L’hydrodynamique de la cellule

L’hydrodynamique est une branche de la physique qui a pour objet l’étude des fluides en mouvement. (Larousse, 2017) Les fluides en mouvement possèdent une énergie cinétique qui augmente avec l’augmentation de la vitesse du fluide selon 𝐸_𝑘 = 1

2𝑚. 𝑣

2_{. C’est à partir de cette} notion que l’idée d’étudier l’impact de l’hydrodynamique dans la cellule a été proposée. En effet, nous croyons que la promotion de la turbulence dans la cellule va permettre d’améliorer la performance de l’opération en retardant l’encrassement de la membrane. Une récente étude nous a permis de valider cette conviction. Enciso et al. ont récemment mené une étude sur l’impact de l’hydrodynamique dans une cellule d’électrodialyse à l’aide des simulations numériques de dynamique des fluides (CFD). Bien que la cellule a été simulée en régime laminaire, ils ont trouvé que la performance de la cellule a été améliorée lorsque la vitesse du fluide augmente. (Enciso, Delgadillo, Domínguez, & Rodríguez-Torres, 2017)

Cette étude est d’une grande importance puisque les expériences qui sont réalisées dans le cadre de ce projet permettront la validation des résultats obtenus en simulation numérique.

2.3.1 Perte de charge dans la cellule

La perte de charge désigne les pertes irréversibles d’énergie de pression que subit un fluide lors de son passage dans une géométrie quelconque.

Il n’existe pas une formule explicite qui permette de calculer la perte de charge dans une cellule électrochimique. Toutefois, il est évident qu’un écoulement dans une cellule va produire une perte de charge supplémentaire par rapport à un écoulement dans une conduite vide, Il est donc primordial de pouvoir exprimer la perte de charge dans la cellule.

La perte de charge dans n’importe quelle géométrie est fonction du débit, de la masse volumique du fluide, de se viscosité, et des dimensions physiques du système exprimés par le biais du rayon hydraulique et de sa longueur caractéristique.

Il faut d’abord commencer par définir l’expression du nombre de Reynolds et du nombre de puissance (ou nombre de Newton) pour un fluide newtonien. Le nombre de Reynolds est défini comme étant le rapport entre les forces d’inertie et les forces visqueuses.

𝑅𝑒 = 𝜌𝑣𝐷ℎ 𝜇

Équation 2-1

Où Dh est le diamètre hydraulique qui correspond au rapport entre la surface et le périmètre d’une conduite et 𝑣 est la vitesse moyenne. La notion du rayon hydraulique est utilisée dans ce cas-là car elle permet de calculer le nombre de Reynolds même si la géométrie de l’écoulement n’est pas cylindrique. Ce diamètre correspond au diamètre équivalent d'un tuyau circulaire qui donne le même bilan de forces que pour un conduit non circulaire. (Bird, Stewart, & Lightfoot, 2006) Le nombre de Newton pourrait être exprimé par l’équation suivante :

𝑁𝑒 = 2𝑓 = ∆𝑃 (𝐷 𝐿) ∗ (

1

𝜌𝑣2) Équation 2-2

f étant le facteur de friction de Fanning.

Cette équation est d’un grand intérêt étant donné qu’elle fait apparaître une perte de charge mesurable dans le cas du montage employé. (Arzat, 1999)

Plus loin, une constante représentative de la géométrie de la cellule sera déterminée. Cette constante permet le calcul d’une vitesse de cisaillement caractéristique pour n’importe quelle condition et

permet conséquemment le calcul de la viscosité. Ce qui permettra de calculer un nombre de Reynolds et une perte de charge.

2.3.2 Régime d’écoulement dans la cellule

Le régime d’écoulement dépend de plusieurs paramètres tels que la vitesse du fluide, sa viscosité et sa masse volumique ainsi que le diamètre de la conduite.

Il est nécessaire de déterminer le nombre de Reynolds critique (laminaire/turbulent) pour identifier le régime d’écoulement dans une géométrie car ce régime aura un impact sur le comportement du fluide. Le régime d’écoulement est défini par la suite par rapport au nombre de Re.

