A análise de uma rede pode ser feita, como na economia, de modo macro ou micro, de acordo com a necessidade ou do contexto. Como já verificado até aqui, existem diversos dispositivos para aferição de medidas em redes, tanto no contexto da rede como um todo (macro) quanto no contexto de um único nó (contexto micro). As medidas de centralidade ajudam a saber o quanto é centralizada uma rede ou um nó pertencente a ela. Mas qual a importância disso no contexto da relevância de um ator em uma rede social?
Segundo Brandes (2001), os índices de centralidade servem “para ranquear os atores de acordo com seu posicionamento na rede e interpretar a sua proeminência na estrutura social” (BRANDES, 2001, p. 164). Para Scott (1988), a análise de centralidade teve maior atenção da área de psicologia social, principalmente no âmbito da comunicação de pequenos grupos. Ainda assim, trabalhos de história da política também se utilizaram de tal artifício para contextualizar épocas específicas, como se vê em Padgett e Ansell (1993), que garantem que “independentemente de lugar ou tempo, a centralização política tem sido o coração da construção do Estado” (PADGETT; ANSELL, 1993, p. 1259). Para Newman (2001), a quantificação de medidas de centralidade, em específico a de betweennes, gera um “indicador de quem é a pessoa mais influente em uma rede social, aquela que controla o fluxo de informação para a maioria das outras” (NEWMAN, 2001, p. 161322).
A posição relativa de um agente em uma rede social é tão importante para a manutenção de sua hegemonia quanto o tipo de vínculos gerados no interior da rede. No caso de um arranjo produtivo, como visto em Ganzert (2010), quanto maior a centralização da rede em volta de um único agente, menos sustentável se torna o modelo no longo prazo, principalmente se os custos de conexão primária superarem seus benefícios, corroborado pelo conceito de utilidade de redes de Jackson e Wolinsky (1996). Além disso, no caso das redes econômicas, quanto mais centralizada a rede, mais evidente a condição monopolística da estrutura de relações desempenhada, e o mercado tende a colapsar caso não haja possibilidade de um contexto de diversificação em médio prazo.
A questão do equilíbrio de relevância no interior das redes passa pela discussão das medidas de centralidade e seu impacto. Tal importância gera a necessidade de sua melhor caracterização e definição, principalmente porque é sobre as medidas de centralidade que paira o ferramental que levou à elucidação do problema chave dessa pesquisa.
Segundo Borgatti (2005), é muito comum a classificação das medidas de centralidade em quatro grandes grupos: grau (quão conectado está um nó), proximidade (quão fácil um nó consegue atingir outros nós), betweenness (quão conectivo é um nó em relação à rede) e pela característica dos vizinhos (qual a influência do nó sobre seus vizinhos). Borgatti (2005) ainda faz críticas sobre como a literatura tem abordado a característica de multiplicidade de fluxos em redes sociais, como abordado adiante no capítulo 5.
A centralidade de grau indica apenas quão bem conectado está um nó em relação apenas às conexões diretas estabelecidas. A centralidade de grau pode ser mensurada por:
a# j 7 ! 7
Uma vez que a centralidade de grau se baseia na densidade de um nó em função do número de nós existentes na rede, seus valores oscilam entre 0 e 1, sendo o maior valor aquele que indica quão bem posicionado está o nó em termos de conexões diretas. No caso de redes direcionais, o conceito pode ser subdividido em centralidade de grau de entrada e centralidade de grau de saída, conforme utilizado por Tsai e Ghoshal (1998).
