L’ansatz de r´esolution

Un d´eveloppement de Taylor aupremier ordre assure l’existence de A_n et E_n,n tels que A_n =A^◦n+x_nA_n et E_n,n = E^◦n,n+x_nE_n,n o`u A^◦_n (resp En,n◦ ) d´esigne la trace deAn (respEn,n) enxn= 0.

La substitution du d´eveloppement

j0

√ε^jU^j(t, x,xn

ε ,√xn

ε)

`

a la place de u^ε dans (1.1) donne, par la proposition pr´ec´edente un d´eve-loppement (l’ansatz de r´esolution)

j−2

√ε^jF^j(t, x,xn

ε ,√xn

ε)

o`ules profilsF<sup>j</sup>sont dansP(ΩT) et se d´ecomposent de la mani`ere suivante : Fa⁻² = F_b⁻²= 0, Fc⁻²=A^◦n∂zUc⁰−E^◦n,n∂zzUc⁰

Fa⁻¹ = 0, F_b⁻¹=A^◦_n∂_θUb⁰ Fc⁻¹=A^◦_n∂_zUc¹−E^◦n,n∂_zzUc¹, Fa⁰ = HUa⁰−F(t, x,Ua⁰)−f(t, x),

F_b⁰ = A^◦n∂θU_b¹+HU_b⁰+A_nθ∂θU_b⁰−E^◦n,n∂θθU_b⁰−F(t, x,U_a⁰+U_b⁰)+F(t, x,U_a⁰), F_c⁰ = A^◦n∂zU_c²−E^◦n,n∂zzU_c²+q_c⁰,

et, pourj1,

F_a^j = HU_a^j−F_u(t, x,U_a⁰).U_a^j+q_a^j,

F_b^j = A^◦_n∂_θU_b^j+1+HU_b^j+A_nθ∂_θU_b^j−E^◦n,n∂_θθU_b^j

− F_u(t, x,U_a⁰+U_b⁰).(U_a^j+U_b^j) +F_u(t, x,U_a⁰).U_a^j+q_b^j, F_c^j = A^◦n∂zU_c^j+2−E^◦n,n∂zzU_c^j+2+q^j_c,

o`ul’on a regroup´e un certain nombre de termes de la fa¸con suivante : q_c⁰:= (H − Ec)U_c⁰−F(t, x,U_a⁰+U^◦0b+U_c⁰) +F(U_a⁰+U^◦0b),

q_a¹:= 0, q_b¹:=−EbUb⁰, q¹_c := (H − Ec)U_c¹−Q¹_c(t, x, z,(U_a^k,U_c^k)k1,(

◦

∂_θⁱU_b^k)i+k1), et pourj2

q^j_a := −EU_a^j−2−Q^j_a(t, x,(U_a^k)kj−1),

q_b^j := −EbU_b^j−1− EU_b^j−2−Q^j_b(t, x,(Ua^k,Ub^k)_kj−1), q_c^j := (H − Ec)Uc^j− EUc^j−2−Q^j_c(t, x, z,(Ua^k,Uc^k)_kj,(

◦

∂_θⁱUb^k)_i+kj).

On noteEb et Ec les op´erateurs Eb:=

n i=1

∂i(Ein∂θ.) +∂θ(Eni∂i.), Ec :=

n i=1

∂i(Ein∂z.) +∂z(Eni∂i.).

On a not´e pour all´egerq_a^j ,q_b^j (pourj∈N^∗) etq^j_c (pourj∈N) aulieude q_c⁰(t, x,Ua⁰,U^◦0b,Uc⁰, ∂_t,xUc⁰, ∂_z∂_xUc⁰),

q_b¹(t, x,(∂^β_x∂θUb⁰)β=0,1), q_c¹(t, x, z,(Ua^k,Uc^k)k1,(

◦

∂_θⁱUb^k)i+k1, ∂t,xUc¹,(∂z∂_x^βUc¹)β=0,1), et, pourj2,

q_a^j(t, x,(∂_x^βUa^j−2)_β=1,2,(Ua^k)_kj−1), q_b^j(t, x,(U_a^k,U_b^k)kj−1,(∂^β_x∂θU_b^j−1)β=0,1,(∂^β_xU_b^j−2)β=1,2), q^j_c(t, x, z,(Ua^k,Uc^k)kj,(

◦

∂_θⁱUb^k)i+kj, ∂t,xUc^j,(∂z∂_x^βUc^j)β=0,1,(∂xUc^j−2)β=1,2).

