L ES RAISONNEMENTS EN LOGIQUES DE DESCRIPTION

Le raisonnement est un processus qui permet de produire de nouveaux r ´esultats ou de v ´erifier des faits. Cependant, il existe diff ´erents types de raisonnements selon qu’ils soient appliqu ´es sur la TBox ou la ABox. Dans cette section, nous ´etudierons les diff ´erents types de raisonnements propres `a la logique de description. Dans un second temps, nous discuterons de la complexit ´e des raisonnements.

B.2.1/ RAISONNEMENT SUR LA TBOX

La TBox (T) d ´ecrit les connaissances g ´en ´erales d’un domaine au travers d’un ensemble de classes et propri ´et ´es. Il existe quatre principaux probl `emes d’inf ´erences au niveau terminologique [Baader et al., 2003] :

• Satisfaisabilit ´e :Un conceptCd’une terminologieT est satisfiable si et seulement si il existe un mod `ele I de T tel que C<sup>I</sup> <sub>,</sub> ∅. Autrement dit, un concept est satisfaisable si au moins un individu peut appartenir `a l’ensemble d ´ecrit par ce concept. Par exemple, le concept Foretˆ u ¬Foretˆ est insatisfaisable puisqu’il est impossible d’incarner un concept et son contraire. Par cons ´equent, aucun individu ne peut appartenir `a la classe repr ´esentant l’intersection du concept Foretˆ avec le concept¬Foretˆ .

• Subsomption : Un concept C est subsum ´e par un concept D pour une ter-minologie si et seulement si C^I ⊆ D^I pour tout mod `ele I de T. En utilisant la syntaxe de la logique de description, on ´ecrira T |= C v D. Ainsi, en reprenant la d ´efinition suivante d’une zone industrielle : ZoneIndustrielle ≡

ZoneActivite´u ∃possede` .ParcIndustrielu ∃possede` .In f rastructures, il est possible de d ´emontrer que ZoneIndustrielle v ZoneActivite´. En effet, une zone industrielle est une zone d’activit ´e poss ´edant des caract ´eristiques particuli `eres permettant distin-guer les deux concepts. En d’autres termes, une zone industrielle est un type parti-culier de zone d’activit ´e. Ainsi, si un individu appartient au conceptZoneIndustrielle

alors il appartient ´egalement au concept ZoneActivite´. Il est ´egalement pos-sible d’effectuer des raisonnements en d ´efinissant des concepts tels que :

T issuUrbainContinu v ZoneUrbanisee´ et ZoneUrbanisee´ v T erritoireArti f icialise´. D `es lors, il est possible d’inf ´erer que T issuUrbainContinu v T erritoireArti f icialise´. D’autres exemples impliquant l’inf ´erence d’une relation de subsomption existent mais ne seront pas d ´etaill ´es dans cette section.

• Equivalence :^´ Un conceptCest ´equivalent `a un concept Dpour une terminologie si et seulement siC<sup>I</sup> = D<sup>I</sup>pour chaque mod `eleIdeT. En utilisant la syntaxe de la logique de description, on ´ecriraT |=C≡ D.

• Disjonction : Des concepts C et D sont disjoints par rapport terminologie si et seulement si C^I∩ D^I = ∅ pour chaque mod `ele I de T. En utilisant la syntaxe

de la logique de description, on ´ecrira T |= C u D v ⊥. Prenons les concepts

Ville et Campagne avec Ville ≡ ¬Campagne alors VilleuCampagne v ⊥. Ainsi, il

est int ´eressant de noter que le compl ´ement d’un concept implique la disjonction entre les deux concepts tandis que la disjonction n’implique pas n ´ecessairement le compl ´ement. Par exemple, imaginons les concepts ZoneIndustrielle et

ZoneA-gricole d ´efinis comme disjoints. Cela n’implique aucunement queZoneIndustrielle

soit le compl ´ement deZoneAgricole. Dans ce cas pr ´ecis, c¸a n’est d’ailleurs pas le cas car ces deux concepts sont des sous-concepts deZoneActivit ´equi regroupent ´egalement les concepts de ZoneArtisanale, ZonePortuaire, ZoneTechnologique, etc.

