L’innovation en exemples

Paula Vieira da Silva1_{, Leonor Santos}2 1

Unidade de Investigação e Desenvolvimento em Educação e Formação (UIDEF), [email protected]

2

Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, [email protected]

Resumo. O ensino e aprendizagem da Matemática no 2º ciclo são, desde

2003, avaliados externamente por provas de aferição até 2011 e por provas finais desde então. Este estudo apresenta dados parcelares de uma investigação em curso, e tem como objetivo a análise das características das tarefas de geometria que constam da prova de aferição (2011) e da prova final do 2.º ciclo (2012). Mais concretamente, analisam-se os tópicos de geometria que convocam, os processos mentais a que fazem apelo, o peso relativo das questões de geometria nestas provas e a evolução que se verifica de uma para a outra. O estudo segue uma metodologia de natureza interpretativa, com recolha documental das próprias provas. Os resultados obtidos evidenciam algumas diferenças entre as duas provas. O número de tarefas de reprodução e de conexão é idêntico na prova de 2011, mas na prova de 2012 o número de tarefas de reprodução é muito maior do que as de conexão, o que corresponde a níveis de exigência cognitiva muito diversa.

Abstract. The teaching and learning of Mathematics in the 2nd cycle of

basic education are, since 2003, externally assessed by admeasurement tests by 2011 and finals tests since then. This study presents partial data of an ongoing investigation, and aims to analyze the characteristics of the geometry tasks contained in the admeasurement tests (2011) and finals (2012) of the 2nd cycle. More specifically, we analyze the geometry of content that summon the mental processes that appeal, the relative weight of geometry issues in these tests and the evolution that has taken place in them. The study follows a methodology to interpretation, with data collection from

their own tests. In general, the results of the task analysis show some

discrepancies between the two tests. The number of tasks reproduction and connection is identical in the test of 2011, but in the test of 2012, the number of tasks of reproduction is much larger than the connection, which correspond to different levels of cognitive demands.

Palavras-chave: Avaliação externa; tarefas de geometria; processos

mentais; tipo de itens.

Introdução

O papel das tarefas, no processo de ensino-aprendizagem da matemática é preponderante na aprendizagem dos alunos. A ênfase dada a determinados conteúdos, a

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certos processos mentais e ao próprio modo de construção dessas tarefas pode influenciar e, até mesmo, condicionar as metodologias de ensino utilizadas pelos professores e, consequentemente, as aprendizagens dos alunos. Durante uma década, a conceção das provas de aferição, o seu grau de exigência e a forma como o conhecimento matemático foi avaliado foram aspetos que suscitaram polémica, com visibilidade, nomeadamente, na comunicação social. No cerne dessa polémica incluía- se, entre outros aspetos, a escolha do tipo de tarefas. Não podemos deixar de referir que estas provas são atualmente muito valorizadas pela administração do sistema educativo, e assumidas (ou percecionadas) como instrumentos indispensáveis para o conhecimento do desempenho académico dos alunos, por parte dos professores, das escolas e da sociedade em geral (Ceia, Filipe & Santos, 2011). Acresce a inquestionável influência da avaliação externa nas práticas dos professores. O tipo de tarefas proposto nas provas nacionais, no que concerne nomeadamente aos conceitos que são valorizados, pode influenciar o trabalho dos professores (e os próprios autores de livros didáticos), os quais, por sua vez, influenciam as aprendizagens dos alunos (Boesen, Lithner & Palm, 2010).

Deste modo, este estudo tem como objetivo compreender as características das tarefas de geometria que constam das provas de aferição (2011) e das provas finais do 2.º ciclo (2012). As questões de investigação formuladas foram as seguintes: Que tópicos de geometria convocam as provas de aferição (2011) e nas provas finais do 2.º ciclo (2012)? A que processos mentais fazem apelo? Qual o peso relativo das questões de geometria nestas provas? Que evolução se faz sentir? Foram selecionadas as provas de aferição de 2011 e da prova final de 2012 por terem sido as de transição entre uma avaliação externa, sem repercussões na avaliação final dos alunos, e a primeira a ter repercussões na avaliação final dos alunos, tendo tido em 2012 uma ponderação de 25%. O foco do estudo recaiu nas tarefas de Geometria por este ser o tópico matemático que tradicionalmente é menos trabalhado pelos professores.