On note∂xla collection des (∂i)i=1,...,n, ∂η la collection des (∂i)i=1,...,n

et de∂θ et ∂t,x la collection des (∂i)i=0,...,n. On a alors que, pourj1,q_b^j d´epend de

(t, x,(U_a^k,U_b^k)kj−1,(∂_η^β(U_b^j−1,U_b^j−2)β=0,1).

5.3. Changement de variables

Nous allons proc´eder `a un changement d’inconnue dont le but est de trivialiser les coefficients devant les d´eriv´ees secondes en les variables rapides introduites par la viscosit´e. Le fait remarquable est que l’on peut conserver le caract`ere sym´etrique.

Introduisons les champs r´eguliers de matricesL×L:R(t, y) :=E^◦

1

A ces trois sous-espaces, on associe, pour tout (t, y), leur dimension res-pectived₊,d₀etd₋; des bases orthogonales respectives d’´el´ements propres ((λ_j, r_j))_j∈I+, ((λ_j, r_j))_j∈I0 et ((λ_j, r_j))_j∈I− et les projecteurs orthogonaux respectifsP₊, P₀ etP₋.

Introduisons U^k := RU^j et multiplions les ´equations pr´ec´edentes par R⁻¹ `a gauche. Notant ˜F^j :=R⁻¹F^j, ˜H:=R⁻¹HR⁻¹, ˜F(U) :=R⁻¹F(U),

on a :

F˜a⁻² = ˜F_b⁻²= 0 F˜c⁻²= Λ∂zU_c⁰−∂zzU_c⁰,

F˜_a⁻¹ = 0 F˜_b⁻¹= Λ∂θU_b⁰ F˜_c⁻¹= Λ∂zU_c¹−∂zzU_c¹, F˜_a⁰ = ˜HU_a⁰−F˜(t, x, U_a⁰)−f(t, x),

F˜b⁰ = Λ∂_θU_b¹+ ˜HU_b⁰+ Λθ∂_θU_b⁰−∂_θθU_b⁰−F(t, x, U˜ _a⁰+U_b⁰) + ˜F(t, x, U_a⁰), F˜_c⁰ = Λ∂zU_c²−∂zzU_c²+ ˜q_c⁰

et, pourj1,

F˜a^j = H˜U_a^j−F˜_u(t, x, U_a⁰).U_a^j+ ˜q^j_a,

F˜_b^j = Λ∂θU_b^j+1+ ˜HU_b^j+ Λθ∂θU_b^j−∂θθU_b^j,

− F˜_u(t, x, U_a⁰+U_b⁰).(U_a^j+U_b^j) + ˜F_u(t, x, U_a⁰).U_a^j+ ˜q^j_b, F˜c^j = Λ∂zU_c^j+2−∂zzU_c^j+2+ ˜q^j_c.

5.4. Probl`eme hyperbolique-parabolique

Dans ce paragraphe, nous donnons des r´esultats concernant le probl`eme mixte et le probl`eme de prolongement pour un certain type d’´equation dite hyperbolique-parabolique ([12]). Ces r´esultats seront utilis´es par la suite dans l’analyse de la CLC. Consid´erons T₀ > 0 et notons K := P₀ΛP₀, H := P₀H˜P₀ +Kθ∂_θ. H est un op´erateur sym´etrique hyperbolique sur l’espace des fonctions telles que (Id−P₀)W = 0 pour lequel {x_n = 0} est totalement caract´eristique. Introduisons l’espaceN(T) :=H^∞(ΩT,S(R+)) et le probl`eme

(Id−P₀)W = 0, quand (t, x)∈Ω_T ×R⁺_θ, (5.3) (−∂_θ²+H)W =P0f(t, x, p, W) quand (t, x)∈ΩT ×R⁺_θ, (5.4) W|θ=0=b quand (t, x)∈ΩT (5.5) W =a quand t= 0 (5.6) o`uf(t, x, p, W)∈C^∞,p(t, x, θ)∈ N(T0),b∈H^∞(ΩT).

