sera lui aussi étudié dans ce qui suit. L'algorithme construit une carte de trapèzes (section 1.3.2). Un objet (un segment) est en con it avec une région (un trapèze) si le segment rencontre le trapèze. Un trapèze est déterminé par au plus 4 segments. L'ensemble des trapèzes vides détermine l'arrangement de l'ensemble de segments.
Quelques autres notations seront nécessaires. Sij est un entier, on note F
j
(S)l'ensemble des régions de F(S) de largeurj par rapport à S, et F
j
24 Chapitre II. Algorithmes incrémentaux randomisés statiques F (i) j (S) sera le sous-ensemble deF j
(S)des régions déterminées par des éléments
X de S
(b) de cardinaljXj=ib. F (i) j
(S)est dé ni de façon analogue.
Toutes les notions qui précèdent peuvent être dé nies de la même manière pour des sous-ensembles quelconques R de S. La largeur d'une région dé nie par R pourrait être calculée par rapport à n'importe quel ensemble d'objets. Pour la concision du langage, on appellera hhrégion de largeur j (sans plus de précision) dé nie par R
ii une région dé nie par R et de largeur j par rapport à
R. Si l'algorithme est incrémental, et si Rest l'ensemble des objets présents à un instant donné (R est l'ensemble courant d'objets), on appellera largeur courante
d'une région dé nie par S sa largeur par rapport àR.
Nous dé nissons dès maintenant les notations relatives à l'échantillonnage aléatoire. Un sous-ensembleRdeSest unéchantillonaléatoiredeS si les éléments de R sont choisis au hasard parmi ceux de S. Tous les échantillons aléatoires de taille r de S sont équiprobables, de probabilité 1
( n r )
où n est le cardinal de S. On notera f j (r;S) l'espérance mathématique E (r;S) [jF j (R)j] du nombre jF j (R)j
de régions de largeurj dé nies par un échantillon aléatoireRde tailler de S. De mêmef (i) j (r;S)=E (r;S) [jF (i) j (R)j]. En n, j
(r;S)est le maximum des espérances
f j (r 0 ;S) pour1r 0 r.
2.2 Une structure de données : le graphe de con- its
L'idée générale conduisant au graphe de con its de K.L. Clarkson n'est pas spé-ci que aux problèmes géométriques.
Le principe du graphe de con its est illustré dans [CS89] par l'exemple du tri par insertion. Le tri de n éléments par insertion peut être vu comme une alternative au schéma hhdivision-fusionii du tri rapide. A chaque étape, un nouvel élément est mis à sa place. Si on maintient une liste triée des éléments déjà insérés, ce tri peut être coûteux, car de nombreux éléments de la liste seront examinés à chaque nouvelle insertion.
Deux idées sont utilisées pour améliorer cet algorithme :
Supposons que l'on connaisse, pour chaque valeur n'ayant pas encore été insérée, sa place dans la liste courante, ainsi que, pour chaque place, la liste des valeurs non insérées correspondantes. Ces informations constituent le graphe de con its. Lors de l'insertion de l'élément c, si sa place est entre a
2.2. Une structure de données :le graphede con its 25 graphe de con its l'ensemble des valeurs non insérées comprises entre a et
b, en les comparant à c. Le temps d'insertion de c est donc proportionnel au nombre d'éléments entre a et b.
Si de plus les nombres sont insérés de façon randomisée, c'est à dire dans un ordre aléatoire, à l'étape r, les valeurs déjà insérées sont bien réparties dans l'ensemble de nombres à trier. Le nombre de valeurs comprises entre
a et b est proche de n r.
Ces deux hypothèses permettent de conclure à une complexité randomisée de
O n X r=1 n r ! =O(nlogn)
Ceci résume le schéma des algorithmes incrémentaux randomisés utilisant le graphe de con its. On peut remarquer que, dans ces algorithmes, le coût d'in-sertion est dominé par le coût de mise à jour de l'information concernant les con its.
Formalisons
ce schéma dans le cadre dé ni dans la section 2.1. Le problème géométrique se ramène à construire l'ensemble F0
(S)des régions de largeur nulle dé nies par un ensemble S de n objets.
La démarche incrémentale consiste à ajouter un à un les objets deS au sous-ensemble courant R de S tout en maintenant l'ensemble F
0
(R) des régions de largeur nulle dé nies par R.
A l'étaper, lorsque l'objetoest ajouté au sous-ensemble courantR, l'ensemble des régions de largeur courante nulle est mis à jour en supprimant les régions de
F 0
(R) en con it aveco et en y ajoutant de nouvelles régions de largeur courante nulle : les régions dé nies par les sous-ensembles de R[fogcontenant o, et sans con it avec les objets de R[fog.
Pour rendre cette mise à jour plus rapide, l'algorithme maintient, en plus de l'ensemble de régions F
0
(R), le graphe de con its. Le graphe de con its est un graphe bipartite, dé ni sur le produit cartésien F
0
(R)S nR, avec une arête pour chaque couple(F;o)formé d'une régionF de F
0
(R)et d'un objetodeSnR
en con it avec F.
Le graphe de con its permet donc de trouver rapidement (en temps linéaire par rapport au nombre de régions trouvées) les régions de F
0
(R) en con it avec le nouvel objet o traité à l'étape courante. En contrepartie, chaque étape incré-mentale doit maintenant inclure une phase de mise à jour du graphe de con its. Les arêtes de con it incidentes aux régions de F
0
(R) en con it avec o sont sup-primées, et de nouvelles arêtes sont créées pour représenter les con its impliquant
26 Chapitre II. Algorithmes incrémentaux randomisés statiques les nouvelles régions de largeur courante nulle (régions de F
0
(R[fog)nF 0
(R)) et les objets restant à insérer (objets de Sn(R[fog)). La complexité de chaque étape incrémentale est donc au minimum proportionnelle au nombre d'arêtes du graphe de con its mises à jour (c'est-à-dire créées ou détruites) à cette étape.
La dé nition du graphe de con its impose la connaissance de l'ensemble S
dès l'étape d'initialisation. C'est pourquoi les algorithmes l'utilisant sont intrin-sèquement statiques, bien qu'incrémentaux. Le but des chapitres suivants est d'introduire une structure tout aussi générale, mais permettant de s'aranchir de cette contrainte.
2.3 Techniques d'analyse
2.3.1 Echantillonnage aléatoire