Si Re < ReC → le régime d’écoulement est laminaire Si Re > ReC → le régime d’écoulement est turbulent

Il faut noter que les résultats expérimentaux seront associés aux deux régimes laminaire et turbulent. Évidemment, il y a un régime transitoire entre les deux mais ce dernier ne sera pas pris en considération.

2.3.3 Comportement rhéologique

Les propriétés physiques et chimiques d’un fluide ont un impact sur son comportement lors d’un écoulement. Il existe deux types de comportement visqueux, newtonien et non newtonien dépendamment de la relation entre la viscosité du fluide et le taux de cisaillement. Cette relation est connue sous le nom de la loi de Newton et pourrait être écrite comme suit :

𝜏 = 𝜇 ∗ 𝛾̇ Équation 2-3

𝜏 étant la contrainte de cisaillement, 𝜇 la viscosité du fluide et 𝛾̇ le taux de cisaillement

Un fluide newtonien est défini comme étant un fluide dont la viscosité reste constante quelle que soit l’intensité du taux de cisaillement (𝛾̇). Si la viscosité d’un fluide dépend du cisaillement, nous sommes dans le cas de fluide non newtonien.

Les fluides non newtoniens peuvent être distincts selon 2 groupes :

1- Les fluides rhéofluidifiants : sont les fluides dont la viscosité diminue lorsque le taux de cisaillement augmente

2- Les fluides rhéoépaississants : sont les fluides dont la viscosité augmente lorsque le taux de cisaillement augmente

2.3.4 Courbe de puissance et coefficient de Metzner et Otto

Metzner et Otto ont développé en 1957 une méthode en agitation mécanique qui consiste à calculer une constante représentative de la géométrie et indépendante des conditions d’écoulement (Ks) dans le cas d’une cuve agitée avec un liquide rhéofluidifiant en régime laminaire. En effet, Ils ont mesuré le nombre de puissance pour une variété de mélangeurs en régime laminaire pour des fluides newtoniens, puis ils ont répété les mêmes mesures avec des fluides rhéofluidifiants. Ils ont trouvé que le nombre de puissance n'a pas été affecté par le comportement non-newtonien du fluide et que les viscosités newtonienne et apparente étaient égales pour le même nombre de puissance et le même nombre de Reynolds. (Paul, Atiemo-Obeng, & Kresta, 2003)

Selon Metzner et Otto, le mouvement du fluide dans une cuve peut être représenté par une vitesse de cisaillement moyenne ou effective. Cette vitesse est reliée à la vitesse de rotation de l’agitateur (N) par la relation suivante:

𝛾̇_𝑒𝑓𝑓 = 𝐾_𝑠 ∗ 𝑁 Équation 2-4

Depuis, la notion a été étendue et plusieurs études suggéraient que la notion de Ks peut être utilisé pour d’autre type de mélangeurs tels que les mélangeurs statiques. (Fradette, 1999), (Arzat, 1999), (Paul, Atiemo-Obeng, & Kresta, 2003)

La valeur de Ks est déterminée selon les étapes suivantes : (Fradette, 1999) 1. Établir des courbes de puissances Ne vs. Re pour un fluide newtonien

2. Calculer Ne pour un fluide non newtonien par l’entremise des mesures de couple obtenus (la perte de charge en fonction du débit)

3. Calculer un nombre de Reynolds effective à l’aide de la relation obtenue par la courbe de puissance en (1) selon la relation

4. Calculer une viscosité effective à partir de Reeff selon l’équation :

𝜇𝑒𝑓𝑓 =

𝐷2∗ 𝑁 ∗ 𝜌 𝑅𝑒𝑒𝑓𝑓

Cette viscosité correspond à celle d’un fluide newtonien qui exigerait la même puissance d’agitation aux mêmes conditions.

5. Utiliser la courbe d’écoulement du fluide non newtonien pour obtenir la vitesse de cisaillement effective correspondant à cette viscosité.

6. Déterminer Ks à l’aide de l’Équation 2-4.