Examinons la compatibilit´e des donn´ees : siW est une solution r´eguli`ere de (5.3)−(5.4)−(5.6) avecT >0 alors il existe des fonctions (I_k)_k∈N de classeC^∞telles que

(∂_t^kW)|t=0=I_k(x, θ,(∂ⁱ_x∂_θ^ja)_i+j

2k). (5.7)

Si, de plus,W v´erifie (5.5), on a n´ecessairement sur le coin {t=θ= 0}

les relations de compatibilit´e

(R_k) : Ik(x,0,(∂_xⁱ∂_θ^ja)_i+^j

2k) = (∂^k_tb)|t=0.

La r´eciproque est contenue dans le th´eor`eme suivant

Th´eor`eme 5.3. — Soit a∈H^∞(Rⁿ+,S(R+)). Alors les assertions sui-vantes sont ´equivalentes :

(1). La fonctionav´erifie les relations(R_k),

(2). Il existeT ∈]0, T0]etW ∈ N(T)solution r´eguli`ere de(5.3)−(5.4)− (5.5)−(5.6).

La relation (R_k) d´epend des termes sources par l’interm´ediaire des (∂_t^lf)_lk−1, (fp^(l))_lk−1, (f_W^(l))_lk−1et (∂^l_tb)_lk.

De mˆeme que pour le probl`eme mixte hyperbolique, on a le r´esultat d’existence de donn´ees compatibles `a tout ordre suivant :

Proposition 5.4. — Il existe a ∈ H^∞(Rⁿ+,S(R+)) v´erifiant les rela-tions(R_k)_k∈N.

Preuve. — On commence par remarquer qu’il existe des fonctions ( ˜Ik)_k∈N de classeC^∞telles que

I_k(x, θ,(∂_xⁱ∂_θ^ja)_i+^j

2k) =∂_θ^2ka+ ˜I_k(x, θ,(∂_xⁱ∂_θ^ja)_i+^j

2k,j<2k). (5.8) On obtient ainsi l’existence de fonctions (ak)_k∈N∈H^∞(Rⁿ₊) telles que

a0=b, Ik(x, θ,(∂_xⁱaj)_i+^j

2k) = (∂_t^kb)|t=0 ∀k1.

On conduit en utilisant la variante suivante du Lemme 3.24 :

Lemme 5.5. — Soient (ak)_k∈N une suite de fonctions de H^∞(Rⁿ₊). Il existe une fonction a∈H^∞(Rⁿ₊,S(R+))telle que, pour tout entier naturel k,∂_θ^ka|θ=0=ak.

La d´emonstration suit celle du Lemme 3.24, `a la diff´erence pr`es qu’on consid`ere ici une variable suppl´em´entaire. On exige aussi une d´ecroissance plus rapide `a l’infini, mais le proc´ed´e d´emonstratif conduit `a une fonction C<sup>∞</sup>`a support compact enθ, ce qui assure l’appartenance `aH^∞(Rⁿ₊,S(R+)).

La preuve pr´ec´edente assure le r´esultat suivant :

Proposition 5.6. — Il existe des fonctions(A_k)_k∈Nde classeC^∞telle que, poura∈H^∞(Rⁿ+×R+), les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(1). La fonctionav´erifie les relations(Rk)_k∈N. (2). Pour toutk∈N, pour touty∈Rⁿ⁻¹,

(∂_θ^2ka)(x,0) =Ak(x,((∂_xⁱ∂_θ^ja(x,0))_i+^j

2, j<2k)).

