Comme nous l’avons vu en cours, à chaque étape de l’algorithme d’Euclide, nous pouvons exprimer le resternen fonction de aetb
rn=una+vnb 1. On part dea=bq1+r2,r0=a,r1=b. Sachant qu’à lap-ième division on a
rp−1=rpqp+rp+1
montrez que
( up+1 = up−1−qpup
vp+1 = vp−1−qpvp
2. Déduisez-en un « programme » permettant de déterminer deux entiersuetvtels que ua+vb=1
à l’aide d’un tableur.
L
Exerie 58 Le tableur déode omplètementNous allons résoudre l’exercice XXI à l’aide du tableur XCAS et de deux de ses fonctions :
⊲ asc(A1)qui renvoie le code ASCII du premier caractère écrit dans la cellule A1. Le code de A est 65, celui de B est 66, ... , celui de Z est 90. Par commodité, nous remplacerons l’espace par @ qui a pour code 64;
⊲ char(A1)qui renvoie le caractère associé au code ASCII rentré en A1.
Mettez au point un codeur où vous afficherez le message à coder sur la première ligne, le message « chiffré » où vous aurez remplacé chaque lettre par son code sur la deuxième ligne, appliquezf sur la troisième ligne en utilisant la fonctionirem, puis le message codé sur la quatrième ligne.
De la même manière, mettez au point un décodeur et vérifiez les résultats trouvés à l’exercice XXI.
XIII - PPCM
Théorème 6
L’ensemble des multiples strictement positifs communs àaetbadmet un plus petit élément qu’on appelleplus petit multiple commundeaetb. On le note PPCM(a,b) oua∨b
Pour la preuve, on utilise la propriété des parties deNnon vides et minorées.
XIII -. PPCM 36
Propriété14
Soientaetbdeux entiers positifs,dleur pgcd. Il existe deux entiersa′etb′tels quea=d a′etb=db′. De plusa′etb′sont premiers entre eux.
En reprenant les divisions de l’algorithme d’Euclide, on prouve que ka∧kb=k(a∧b) donca′∧b′=a
d∧b d =1
dd=1 Théorème 7
(a∧b)(a∨b)=ab
On notem=a∨betd=a∧b. Alors il existe deux entiersa′etb′premiers entre eux tels quea=d a′etb=db′. Soit M un multiple commun deaetb, alors il existe deux entiersuetvtels que M=au=bv=d a′u=db′v. Ordest non nul, donc
a′u=b′v
L’intérêt réside dans le fait quea′etb′sont premiers entre eux ( c’est pourquoi cette méthode est souvent utilisée en exercice ). On peut donc utiliser le magique théorème de Gaussa′divisantb′v,a′divisev, donc il existe un entierktel quev=a′k.
Tout ceci pour dire que tout multiple commun M deaetbs’écritnécessairementsous la forme M=db′a′k.
Réciproquement, tout nombre s’écrivant sous la formedb′a′kaveckun naturel quelconque est un multiple commun deaet debcar
db′a′k=b(a′k)=a(b′k)
Donc les multiples communs deaet debSONT les multiples ded a′b′. Le plus petit multiple ded a′b′étantd a′b′lui-même, on en déduit finalement que
a∨b=d a′b′ Ainsi (a∧b)(a∨b)=d·d a′b′=d a′·db′=ab
Propriété15
Sikest un entier naturel, alorska∨kb=k(a∨b)
La démonstration utilise le théorème précédent et la propriété :ka∧kb=k(a∧b).
Un exemple orrigé
On cherche les entiers naturels non nuls a et b vérifiant
a2−b2=405 3(a∨b)=ab
Il est assez naturel d’utiliser le théorème précédent : (a∧b)(a∨b)=ab. Les entiersaetbétant non nuls, il en est de même de leur ppcm, donca∧b=3, ce qui nous permet d’introduire les entiersa′etb′vérifianta=3a′etb=3b′: ils ont en effet l’énorme avantage d’être premiers entre eux.