Fundamentação teórica

XXVI SIEM 177 Nas últimas décadas, há uma consciência crescente de que a geometria desempenha um papel fundamental na matemática e na aprendizagem da matemática, A pesquisa em geometria floresceu com novas ideias matemáticas que surgiram do interior de outras disciplinas (Mammana & Villani, 1998a). Na mesma linha, em 1989, o NCTM (1991), publicou as diretrizes para o ensino da Matemática para os níveis não universitários dos EUA, as quais tiveram uma enorme repercussão internacional. Mais recentemente, esta organização retomou esse documento, ajustando-o em alguns aspetos considerados menos atuais. No que diz respeito à geometria, o NCTM (2007) refere que, os alunos, ao longo da escolaridade, deverão desenvolver competências para: (i) “Analisar as caraterísticas e propriedades de formas geométricas bi e tridimensionais e desenvolver argumentos matemáticos acerca de relações geométricas”; (ii) “Especificar posições e descrever relações espaciais recorrendo à geometria de coordenadas e a outros sistemas de representação”; (iii) “Aplicar transformações geométricas e usar a simetria para analisar situações matemáticas”; (iv) “Usar a visualização, o raciocínio espacial e a modelação geométrica para resolver problemas” (idem, pp. 45-47). Estando de acordo com os princípios do NCTM (2007), o Programa de Matemática do Ensino Básico de 2007, prevê o ensino e a aprendizagem da geometria ao longo dos três ciclos e “tem como ideia central o desenvolvimento do sentido espacial dos alunos” (ME, 20071

, p. 7). O estudo das figuras geométricas bi e tridimensionais “começa no 1.º ciclo. No 2.º ciclo os alunos são já chamados a relacionar propriedades geométricas, e no 3.º ciclo surgem situações de raciocínio hipotético-dedutivo proporcionando aos alunos um primeiro contacto com este modo de pensamento. Uma alteração de relevo em relação ao programa anterior é que se estuda logo desde o 1.º ciclo diversas transformações geométricas, primeiro de forma intuitiva e depois com crescente formalização” (ibidem).

De uma forma geral, Jones (2012) considera que “o ensino da geometria ao longo da escolaridade precisa garantir um foco sustentado sobre os aspetos geminados de geometria: os aspetos espaciais, e os aspetos que se relacionam com o raciocínio e com a teoria geométrica. (…) Cada um destes aspetos dá origem ao outro e cada um só existe em relação ao outro” (p. 9).

178 XXVI SIEM O pensamento geométrico

Numa conceção mais atual, a geometria é considerada como “uma rede complexa e interligada de conceitos, formas de raciocínio, e sistemas de representação que é usada para conceptualizar e analisar ambientes espaciais físicos e imaginários” (Battista, 2007, p. 843). Uma componente do pensamento geométrico e do pensamento matemático em geral, considerada nas últimas décadas cada vez mais relevante, é a visualização. A visualização é geralmente considerada como "a capacidade de representar, transformar, gerar, comunicar, documentar e refletir sobre a informação visual" (Hershkowitz, 1989, p.75). Arcavi (2003) acrescenta dizendo que a “visualização é a capacidade, o processo e o produto de criação, interpretação, uso e reflexão sobre figuras, imagens, diagramas, nas nossas mentes, no papel ou com ferramentas tecnológicas, com o objetivo de representar e comunicar informações, pensar e desenvolver ideias previamente desconhecidas e compreensões avançadas” (p. 217). Assim, considera-se que a visualização desempenha um papel, por um lado, muito complexo no contexto de formação dos conceitos geométricos básicos e, por outro, muito poderoso no ensino e aprendizagem da geometria.

A informação visual produzida (imagens) pode ser tanto física (figuras ou diagramas) como mental (imagens mentais). A análise de informação visual refere-se tanto às imagens produzidas pelo próprio aluno como às recebidas desde o exterior (de alunos, professor, textos, etc.). As transformações podem fazer-se entre uma imagem e informação verbal (oral ou escrita) ou de uma imagem em outra. A comunicação pode ser gráfica, verbal ou mista (Gutiérrez, 2006).