On en d´eduit le th´eor`eme de prolongement suivant pour le probl`eme :





(Id−P0)W = 0

(−∂_θ²+H)W =P0f(t, x, p, W) quand (t, x, θ)∈Ω_T ×R⁺_θ, W|θ=0=b quand (t, x)∈ΩT

(5.9)

Th´eor`eme 5.7. — Si W ∈ N(T) est solution de (5.9) avec T ∈]0, T0] alors il existe un tempsT₁∈]T, T₀]et un unique prolongement deW en une fonction encore not´eeW deN(T₁)solution de





(Id−P0)W = 0

(−∂_θ²+H)W =P0f(t, x, p, W) quand (t, x, θ)∈ΩT1×R⁺_θ, W|θ=0=b quand (t, x)∈ΩT1

(5.10) De plus, soitT^∗:= sup{T₁∈]0, T₀]/ il existe un prolongement deW en une fonction encore not´ee W ∈ N(T₁) solution de (5.10)}. Si T^∗ < T₀, on a

||W||_L∞(Ωt×R⁺θ)→+∞quandt→T^∗. Dans le cas lin´eaire, T^∗=T₀. 5.5. Le tableau de la cascade

On introduit le probl`eme (S_cl^j(T)) :

Π+U^j|xn=θ=z=0= 0 quand (t, x)∈ΓT,

(Id−Π₊)(Ua^j|xn=0+U_b^j|θ=0+Uc^j|z=0) = 0 quand (t, x)∈Ω_T . Le caract`ere un peu artificiel de ces conditions aux limites provient de ce qu’on a voulu garder une d´ependance enxn auniveaudes profils de couche limite. Voil`a pourquoi il est n´ecessaire de faire «baver» les conditions aux limites sur certaines composantes pour les couches limites afin de pr´eserver une certaine unicit´e. La motivation de la pr´esence duxn r´eside en la possi-bilit´e de g´en´eraliser ces r´esultats au cas d’un domaine situ´e localement du

mˆeme cˆot´e de son bordC^∞. Dans ce cas, il apparaˆıt comme plus satisfaisant de d´efinir les profils de couche limite en tous les points de l’espace.

On d´efinit, pour toutj0 etT >0, le probl`eme (S^j(T)) :

F˜c^j−2= 0, (Id−P₀) ˜F_b^j−1= 0, F˜a^j=P₀F˜_b^j= 0 quand (t, x, θ, z)∈Ω_T ×R⁺_θ ×R⁺z, . L’´equivalence entre l’annulation des profils ( ˜F^j)j−2et la suite de probl`emes (S<sup>j</sup>)j0 est mise en lumi`ere par le tableausuivant :

(S⁰) (S¹) (S²) ...

F˜⁻² F˜_c⁻²

F˜⁻¹ (Id−P0) ˜F_b⁻¹ F˜_c⁻¹

F˜⁰ P₀F˜_b⁰ ; ˜Fa⁰ (Id−P₀) ˜F_b⁰ F˜c⁰

F˜¹ P₀F˜_b¹ ; ˜Fa¹ (Id−P₀) ˜F_b¹ F˜c¹

...

Chaque terme de la premi`ere colonne est la somme de la ligne corres-pondante. De plus, lors de la r´esolution successive (pour j croissant) des probl`emes (S^j)_j0, seul le profil inconnuU^jintervient : les profils correspon-dant `a des indiceskstrictement inf´erieurs `a jont alors d´ej`a ´et´e d´etermin´es et les profils correspondant `a des indices k strictement sup´erieurs ont ´et´e effac´es.

Lorsque les probl`emes (S^j(T))0jN sont v´erifi´es, les premiers termes non nuls que l’on a au niveau de l’ansatz de r´esolution sont

√ε^N−1F˜_c^N−1+√

ε^N((Id−P0) ˜F_b^N + ˜F_c^N).

On a ainsi un reste de la forme √

ε^NR_ε avec (R_ε)_ε ∈ H^s(T). Ceci permet notamment de montrer le Th´eor`eme 3.5.