La première équation devient donc après simplificationa′2−b′2=45, c’est à dire (a′−b′)(a′+b′)=45
En effet, les carrés nous ennuient, mais on peut discuter sur le produit de deux entiers en parlant diviseur. Il existe en effet peu de diviseurs de 45 : 1, 3, 5, 9, 15 et 45 lui-même. De plus,a′etb′étant positifs,a′−b′l’est aussi eta′−b′6a′+b′. Envisageons donc les différents cas
⊲ a′−b′=1 eta′+b′=45, alorsa′=23 etb′=22 conviennent.
⊲ a′−b′=3 eta′+b′=15, alorsa′=9 etb′=6 mais ils ne sont pas premiers entre eux.
⊲ a′−b′=5 eta′+b′=9, alorsa′=7 etb′=2 conviennent.
XIV -. EXERCICES DE BAC 37
Il ne peut y avoir d’autres solutions et celles-ci conviennent, donc les couples solution sont (21,6) et (69,66).
L
Exerie 59trouvez tous les entiersaetbtels que la différence entre leur PPCM et leur PGCD est égal à 187.
L
Exerie 60On cherche les entiers naturels non nulsaetbvérifiant
a∧b=18 a∨b=108
XIV - Exeries de Ba
L
Exerie 61Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l’alphabet, on commence par associer un entiernde l’ensemble
Ω={0 ; 1 ; 2 ; ... ; 24 ; 25} selon le tableau ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
aetbétant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entierndeΩle reste de la division euclidienne de (an+b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante.
Exemple: pour coder la lettre P aveca=2 etb=3, on procède de la manière suivante : étape 1 : on lui associe l’entiern=15.
étape 2 : le reste de la division de 2×15+3=33 par 26 est 7.
étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.
1. Que dire alors du codage obtenu lorsque l’on prenda=0 ?
2. Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l’on choisita=13.
3. Dans toute la suite de l’exercice, on prenda=5 etb=2.
a) On considère deux lettres de l’alphabet associées respectivement aux entiersnetp. Montrer, que si 5n+2 et 5p+2 ont le même reste dans la division par 26 alorsn−pest un multiple de 26. En déduire quen=p.
b) Coder le mot AMI.
4. On se propose de décoder l a lettre E.
a) Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l’élémentndeΩtel que 5n−26y=2, oùyest un entier.
b) On considère l’équation 5x−26y=2, avecxetyentiers relatifs.
b) Donner une solution particulière de l’équation 5x−26y=2.
b) Résoudre alors l’équation 5x−26y=2.
b) En déduire qu’il existe un unique couple (x;y) solution de l’équation précédente, avec 06x625.
c) Décoder alors la lettre E.
XIV -. EXERCICES DE BAC 38
L
Exerie 621. a) Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nulnle reste dans la division euclidienne par 9 de 7n. b) Démontrer alors que (2005)2005≡7 (9).
2. a) Démontrer que pour tout entier naturel non nuln : (10)n≡1 (9).
b) On désigne par N un entier naturel écrit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres.
Démontrer la relation suivante : N≡S (9).
c) En déduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.
3. On suppose que A=(2005)2005; on désigne par : – B la somme des chiffres de A ;
– C la somme des chiffres de B ; – D la somme des chiffres de C.
a) Démontrer la relation suivante : A≡D (9).
b) Sachant que 2005<10000, démontrer que A s’écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres. En déduire que B672180.
c) Démontrer que C645.
d) En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de D plus petit que 15.
e) Démontrer que D=7.
L
Exerie 63Partie A
Soit N un entier naturel, impair non premier.
On suppose que N=a2−b2oùaetbsont deux entiers naturels.
1. Montrer queaetbn’ont pas la même parité.
2. Montrer que N peut s’écrire comme produit de deux entiers naturelspetq.
3. Quelle est la parité depet deq?
Partie B
On admet que 250 507 n’est pas premier.