B.2.2/ RAISONNEMENT SUR LA ABOX

Apr `es que la TBox ait ´et ´e d ´efinie et des m ´ecanismes de raisonnement appliqu ´es dessus afin de v ´erifier que les concepts sont satisfiables ou encore que les relations de sub-somption inf ´er ´ees respectent la hi ´erarchie de concepts d ´efinis, la ABox peut alors ˆetre remplie avec des instances. Pour rappel, il existe deux types d’instances que sont les instances de concept de la formeC(a)et les instances de r ˆoles de la formeR(a,b). L’un des raisonnements typiques de la ABox consiste `a v ´erifier la consistance des connais-sances ins ´er ´ees dans la ABox. Par exemple, si la ABox poss `ede les axiomes sui-vants : Region´ (Bourgogne) et Departement´ (Bourgogne) et si la TBox d ´efinit que Region´ et

Departement´ sont des concepts disjoints alors ces deux axiomes sont inconsistants car la Bourgogne ne peut ˆetre `a la fois un d ´epartement et une r ´egion. Litt ´eralement, la consis-tance d’une ABox consiste `a s’assurer que celle-ci ne contienne aucune assertionC(a) telle qu’il est impossible queaappartienne `aC. De fac¸on plus formelle, la d ´efinition de la consistance est la suivante : une ABox (A) est consistante dans le respect de la TBox (T), s’il existe une interpr ´etation qui satisfait `a la foisAetT. D `es lors, il est int ´eressant de no-ter que pour une TBox vide, toutes les assertions sont consistantes dans le respect de la TBox puisqu’aucune restriction n’est ´etablie. Ainsi, si les conceptsRegion´ etDepartement´ n’ ´etaient pas d ´efinis comme disjoints dans la TBox, les axiomes Region´ (Bourgogne) et

Departement´ (Bourgogne) auraient ´et ´e consistants. Le m ˆeme principe s’applique sur les instances de r ˆoles, ainsi la v ´erification de la consistance d’une base de connaissances regroupe deux probl `emes d’inf ´erences que sont :

• La v ´erification d’instance :V ´erifier par inf ´erence si une assertionC(a) est vraie pour tout mod `eleId’une ABoxAet d’une TBoxT.

• La v ´erification de r ˆole :V ´erifier par inf ´erence si une assertionR(a,b)est vraie pour tout mod `eleId’une ABoxAet d’une TBox T.

Un autre type d’inf ´erence pouvant ˆetre appliqu ´e sur une ABox consiste `a d ´eterminer si un individu appartient `a une certaine classe. Ce probl `eme est connu sous le nom de probl `eme de r ´ecup ´eration et d ´efini de la fac¸on suivante :

• Le probl `eme de r ´ecup ´eration :Pour une ABoxA, un conceptCd’une terminologie T, inf ´erer les individusa<sup>I</sup><sub>1</sub>. . .a<sup>I</sup><sub>n</sub> ∈C<sup>I</sup>pour tout mod `eleIdeT.

AinsiA |=C(a) si `a partir d’une ABoxA, on peut d ´eduire queaappartient au conceptC. Si la ABox contient directement l’assertionC(a), l’assertion est triviale, cependant il existe des cas plus complexes et plus int ´eressants. Reprenons l’exemple suivant permettant de d ´efinir le concept deZoneIndustrielledans la TBoxT :

ZoneIndustrielle≡ZoneActivite´uParcIndustrieluIn f rastructures (B.25) Consid ´erons, `a pr ´esent, la ABoxAcontenant l’assertionZoneIndustrielle(T royesZI), il est alors possible d’inf ´erer l’assertionZoneActivite´(T royesZI). Ce type d’inf ´erence existe sous de nombreuses formes au sein d’une base de connaissances. Prenons, par exemple une TBox contenant les assertions suivantes :

∃estCapitaleDevVille

> v ∀estCapitaleDe.Pays (B.26)

Le premier axiome signifie que la relation estCapitaleDe ne peut s’appliquer qu’ `a des individus de la classe Ville. Le deuxi `eme axiome d ´efinit que tous les individus de do-maine de la relation estCapitaleDe appartiennent `a la classePays. En d’autres termes, la relationestCapitaleDe ne s’applique qu’entre un individu de la classeVille et un indi-vidu de la classePaysavec le conceptVillecomme domaine de la relation et le concept

Pays comme image de la relation. En consid ´erant, ´egalement une ABox contenant l’as-sertion suivante :estCapitaleDe(Paris,France), il est alors possible d’inf ´erer les assertions suivantes :Ville(Paris)etPays(France).