É possível medir também a centralidade de grau de toda a rede, baseando-se no maior grau mensurável entre os nós. Denotando i como o nó com a maior centralidade de grau a# ∗j 7 , tem-se que:
a# 7 A [a#
∗j 7 a# j 7 ] n
oTphq∈r{A [an # ∗j 7q a# j 7q ]}
Uma vez que o grau mínimo é 1 e o grau máximo é , o denominador da equação acima é igual a:
Dessa forma, poder-se-á simplificar, corroborado por Rusinowska et al (2011), a equação de centralidade de grau de uma rede para:
a# 7 A [a#
∗j 7 a
# j 7 ] n
Recuperando o conceito de topologia de redes, desconsiderando a atribuição de pesos às relações estabelecidas (ou considerando todos os pesos uniformemente iguais a 1), é possível dizer que redes do tipo estrela ou mononucleadas (GANZERT, 2010) possuem a# 7 , assim como redes do tipo regular, assim como as completas, também chamadas
de plenamente multinucleadas (GANZERT, 2010), terão a# 7 H.
A mensuração da centralidade de grau não garante uma boa análise do nó frente à rede como um todo, por considerar apenas as conexões estabelecidas diretamente. Um nó poderá,
por exemplo, se conectar a poucos outros nós diretamente, mas estar muito mais próximo em termos geodésicos da maioria dos nós da rede se o compararmos com um nó de maior centralidade de grau, mas que não possui uma posição geodésica tão expressiva. Por isso, utiliza-se na maioria das análises outra medida igualmente importante, a centralidade de proximidade.
A centralidade de proximidade, apresentada por Sabidussi (1966), mensura o quão próximo está um nó de qualquer outro nó da rede, sendo por dedução o inverso da distância média do nó i e qualquer outro nó j presente em g, onde considerando l(i,j) o número de conexões no geodésico de i e j, tem-se por:
A 2
Jackson e Wolinsky (1996) esboçam outra possibilidade de avaliar a centralidade de proximidade, valendo-se de seu conceito de benefício de conexão dado por '. Já que quanto mais longo o geodésico menor o benefício, em termos exponenciais, os autores permitem a adoção de uma medida de centralidade de decaimento, dada por:
'3
Em outros termos, a expressão aponta para a consolidação do conceito de que os maiores benefícios são auferidos pelas conexões mais próximas, sendo então a proximidade do nó em função do resto da rede que realmente importa para avaliar os benefícios percebidos, segundo o modelo de Jackson e Wolinsky (1996).
Freeman (1977) postulou pela primeira vez sobre a mais importante das medidas de centralidade no contexto desta pesquisa e de pesquisas sobre redes sociais em geral. Trata-se da centralidade de betweenness, que versa sobre quão bem situado está um nó em relação aos possíveis caminhos da rede. Brandes (2008) afirma que “a centralidade é um conceito primordial para a análise de redes sociais, e a betweenness é uma das mais proeminentes medidas da centralidade” (BRANDES, 2008, p. 136). Segundo Brandes (2001), o cálculo de centralidade de betweenness, apesar de demorado e custoso, revela muito sobre a situação de uma rede. Essa é a medida que viabilizou o trabalho de Padgett e Ansell (1993), e denota a posição estratégica de um nó em termos de posicionamento e relevância em uma rede. Como já visto anteriormente no tópico geral 2.3, se b denotar o número de geodésicos entre k e
j que passam por i, tendo por b o número total de geodésicos entre k e j, a importância de i para as conexões entre k e j poderá ser estimada pela relação:
b b
Essa relação foi denotada por Shimbel (1953) sob a alcunha de centralidade de estresse. Quanto mais próxima essa relação de 1, maior a expressão de i entre os geodésicos conectivos de k e j. Se a relação se aproxima de 0, menos importância tem i para os geodésicos conectivos de k e j. Assim, pode-se chegar a uma média da relevância de centralidade de i para toda a rede g, levando em consideração todas as demais conexões existentes. A essa média convencionou-se chamar de centralidade de betweenness de um determinado nó i, representado por a$. 7 , e expresso por:
a$. 7 b b s t ∉{ }
Em redes onde haja atribuição de pesos às relações, assumindo que cada relação possui uma grandeza de intensidade, também é possível incorporar ao conceito de centralidade de betweenness o impacto relativo à média dos pesos atribuídos a cada relação. Essa nova medida é chamada de centralidade ponderada de betweenness. Em redes com diferentes intensidades de conexões, alguns caminhos tornar-se-ão mais favoráveis que outros. Segundo Dall’Asta et al, “uma maneira simples de generalizar o geodésico em um gráfico ponderado consiste na atribuição a cada relação (i, j) um comprimento que seja uma função das características de seu enlace” (DALL’ASTA et al., 2006, p. 4). A centralidade ponderada de betweenness deverá ser representada por:
a$u. v b b s t ∉{ }
É possível inferir que o peso de cada relação seja dado pelo número de geodésicos entre k e j que passem pelo nó i em função do número total de geodésicos. Para tal, considerar-se-á que, sendo l(k,j) seja a distância em nós do geodésico formado entre os nós k e j, e que v seja definido por:
v b 2 b b
Se não houver conexão entre k e j, assume-se naturalmente que 2 b ∞. Significa dizer que a expressão completa da centralidade ponderada de betweenness é dada por:
a$u. b 2 b b x t ∉{ }
O que não pode ficar omitido aqui é que a ponderação dos laços ocorre de forma arbitrária e dependente do tipo de análise que se pretende. Uma proposta menos arbitrária é feita por Opsahl, Agneessens e Skvoretz (2010), que sugerem uma medida de centralidade ponderada de betweenness baseada na generalização dos geodésicos. O grande problema, segundo os autores, é “generalizar como identificar os geodésicos e como seus tamanhos são definidos (...) uma complicação surge quando os nós de uma rede possuem pesos diferentes” (OPSAHL; AGNEESSENS; SKVORETZ, 2010, p. 247). Para solução desse problema e identificação das relações válidas de uma rede ponderada, um algoritmo originalmente proposto por Dijkstra (1959) foi remodelado simultaneamente por Newman (2001) e Brandes (2001), chegando a uma medida de menor distância entre dois nós como:
!y
ZYn {|}, ⋯ , |} •
Opsahl, Agneessens e Skvoretz (2010) propuseram uma adaptação a esse algoritmo, adicionando um fator de ajuste , que é descrito como “um parâmetro de sintonia que pode
ser calibrado de acordo com os padrões e dados da pesquisa” (OPSAHL; AGNEESSENS; SKVORETZ, 2010, p. 247), modificando o algoritmo, agora a ser denotado por:
!y€ , = min • 1
‚| ƒ∝, ⋯ , 1 ‚|} ƒ∝…
Segundo os autores, “quando ∝= 0, a medida proposta produz as mesmas saídas do modelo de distância binária, enquanto que, quando ∝= 1, as saídas são as mesmas obtidas com o algoritmo de Dijkstra” (OPSAHL; AGNEESSENS; SKVORETZ, 2010, p. 248).
A partir dessa observação, é possível definir a centralidade de betweenness, conforme a notação de Opsahl, Agneessens e Skvoretz (2010), para um determinado nó i, por:
a.y∝ =7y∝
7y∝
Hibridizando essa constatação frente ao modelo de média visto anteriormente, a centralidade de betweenness média de uma rede poderá ser calculada através da expressão:
a.y∝= 7y∝ 7y∝ − 1 − 2 2 t : ∉ ,
Uma proposta alternativa de medida da centralidade ponderada de betweenness é oferecida adiante, no tópico 5.4, de forma mais aderente ao conceito discreto proposto por Freeman (1977), formulada no contexto das redes multidimensionais e das novas perspectivas teóricas pretendidas por esta tese.
Existem outras medidas de centralidade que derivam das primárias já apresentadas, geralmente sob um ferramental mais sofisticado e orientado para aplicações específicas. Algumas delas são apresentadas a seguir, por conveniência e alinhamento em relação ao tema cerne desta pesquisa.