On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a;b) vérifiant la relation (E) : a2−250507=b2. 1. Soit X un entier naturel.
a) Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de X2modulo 9.
b) Sachant quea2−250507=b2, déterminer les restes possibles modulo 9 dea2−250507 ; en déduire les restes possibles module 9 dea2.
c) Montrer que les restes possibles modulo 9 deasont 1 et 8.
2. Justifier que si le couple (a;b) vérifie la relation (E), alorsa>501. Montrer qu’il n’existe pas de solution du type (501 ;b).
3. On suppose que le couple (a;b) vérifie la relation (E).
a) Démontrer queaest congru à 503 ou à 505 modulo 9.
b) Déterminer le plus petit entier naturelktel que le couple (505+9k;b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.
Partie C
1. Déduire des parties précédentes une écriture de 250 507 en un produit deux facteurs.
XIV -. EXERCICES DE BAC 39
2. Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ? 3. Cette écriture est-elle unique ?
L
Exerie 64Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :
« Étant donnés deux entiers naturelsaetbnon nuls, si PGCD(a;b)=1 alors PGCD(a2;b2)=1 ».
Une suite (Sn) est définie pourn>0 par Sn= Xn p=1
p3. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nuln, le plus grand commun diviseur de Snet Sn+1.
1. Démontrer que, pour toutn>0, on a : Sn=
Ãn(n+1) 2
!2
.
2. Étude du cas oùnest pair. Soitkl’entier naturel non nul tel quen=2k.
a) Démontrer que PGCD(S2k; S2k+1)=(2k+1)2PGCD¡
k2; (k+1)2¢ . b) Calculer PGCD (k;k+1).
c) Calculer PGCD(S2k; S2k+1).
3. Étude du cas oùnest impair. Soitkl’entier naturel non nul tel quen=2k+1.
a) Démontrer que les entiers 2k+1 et 2k+3 sont premiers entre eux.
b) Calculer PGCD(S2k+1; S2k+2).
4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur den, que l’on déterminera, pour laquelle Snet Sn+1sont premiers entre eux.
L
Exerie 65On considère la suite (un) d’entiers naturels définie par (
u0 = 14
un+1 = 5un−6 pour tout entier natureln 1. Calculeru1,u2,u3etu4.
Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres deun? 2. Montrer que, pour tout entier natureln,un+2≡un (modulo 4).
En déduire que pour tout entier naturelk,u2k≡2 (modulo 4) et u2k+1≡0 (modulo 4).
a) Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 2un=5n+2+3.
b) En déduire que, pour tout entier natureln, 2un≡28 (modulo 100).
3. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale deunsuivant les valeurs den.
4. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite (un) est constant. Préciser sa valeur.
L
Exerie 66On appelle (E) l’ensemble des entiers naturels qui peuvent s’écrire sous la forme 9+a2oùaest un entier naturel non nul ; par exemple 10=9+12; 13=9+22etc.
On se propose dans cet exercice d’étudier l’existence d’éléments de (E) qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.
XIV -. EXERCICES DE BAC 40
1. Étude de l’équation d’inconnuea : a2+9=2noùa∈N,n∈N,n>4.
a) Montrer que siaexiste,aest impair.
b) En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.
2. Étude de l’équation d’inconnuea : a2+9=3noùa∈N,n∈N,n>3.
a) Montrer que sin>3, 3nest congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b) Montrer que siaexiste, il est pair et en déduire que nécessairementnest pair.
c) On posen=2poùpest un entier naturel,p>2. Déduire d’une factorisation de 3n−a2, que l’équation proposée n’a pas de solution.
3. Étude de l’équation d’inconnuea : a2+9=5noùa∈N,n∈N,n>2.
a) En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation n’a pas de solution sinest impair.
b) On posen=2p, en s’inspirant de2. c.démontrer qu’il existe un unique entier naturelatel quea2+9 soit une puissance entière de 5.
L
Exerie 67Les suites d’entiers naturels (xn) et (yn) sont définies surNpar :
x0=3 et xn+1=2xn−1 y0=1 et yn+1=2yn+3.