B.2.3/ COMPLEXITE DE L´ ’INFERENCE´

Comme ´etudi ´e pr ´ec ´edemment, la complexit ´e du raisonnement est directement d ´ependante du niveau d’expressivit ´e de la base de connaissances. La complexit ´e d’un raisonnement se d ´efinit selon plusieurs classes en temps ou en espace. La complexit ´e en temps correspond `a l’ ´evaluation du temps d’ex ´ecution de l’algorithme tandis que la complexit ´e en espace correspond `a l’espace m ´emoire occup ´e par l’ex ´ecution de l’algo-rithme. Pour gagner du temps de calcul, il faut donc utiliser davantage d’espace m ´emoire, toutefois on s’int ´eresse davantage `a la complexit ´e en temps. D’autre part, les classes de complexit ´e se divisent selon deux types de machine de Turing : les machines de Tu-ring d ´eterministes ou non-d ´eterministes. Une machine de TuTu-ring non d ´eterministe est une machine de Turing habituelle, c’est- `a-dire d ´eterministe, mais qui peut avoir plusieurs transitions activables, pour un ´etat donn ´e. En cons ´equence les calculs d’une machine de Turing d ´eterministe forment une suite tandis que ceux d’une machine de Turing non d ´eterministe forment un arbre, dans lequel chaque chemin correspond `a une suite de calculs possibles. La complexit ´e des calculs diff `ere entre les deux approches. Ainsi la complexit ´e d’une classe sur une machine non-d ´eterministe contient la classe correspon-dante sur une machine d ´eterministe. parmi lesquelles nous citerons :

• P: la classe des probl `emes qui peuvent ˆetre r ´esolus en temps polynomial sur une machine d ´eterministe. Ces probl `emes sont souvent consid ´er ´es comme ceux pour lesquels il existe un algorithme efficace. La complexit ´e de ces probl `emes estO(n^k) pour unkdonn ´e.

• NP: la classe des probl `emes qui peuvent ˆetre r ´esolus en temps polynomial sur une machine non d ´eterministe.

• PSpace : la classe des probl `emes qui peuvent ˆetre r ´esolus en espace polynomial sur une machine d ´eterministe.

• ExpTime: la classe des probl `emes qui peuvent ˆetre r ´esolus en temps exponentiel sur une machine d ´eterministe.

• NExpTime: la classe des probl `emes qui peuvent ˆetre r ´esolus en temps exponentiel sur une machine non-d ´eterministe.

Type d’inf ´erence Langages

ALC S SH − SH IF SH OIN SROIQ

Satisfiabilit ´e PSpace PSpace ExpTime NExpTime NExpTime

de concept Complet Complet Complet Complet Complet

Consistance PSpace - ExpTime NExpTime NExpTime

V ´ERIFICATION DE CONTRAINTES

D’INT_EGRIT´ _E´

Sommaire

C.1 Les contraintes de subsomption . . . 177

C.2 Les contraintes domain-range . . . 178

C.3 Les contraintes de participation . . . 179

C.4 Les contraintes de cardinalit ´e . . . 181

C.5 Les contraintes de propri ´et ´es . . . 184

C.6 Les contraintes complexes . . . 185

C.1/ L

Ce genre de contrainte garantit que certaines relations de superclasse et de sous-classe existent entre instances.

Une capitale doit ˆetre une ville :

Contrainte

:Capital rdfs:subClassOf :City

Base de donn ´ees A :invalide

:Paris a :Capital .

Base de donn ´ees B :valide :Paris a :Capital , :City .

Cette contrainte indique que si un individu RDF est une instance de Capitale, il doit aussi ˆetre une instance de Ville. Dans le cas de A, la seule instance de Capitale, `a savoir Paris, n’est pas une instance de Ville ; par cons ´equent, A est non valide. Dans le cas de B, Paris est une instance de Capitale et ´egalement de Ville, B est donc valide.