O complexo papel da visualização pode também manifestar-se em níveis mais elevados do pensamento geométrico. De acordo com Hershkowitz (1993), a rigidez de perceção pode atuar como distrator, “afetando mesmo a capacidade de provar teoremas”. Segundo esta autora, esta dificuldade deve-se também ao facto de algumas competências geométricas, como a capacidade de visualização, terem "uma natureza altamente individual e pessoal" (Hershkowitz, 1993, p. 94), apesar de haver distratores visuais que agem amplamente da mesma forma em indivíduos e populações diferentes.

XXVI SIEM 179 A visualização funciona como âncora para o pensamento matemático, uma vez que possibilita o estabelecimento de relações entre diferentes representações e a construção de imagens mentais. Por conseguinte, a visualização, desempenha um papel vital não só na aprendizagem da geometria, mas também, mais amplamente, na aprendizagem da matemática.

Ainda, relativamente aos processos de visualização, Gutiérrez (2006) salienta dois deles: a interpretação da informação figurativa - processo que ocorre ao tentar ler, analisar, compreender e interpretar uma imagem para extrair informação sobre ela, e o processamento visual da informação - processo que ocorre ao converter informação não visual em imagens ou ao transformar uma imagem já formada em outra.

Del Grande (1990), fundamentando-se em vários autores, selecionou sete capacidades espaciais tendo estas absoluta relevância para o estudo da matemática e da geometria em particular. Estas capacidades são: a) Coordenação visual-motora; b) Perceção figura-contexto; c) Conservação da perceção; d) Perceção da posição no espaço; e) Perceção de relações espaciais; f) discriminação visual; g) Memória visual.

É de fazer notar que a aprendizagem da geometria tem sido difícil para os alunos devido à ênfase dada aos aspetos dedutivos dos diferentes conteúdos e à negligência das capacidades espaciais subjacentes, adquiridas através de atividades práticas, que são pré-requisitos necessários para a compreensão e domínio de conceitos geométricos (Del Grande, 1990). As capacidades de perceção visual e os conceitos geométricos podem ser apreendidos em simultâneo, uma vez que a geometria exige que os alunos reconheçam as figuras geométricas, as suas relações e as suas propriedades.

As tarefas matemáticas e suas características

As tarefas matemáticas podem ser analisadas tendo em conta os conceitos matemáticos nelas tratados, o seu nível de complexidade cognitiva, a liberdade que é permitida aos alunos nas respostas, a metodologia usada para a sua classificação, entre outros aspetos.

O antigo GAVE, atualmente IAVE, na esteira de Tenbrink (1988, p. 314), a partir de 2011 uniformizou a terminologia adotada na classificação dos itens2 das provas de

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O termo “item” era utilizado pelo GAVE, atualmente IAVE, referindo-se às tarefas matemáticas apresentadas nas provas nacionais.

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avaliação externa discriminando dois tipos de itens de acordo com a liberdade que é dada aos alunos nas suas respostas: itens de seleção e itens de construção. Os itens de seleção são aqueles em que é permitido ao aluno selecionar de entre várias alternativas, a resposta correta. Por seu lado, nos itens de construção devem ser os alunos a elaborar a resposta correta. Nos itens de seleção estão incluídos os itens de escolha múltipla, de associação/correspondência e ordenação e nos de construção estão incluídos os itens de resposta curta, resposta restrita e resposta extensa. Nos itens de resposta curta faz- se uma pergunta simples e pede-se ao aluno que dê uma resposta curta. Os itens de resposta restrita permitem ao aluno mostrar toda a informação que pode recordar através da memória de factos, da enumeração de acontecimentos ou da lembrança de passos a seguir num procedimento concreto. Os itens de resposta extensa permitem ao aluno uma grande amplitude na sua resposta, apelando à capacidade criativa, à capacidade para organizar e apresentar ideias originais ou à defesa de uma posição. O mesmo autor considera, ainda, nos itens de seleção os de verdadeiro/falso, e nos itens de construção inclui os de completamento.