1. Démontrer par recurrence que pour tout entier natureln,xn=2n+1+1.
2. a) Calculer le pgcd dex8etx9, puis celui dex2002etx2003. Que peut-on en déduire pourx8etx9d’une part, pourx2002et x2003d’autre part ?
b) xnetxn+1sont-ils premiers entre eux pour tout entier natureln? 3. a) Démontrer que pour tout entier natureln, 2xn−yn=5.
b) Exprimerynen fonction den.
c) En utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l’entier naturelple reste de la division euclidienne de 2ppar 5.
d) On notednle pgcd dexnetynpour tout entier natureln.
Démontrer que l’on adn=1 oudn=5 ; en déduire l’ensemble des entiers naturelsntels quexn etyn soient premiers entre eux.
L
Exerie 68On considère deux entiers naturels, non nuls,xetypremiers entre eux.
On pose S=x+yet P=x y.
1. a) Démontrer quexet S sont premiers entre eux, de même queyet S.
b) En déduire que S=x+yet P=x ysont premiers entre eux.
c) Démontrer que les nombres S et P sont de parités différentes (l’un pair, l’autre impair).
2. Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3. Trouver les nombres premiers entre euxxetytels que : SP=84.
4. Déterminer les deux entiers naturelsaetbvérifiant les conditions suivantes : ( a+b = 84
ab = d3
avecd=pgcd(a;b) (On pourra posera=d xetb=d yavecxetypremiers entre eux)
XIV -. EXERCICES DE BAC 41
L
Exerie 691. On considère l’équation (1) d’inconnue (n,m) élément deZ2: 11n−24m=1.
a) Justifier, à l’aide de l’énoncé d’un théorème, que cette équation admet au moins une solution.
b) En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de l’équation (1).
c) Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1).
2. recherche du P.G.C.D. de 1011−1 et 1024−1.
a) Justifier que 9 divise 1011−1 et 1024−1.
b) (n,m) désignant un couple quelconque d’entiers naturels solutions de (1), montrer que l’on peut écrire
¡1011n−1¢
−10¡
1024m−1¢
=9.
c) Montrer que 1011−1 divise 1011n−1.
(on rappelle l’égalitéan−1=(a−1)¡
an−1+an−2+ ··· +a0¢
, valable pour tout entier naturelnnon nul).
Déduire de la question précédente l’existence de deux entiers N et M tels que :
¡1011−1¢ N−¡
1024−1¢ M=9.
d) Montrer que tout diviseur commun à 1024−1 et 1011−1 divise 9.
e) Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de 1024−1 et 1011−1.
L
Exerie 70Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres
a=n3−n2−12n et b=2n2−7n−4.
1. Montrer, après factorisation, queaetbsont des entiers naturels divisibles parn−4.
2. On poseα=2n+1 etβ=n+3. On notedle PGCD deαetβ.
a) Établir une relation entreαetβindépendante den.
b) Démontrer quedest un diviseur de 5.
c) Démontrer que les nombresαetβsont multiples de 5 si et seulement sin−2 est multiple de 5.
3. Montrer que 2n+1 etnsont premiers entre eux.
4. a) Déterminer, suivant les valeurs denet en fonction den, le PGCD deaetb.
b) Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliersn=11 etn=12.
L
Exerie 711. On cherche deux entiers relatifsxetysolutions de l’équation (1)ax+by=60 (aetbentiers naturels donnés tels queab6=0).
On noteradle plus grand commun diviseur deaetb.
a) On suppose que l’équation (1) a au moins une solution (x0;y0). Montrer queddivise 60.
b) On suppose queddivise 60. Prouver qu’il existe alors au moins une solution (x0;y0) à l’équation (1).
XIV -. EXERCICES DE BAC 42
2. On considère l’équation : (2) 24x+36y=60. (xetyentiers relatifs).
a) Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l’équation (2).
b) Trouver une solution évidente pour l’équation (2) et résoudre cette équation. On appellera S l’ensemble des couples (x;y) solutions.
c) Énumérer tous les couples (x;y) solutions de (2) et tels que :
−106x610.