Dans le cas d’un d´eveloppement `a un seul terme, on ne r´esout que (S⁰(T)). On a alors un reste de la forme

(Id−P₀) ˜Fb⁰+√

ε(P₀F˜b¹+ ˜Fa¹)

(il n’y a pas de Uc¹ donc pas non plus de ˜Fc¹). Ainsi, on a un reste ε¹⁴Rε

avec (Rε)ε∈ H^s(T). Dans les cas extrˆemesd0 = 0 ou d0 =L, on a mˆeme un reste ε¹²Rε avec (Rε)ε ∈ H^s(T). Cela d´ecoule de ce que dans les deux cas, P0U_b¹ et, par suite,P0F˜_b¹, est nul. L’analyse des probl`emes (S<sup>j</sup>(T)) et (S<sub>cl</sub><sup>j</sup>(T)) infra montre que dans ce cas, on a queU<sub>a</sub><sup>1</sup>, est nul et par suite ˜F<sub>a</sub><sup>1</sup> l’est aussi. Ces remarques permettent de d´emontrer le Th´eor`eme 3.8.

Pour les conditions aux limites, on a l’´equivalence suivante : U^j v´erifie (S_cl^j(T)) si et seulement si

P+U^j|xn=θ=z=0= 0 quand (t, x)∈ΓT

(Id−P₊)(U_a^j|xn=0+U_b^j|θ=0+U_c^j|z=0) = 0 quand (t, x)∈Ω_T 5.6. (S⁰(T))et(S_cl⁰(T))

D´efinissons les probl`emes :

HU˜ _a⁰=F(t, x, U_a⁰) +f(t, x) quand (t, x)∈ΩT

P+U_a⁰= 0 quand (t, x)∈ΓT

(5.11)









(Id−P₀)U_b⁰= 0

(−∂²_θ+H)U_b⁰=P₀( ˜F(t, x, U_a⁰+U_b⁰)−F(t, x, U˜ _a⁰)) quand (t, x, θ)∈ΩT ×R⁺_θ

U_b⁰|θ=0=−P0U_a⁰ quand (t, x)∈ΩT.

(5.12)

et

−∂_z²U_c⁰+ Λ∂zU_c⁰= 0 quand (t, x, z)∈ΩT ×R⁺_z,

U_c⁰|z=0=−P₋U_a⁰ quand (t, x)∈ΩT. (5.13) On note (R⁰_k,a)_k∈N et (R⁰_k,a)_k∈N les relations de compatibilit´e respective-ment associ´ees aux probl`emes (5.11) et (5.12) par les Th´eor`emes 3.20 et 5.7. Les (R_k,a⁰ )_k∈N ne d´ependent que des donn´ees duprobl`eme alors que pour toutk∈N, (R_k,b⁰ ) d´epend aussi des (∂_t^lU_a⁰)lk|t=0.

On note (R⁰_k,b) la relation obtenue en substituant aux (∂_t^lU_a⁰)_lk|t=0 les expressions en les restrictions des d´eriv´ees spatiales (∂_x^lU_a⁰)lk|t=0 donn´ees par (3.15).

R´esoudre (S⁰(T)) et (S_cl⁰(T)) revient `a r´esoudre le probl`eme limite (5.11) puis dans l’ordre que l’on veut (5.12) et (5.13), ce que l’on notera

(5.12)

(5.13). En effet, tenant compte des polarisations (Id−P₀)U_b⁰ = 0 et (Id−P₋)U_c⁰= 0, les conditions aux limites se scindent en

P+U_a⁰= 0, U_b⁰|θ=0+P0U_a⁰= 0 et U_c⁰|z=0+P₋U_a⁰= 0.

Aux ordres sup´erieurs, les diff´erents types de termes composant les profils sont coupl´es par les conditions aux limites. La r´esolution des probl`emes (S^j(T)) et (S_cl^j(T)) s’en trouve compliqu´ee.