O nível de complexidade de uma tarefa depende da exigência cognitiva que é solicitada aos alunos. No sentido da sua categorização, a OCDE (2005), considera três tipos de itens: de reprodução que “demandam essencialmente a reprodução de conhecimentos praticados, como o conhecimento de factos e de representações comuns de problemas, reconhecimento de equivalentes, memorização de propriedades e objetos matemáticos conhecidos, desempenho de procedimentos rotineiros, aplicação de habilidades técnicas e algoritmos padronizados, manipulação de expressões contendo símbolos e fórmulas em um formato padrão conhecido e a realização de cálculos diretos” (p. 40); de conexão que se baseiem “em reprodução para a resolução de problemas que não são simplesmente rotineiros, mas que ainda envolvem contextos de certa forma conhecidos, ou que se estendem e se desenvolvem além de contextos conhecidos em grau relativamente menor. Tipicamente, o desenvolvimento de uma solução necessita de maior interpretação e a elaboração de ligações entre diferentes representações da situação, ou de ligações entre diferentes aspetos da situação do problema” (p. 40-41). Por último, itens de reflexão que “demandam um certo insight e reflexão por parte do estudante, assim como criatividade para identificar conceitos matemáticos relevantes ou

XXVI SIEM 181 para fazer a ligação com conhecimentos relevantes para criar soluções. Os problemas que implicam este agrupamento de competências envolvem mais elementos do que outros, e tipicamente surgem demandas adicionais para que os estudantes generalizem e expliquem ou justifiquem seus resultados” (p. 41). Na mesma linha, Stein e Smith (2009) consideram que as tarefas podem apresentar exigências de nível cognitivo reduzido e nível cognitivo elevado. No primeiro caso, as tarefas podem ser de memorização quando os alunos respondem baseando-se na memorização de algum conceito ou de procedimentos sem conexões quando se pede aos alunos a execução de um procedimento memorizado. No segundo caso, as tarefas são denominadas de procedimentos com conexões, quando os alunos, usando procedimentos, realizam conexões com os significados matemáticos ou fazendo matemática, quando os alunos exploram, por exemplo, relações entre várias representações.

Metodologia

Tendo em conta as questões do estudo, optou-se por uma investigação de natureza interpretativa (Bogdan & Biklen, 1994).

A recolha de dados foi feita baseando-se fundamentalmente: (i) na recolha documental (tarefas da prova de aferição do 6.º ano, relativas a 2011 e da prova final do 2.º ciclo de 2012); e (ii) nos relatórios finais do GAVE, relativos a 2011 e 2012. A análise dos dados envolveu, inicialmente, a organização das informações obtidas. Foram tidos em consideração os seguintes domínios: os tópicos matemáticos a que as tarefas apelam, os possíveis processos mentais que requerem para a sua resolução, as tipologias dos itens no que diz respeito ao nível de complexidade cognitiva (OCDE, 2005) e ao grau de liberdade que é dada aos alunos nas respostas (Tenbrink, 1988).

Para validação da análise desenvolvida respeitante aos níveis de complexidade cognitiva recorremos a um perito externo, a Profª. Doutora Alexandra Gomes, da Universidade do Minho.

Apresentação e análise dos dados

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Na prova de aferição de 2011 apresentam-se onze itens da área da geometria que correspondem a 38% dos itens e na prova final de 2012 apresentam-se nove que correspondem a 37,5% dos itens. Na prova de 2011 não há nenhum item que se reporte ao tópico dos Volumes3e há um que se reporta a dois tópicos.

Da análise de cada item constatam-se diferenças na incidência entre os diferentes tópicos e os objetivos específicos. No quadro seguinte apresenta-se o número de itens de cada prova em cada tópico de geometria do 2.º ciclo (ME, 2007).

Tabela 1. Correspondência entre o número de itens das provas de 2011 e 2012 e os tópicos de geometria

TÓPICOS DE GEOMETRIA Nº DE ITENS NA PROVA DE

AFERIÇÃO 2011

Nº DE ITENS NA PROVA

FINAL 2012

Sólidos geométricos 6 1

Figuras no plano 2 2

Reflexão, rotação e translação 1 2

Perímetros 1

1 1

Áreas 0 1

Volumes 0 2

Na prova de 2011, o item 11 incide sobre dois tópicos diferentes, Perímetros e Áreas. Verifica-se que este é um dos itens que obteve pior resultado a nível nacional – 28, 2 % (GAVE, 2011a). Ainda nesta prova, verifica-se que seis dos itens que incidem sobre o tópico Sólidos Geométricos incidem sobre mais do que um dos objetivos específicos deste tópico. Este é, por exemplo, o caso do item 18 da prova de aferição de 2011:

18. As pirâmides têm características geométricas que as distinguem dos prismas; por exemplo:

O número de arestas das pirâmides é sempre um múltiplo de 2, enquanto o número de arestas dos prismas é sempre um múltiplo de 3.