Donner parmi eux, ceux pour lesquelsxetysont multiples de 5.
d) Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l’ensemble E des points M de coordonnées (x;y) telles que :
( x = 1+3t y = 1−2t t∈R.
e) Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions (x;y) de l’équation (2) appartiennent à E.
Comment peut-on caractériser S ?
L
Exerie 72Dans tout l’exercice,ndésigne un entier naturel non nul.
1. a) Pour 16n66, calculer les restes de la division euclidienne de 3npar 7.
b) Démontrer que, pour toutn, 3n+6−3nest divisible par 7.
En déduire que 3net 3n+6ont le même reste dans la division par 7.
c) À l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 31 000par 7.
d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3npar 7, pournquelconque ? e) En déduire que, pour tout entier natureln,3nest premier avec 7.
2. Soit Un=3+32+ ··· +3n−1=
i=Xn−1 i=0
3i, oùnest un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a) Montrer que si Unest divisible par 7, alors 3n−1 est divisible par 7.
b) Réciproquement, montrer que si 3n−1 est divisible par 7, alors Unest divisible par 7.
En déduire les valeurs dentelles que Unsoit divisible par 7.
L
Exerie 73On considère l’équation
(1) : 20b−9c=2.
où les inconnuesbetcappartiennent à l’ensembleZdes nombres entiers relatifs.
1. a) Montrer que si le couple (b0;c0d’entiers relatifs est une solution de l’équation (1), alorsc0est un multiple de 2.
XIV -. EXERCICES DE BAC 43
b) On désigne pardle p.g.c.d. de|b0|et|c0|. Quelles sont les valeurs possibles ded?
2. Déterminer une solution particulière de l’équation (1), puis déterminer l’ensemble des solutions de cette équation.
3. Déterminer l’ensemble des solutions (b;c) de (1) telles que p.g.c.d.(b;c)=2.
4. Soitrun nombre entier naturel supérieur ou égal à 2. Le nombre entier naturel P, déterminé par P=αnrn+αn−1rn−1+...+α1r+α0
, oùαn, αn−1, ...,α1, α0 sont des nombres entiers naturels vérifiant 0<αn <r, 06αn−1<r,..., 06, α0<r est noté αnαn−1...α1α0(r); cette écriture est dite « écriture de P en baser ». Soit P un nombre entier naturel s’écrivantca5(6) et bbaa(4)(en base six et en base quatre respectivement).
Montrer quea+5 est un multiple de 4 et en déduire les valeurs dea, puis debet dec.
Donner l’écriture de P dans le système décimal.
L
Exerie 741. On considère l’équation (E) : 8x+5y=1, où (x;y) est un couple de nombres entiers relatifs.
a) Donner une solution particulière de l’équation (E).
b) Résoudre l’équation (E).
2. Soit N un nombre naturel tel qu’il existe un couple (a;b) de nombres entiers vérifiant :
( N = 8a+1 N = 5b+2.
a) Montrer que le couple (a;b) est solution de (E).
b) Quel est le reste, dans la division de N par 40 ?
3. a) Résoudre l’équation 8x+5y=100, où (x;y) est un couple de nombres entiers relatifs.
b) Au VIIIesiècle, un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ?
L
Exerie 75Dans tout l’exercicexetydésignent des entiers naturels non nuls vérifiantx<y. S est l’ensemble des couples (x,y) tels que PGCD(x,y)=y−x.
1. a) Calculer le PGCD(363, 484).
b) Le couple (363, 484) appartient-il à S ?
2. Soitnun entier naturel non nul ; le couple (n,n+1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse.
3. a) Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturelk non nul tel quex =k(y−x) et y = (k+1)(y−x).
b) En déduire que pour tout couple (x,y) de S on a : PPCM (x,y)=k(k+1)(y−x).
4. a) Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
b) En déduire l’ensemble des couples (x,y) de S tels que PPCM (x,y)=228.