de polym`ere (0,1 % en fraction massique) suffit `a modifier consid´erablement la viscosit´e de la solution, du fait de l’enchevˆetrement des chaˆınes macromol´eculaires. On ne peut clore ce para-graphe sans mentionner les milieux granulaires secs (poudres, sable) du fait de leur importance dans l’industrie (beaucoup de mat´eriaux sont stock´es et transport´es sous forme de poudres) et dans l’environnement. L’observation rapide de l’´ecoulement dans un sablier pourrait nous faire croire qu’il est possible d’analyser ce ph´enom`ene comme l’´ecoulement d’un fluide poss´edant des propri´et´es m´ecaniques particuli`eres. En fait, il n’en est rien et la “ physique du tas de sable ” est un domaine assez ´eloign´e de la m´ecanique des fluides et qui est encore en pleine ´evolution.
Pour illustrer le comportement particulier des milieux granulaires, consid´erons l’exemple simple de l’´equilibre statique d’un silo : si on mesure la pression exerc´ee sur le fond du silo en remplissant celui-ci de plus en plus, on constate que cette pression n’augmente plus au del`a d’une certaine hauteur de remplissage, proportionnelle au diam`etre du silo. Ce comportement, tout `a fait diff´erent de celui d’un liquide, est dˆu au frottement solide sur les parois lat´erales du silo qui supporte partiellement le poids de l’empilement de grains.
1.3 L’hypoth` ese de continuit´ e
Si on consid`ere un fluide simple comme l’air ou l’eau, le probl`eme de l’´echelle d’observation se pose ´egalement. `A tr`es petite ´echelle, il est impossible d’ignorer la nature atomique ou mol´eculaire des fluides. `A ces ´echelles mol´eculaires, il est clair que les propri´et´es physiques d’un fluide varient tr`es largement d’un point de l’espace `a l’autre. N´eanmoins, il suffit de consid´erer un volume de fluide assez grand `a l’´echelle microscopique pour que les propri´et´es du fluide, moyenn´ees sur un grand nombre de mol´ecules, apparaissent comme d´ependant lentement de la coordonn´ee spatiale.
Dans la plupart des situations pratiques, ce volume “suffisamment grand” reste tr`es petit com-par´e aux dimensions globales de l’´ecoulement ; les mesures effectu´ees `a cette ´echelle peuvent ˆetre consid´er´ees comme “locales”.
Des exp´eriences r´ecentes et des simulations num´eriques de dynamique mol´eculaire ont permis de mieux cerner l’influence de la structure mol´eculaire sur les ´ecoulements de films tr`es minces de liquide. Lorsque l’´epaisseur du film est inf´erieure `a 10 diam`etres mol´eculaires, l’organisation mol´eculaire du liquide est r´ev´el´ee par les “marches” que forme le liquide en s’´etalant (Fig. 1.5).
Dans un gaz, c’est le libre parcours moyen qui fixe la limite de l’hypoth`ese de continuit´e.
1.3. L’HYPOTH `ESE DE CONTINUIT ´E 7 Lorsque la pression est suffisamment basse pour que la distance moyenne entre mol´ecules devienne plus grande que les dimensions caract´eristiques de l’´ecoulement, on ne peut plus appliquer les lois classiques de la m´ecanique des fluides. Une telle situation se rencontre dans la tr`es haute atmosph`ere (rentr´ee des v´ehicules spatiaux) et dans les syst`emes d’ultravide utilis´es en physique du solide. Dans la suite de ce cours, nous ignorerons ces subtilit´es et consid´ererons tous les fluides comme des milieux continus dont les propri´et´es physiques et la dynamique peuvent ˆetre d´ecrits par des fonctions des coordonn´ees spatiales.
Chapitre 2
Cin´ ematique
Avant d’aborder la dynamique des fluides elle-mˆeme, c’est-`a-dire les lois qui relient les diverses forces agissant sur les fluides et les ´ecoulements, leur organisation spatiale et leur ´evolution tem-porelle, il est n´ecessaire de d´efinir quelques notions de cin´ematique :
— comment d´ecrit-on les ´ecoulements par les champs de vitesse ?
— quelle est la relation entre l’acc´el´eration d’une particule de fluide et le champ de vitesse ?
— quelle est la cons´equence de la conservation de la masse sur le champ de vitesse ?
— quelles sont les particularit´es d’un ´ecoulement `a deux dimensions ?
— comment repr´esente-t-on graphiquement les ´ecoulements et comment met-on en ´evidence le champ de vitesse exp´erimentalement ?
2.1 Descriptions eul´ erienne et lagrangienne.
La description des ´ecoulements est faite, dans la tr`es grande majorit´e des cas, `a partir du champ de vitesse ud´efini comme une fonction des variables d’espace et du temps : u(x, t). C’est-`a-dire qu’on d´efinit ou mesure en chaque pointxde l’espace, et `a tout instant, la vitesse macroscopique du fluide, moyenn´ee sur une longueur grande devant les distances intermol´eculaires. Du point de vue exp´erimental, cette description dite “eul´erienne” correspond `a une mesure locale de la vitesse du fluide, r´ep´et´ee en un tr`es grand nombre de points de l’´ecoulement. Dans cette description, on observe diff´erentes particules de fluide qui se succ`edent en un mˆeme point de l’espace, comme lors-qu’on regarde l’eau d´efiler sous un pont. Si le champ de vitesse eul´erien ne d´epend pas du temps, l’´ecoulement est qualifi´e destationnaire; s’il d´epend du temps, l’´ecoulement estinstationnaire.
L’autre description, dite “lagrangienne”, consiste `a suivre le mouvement d’une mˆeme particule de fluide au cours du temps. Le champ de vitesse est alors sp´ecifi´e sous la forme : U(r0, t0, t) qui est la vitesse `a l’instantt d’une particule de fluide qui se trouvait enr0 `a l’instantt0. Cette description lagrangienne correspond aux exp´eriences de visualisation dans lesquelles on d´epose un traceur (particule solide, tache de colorant) en un point de l’´ecoulement et on suit la trajectoire de ce traceur. La trajectoire d’une particule de fluide est donn´ee par l’int´egration temporelle du champ de vitesse lagrangien :r(t) =r0+Rt
t0U(r0, t0, t0)dt0.
Figure2.1 – Trajectoire d’une particule de fluide.
8