Escreve outra característica geométrica das pirâmides que as distinga dos prismas.

Para responder a este item os alunos necessitam de ter atingido, pelo menos os dois primeiros, dos seguintes objetivos específicos: Descrever sólidos geométricos e identificar os seus elementos; Compreender as propriedades dos sólidos geométricos e classificá-los; Relacionar o número de faces, de arestas e de vértices de uma pirâmide e de um prisma, com o polígono da base. (identificando as características geométricas que

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Este tópico não consta da prova de aferição pelo facto das provas serem realizadas no mês de maio e o tópico dos volumes, como era o último que constava no programa, poder não ter sido ainda lecionado.

XXVI SIEM 183 distinguem as pirâmides dos prismas) (ME, 2007). Os alunos podiam responder utilizando uma das seguintes características: a) as pirâmides têm uma base e os prismas duas bases, que são opostas, paralelas e congruentes; b) as faces laterais nas pirâmides são triângulos com um vértice comum e nos prismas são paralelogramos; c) o número de vértices nas pirâmides é igual ao número de lados do polígono da base mais um e nos prismas é o dobro do número de lados do polígono da base; e d) nas pirâmides o número de faces é igual número de lados do polígono da base mais um e nos prismas é igual ao número de lados do polígono da base mais dois. A primeira e a segunda característica exigem que os alunos conheçam e saibam relacionar o número de bases e a forma das faces laterais dos prismas e das pirâmides. Enquanto a terceira e a quarta características vão mais além, exigem que os alunos saibam relacionar o número de faces e de vértices de uma pirâmide e de um prisma, com o polígono da base.

Na prova de 2012 não existe nenhum item que incida sobre mais do que um tópico e sobre mais do que um dos objetivos específicos de qualquer tópico.

Itens de geometria das provas finais de 2011 e 2012 e os processos mentais a que apelam

Os processos mentais a que as tarefas estudadas fazem apelo são muito variados e um dos fatores de que dependem é do contexto da própria tarefa, uma vez que a significação dos conceitos depende dos contextos. Algumas tarefas mobilizam o desempenho de procedimentos rotineiros, como seja a realização de cálculos diretos, a utilização de algoritmos padronizados, a aplicação de habilidades técnicas, a memorização de propriedades de objetos matemáticos conhecidos, a manipulação de expressões contendo símbolos e fórmulas em um formato padrão conhecido, a reprodução do conhecimento de factos e de representações comuns. Por exemplo, o item 1 da prova de aferição de 2012, o qual se encontra referido mais à frente, faz apelo ao uso das fórmulas do volume do cubo e do paralelepípedo e à comparação entre dois valores, ou seja, a processos rotineiros neste nível de ensino.

Outras, um pouco mais complexas, invocam contextos menos conhecidos pelos alunos, requerem uma maior interpretação e elaboração de ligações entre diferentes

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representações da situação, ou de ligações entre diferentes aspetos da situação da tarefa. Um exemplo desta situação é o que acontece muitas vezes quando os alunos têm de interpretar a informação figurativa e efetuar o processamento visual da informação, isto é, relacionar os dados do enunciado com os elementos da figura. Ao analisar uma figura os alunos têm que percecionar as relações espaciais existentes e descriminar visualmente todos os aspetos necessários à resolução da tarefa, tal como acontece no item 6 da prova final de 2012 (GAVE, 2012a), em que é pedido aos alunos que classifiquem um polígono representado por uma subfigura da figura dada:

6. No quadrado representado na Figura 6, estão desenhadas duas linhas a tracejado.

Imagina que recortas o quadrado pelas linhas a tracejado e que eliminas as partes sombreadas. Qual o nome do polígono que obterias?

Neste item os alunos têm que visualizar a subfigura que resulta do corte dos dois triângulos já selecionados no quadrado apresentado, e de discriminar e classificar a