-ci de nouveaux types d’intégrale. Ainsi, la méthode, c’est-à-dire la formule, est un nouveau savoir mais son utilisation ne requiert aucune nouvelle connaissance.
Deux savoirs principaux sont à mettre en fonctionnement dans le cadre des exemples présentés, soit l’intégration par partie et la résolution d’intégrale élémentaire. De plus, quelques autres savoirs sont nécessaires pour résoudre quelques-uns des problèmes présentés, soit l’intégration tabulaire (un cas particulier de l’intégration par partie), le changement de variable et la division d’un polynôme par un monôme. Ajoutons que pour l’utilisation de la technique d’intégration par partie, il est nécessaire d’utiliser la dérivée et parfois la dérivée en chaîne.
4.3.2 PROBLÈMES TYPIQUES
Identifions les quatre problèmes types qui peuvent survenir lorsqu’on effectue une intégration par partie : 1) de base, c’est-à-dire deux fonctions simples multipliées, qui ne demande qu’une seule intégration par partie; 2) lorsque nous n’avons qu’une fonction; 3) lorsque nous devons effectuer à plusieurs reprises l’intégration par partie; 4) lorsque l’intégrale « cercle » après deux intégrations par partie et que nous devons isoler ce que nous cherchons pour obtenir la solution.
Mentionnons de prime abord que toutes les intégrales présentées dans cette section comportent l’élément de difficulté d’un nouveau type de problèmes puisque nous devons appliquer une nouvelle formule qui implique un choix judicieux du « u » et du « dv ». Spécifions qu’à l’exception du dernier type de problème, tous les problèmes ont une façon unique de poser le u et le dv.
Ainsi, pour les problèmes du premier type, aucune autre difficulté n’est présente. Pour le deuxième type d’intégration par partie, nous rencontrons un nouveau type de problèmes, car contrairement aux intégrales du premier type, nous n’avons pas la multiplication de deux
fonctions, mais une seule fonction. Il faut ainsi utiliser le « 1 » (implicite) devant notre fonction comme deuxième fonction. La deuxième difficulté qui s’ajoute est l’utilisation d’un changement de variable après avoir utilisé la formule de l’intégration par partie, c’est-à-dire que l’on retrouve une pluralité des arguments nécessaires à une démonstration.
Pour le troisième type, elle comporte au minimum une répétition des arguments, car au moins deux intégrations par partie successives sont nécessaires à la résolution de l’intégrale. Dans plusieurs cas, une deuxième méthode est possible, soit l’intégration tabulaire. Quant à cette deuxième méthode qui se trouve être une méthode plus rapide de résolution d’une intégrale comportant plusieurs intégrations par partie successive, elle présente une seule difficulté qui est un nouveau type de problèmes (et de résolution).
Finalement, le quatrième type comporte trois difficultés supplémentaires aux premières présentées. Tout d’abord, nous retrouvons une répétition des arguments puisqu’il faut utiliser l’intégration par partie à deux reprises. Par la suite, un nouveau type de problèmes apparaît, soit celui de « cercler » (après deux intégrations par partie, nous obtenons l’intégrale de départ à résoudre). Finalement, nous devons sélectionner l’information qui nous intéresse pour pouvoir isoler l’intégrale que nous souhaitons résoudre et obtenir la solution (sans avoir en aucun cas intégré).
4.3.3 LES EXEMPLES PRÉSENTÉS EN CLASSE
La question implicite de ces six intégrales est de résoudre les intégrales suivantes. La consigne est « examinons maintenant d’autres formes qui doivent subir le traitement de l’intégration par parties! » où nous constatons que des indications quant à la méthode utilisée sont présentes. Ceci implique que trois des six intégrales présentées sont de niveau technique,
puisqu’il s’agit de contextualisation simple, sans étape ni travail préliminaire de reconnaissance (la technique à utiliser étant au préalable fournie). Les trois derniers problèmes sont, quant à eux, du niveau des connaissances mobilisables, car ils comportent plusieurs étapes et des astuces à utiliser sans indications données.
Dans cette section, nous retrouvons trois intégrales du premier type, une intégrale du deuxième, une intégrale du troisième et une intégrale du quatrième. Spécifions que toutes les intégrales présentées ne possèdent qu’une seule méthode de résolution à l’exception de la quatrième où la méthode d’intégration tabulaire est également possible. Pour cet exemple particulier, les deux méthodes sont demandées. Soulignons cependant que deux des trois intégrales du premier type utilisent le polynôme comme étant le « u » ce qui n’est pas le cas du troisième exemple où nous l’utilisons plutôt comme « dv ».
4.3.4 LES EXERCICES
Dans les exercices suggérés par l’enseignant, trois ont le premier profil, trois le second, quatre le troisième (dont trois où l’intégration tabulaire est possible) et deux correspondent au dernier. Ajoutons que pour quelques problèmes, plusieurs angles de résolution existent, mais que l’intégration par partie est toujours nécessaire (l’intégration tabulaire n’étant qu’un raccourci à certains types d’intégration par partie). De plus, soulignons que la question est : intégration par partie – calculez les intégrales suivantes et qu’ainsi la méthode de résolution est spécifiée.
Les exercices supplémentaires comportent sept intégrales qui ont comme consigne : « calculer les intégrales suivantes en utilisant la technique d’intégration par parties ». Six de ses problèmes sont du premier type et une du second type. Cependant, plusieurs des six problèmes de premier type utilisent une seconde méthode de résolution (un changement de variable ou une division de polynômes ou une séparation de fraction) d’où la difficulté supplémentaire d’une pluralité des arguments nécessaires à une démonstration. Un exercice demande également de résoudre deux intégrales distinctes parallèlement d’où, encore une fois, une pluralité des arguments nécessaires. De ces six problèmes, cinq ont la particularité de placer le polynôme au « dv » plutôt qu’au « u ». Soulignons également que dans cette série d’exercices, nous retrouvons plusieurs fonctions composées qui rendent les choix de « u » et de « dv » (ainsi que leur dérivée et intégrale respectives) moins aisées que les séries d’exercices précédentes.