5.7. (S^j(T))-(S_cl^j(T)) ;j1

Pour chaque j 1, lors de la r´esolution (S^j(T)), on est confront´e au probl`eme suivant :

HU˜ _a^j = Φ^j_a quand (t, x)∈ΩT (5.14) Λ∂_θ(Id−P₀)U_b^j= Φ^j_b,1 quand (t, x, θ)∈Ω_T ×R⁺_θ (5.15) (−∂_θ²+H)P0U_b^j= Φ^j_b,2 quand (t, x, θ)∈Ω_T ×R⁺_θ (5.16)

−∂_z²U_c^j+ Λ∂zU_c^j= Φ^j_c quand (t, x, z)∈ΩT ×R⁺_z o`u

Φ^j_a := F˜_u(t, x, U_a⁰)U_a^j−q˜_a^j,

Φ^j_b,1 := −(Id−P₀)(( ˜H+ Λ_nθ∂_θ−∂_θθ)U_b^j−1

−F˜_u(t, x, U_a⁰+U_b⁰).(U_a^j−1+U_b^j−1) + ˜F_u(t, x, U_a⁰).U_a^j−1+ ˜q^j−1_b ), Φ^j_b,2 := P₀( ˜H(Id−P₀)U_b^j+ ˜F_u(t, x, U_a⁰+U_b⁰)(U_a^j+U_b^j)

−F˜_u(t, x, U_a⁰).U_a^j−q˜^j_b), Φ^j_c := −q˜_c^j−2,

Φ^j_a ∈H^∞(ΩT), Φ^j_b,1, Φ^j_b,2∈H^∞(ΩT,S(R⁺_θ)) et Φ^j_c∈H^∞(ΩT,S(R⁺_z)).

Pour chaquej1, d´efinissons les ´equations :

(Id−P₋)(−∂_z²+ Λ∂_z)U_c^j = (Id−P₋)Φ^j_c (5.17) quand (t, x, z)∈ΩT ×R⁺z

les probl`emes :

HU˜ _a^j = Φ^j_a quand (t, x)∈ΩT

P₊U_a^j=−P₊(U_b^j|xn=θ=0+U_c^j|xn=z=0) quand (t, x)∈Γ_T , (5.18)

(−∂²_θ+H)P₀U_b^j= Φ^j_b,2 quand (t, x, θ)∈Ω_T ×R⁺_θ, P0U_b^j|θ=0=−P0(U_a^j+U_c^j|z=0) quand (t, x)∈ΩT

(5.19)

et

P₋(−∂_z²+ Λ∂_z)U_c^j=P₋Φ^j_c quand (t, x, z)∈Ω_T ×R⁺z, P₋U_c^j|z=0=−P₋(U_a^j+U_b^j|θ=0) quand (t, x)∈ΩT

(5.20)

Les ´equations (5.15) et (5.17) jouent un rˆole crucial dans la r´esolution des probl`emes (S^j(T)) et (S_cl^j(T)). En effet, on a dit que la difficult´e provenait du couplage induit par les ´equations aux limites. Or les ´equations (5.15) et (5.17) d´eterminent univoquement (Id−P₀)U_b^j et (Id−P₋)U_c^j. Les traces aubord dudomaine de ces ´el´ements sont donc impos´ees par l’´equation et ne peuvent pas ˆetre prescrites.

On note (R^j_k,a)_k∈N et (R_k,b^j )_k∈N les relations de compatibilit´e respec-tivement associ´ees `a (5.18) et `a (5.19) par les Th´eor`emes 3.20 et 5.7. (R^j_k,a) d´epend par l’interm´ediaire des termes sources des

(∂_t^lU_a^m)lk−1;mj−1|t=0

et des

(∂_t^l(U_b^j|xn=θ=0+U_c^m|xn=z=0))lk|t=0.

On note (R^j_k,a) la relation obtenue en r´eexprimant d’abord les (∂_t^l(U_b^j|xn=θ=0+U_c^j|xn=z=0))_lk|t=0

par (5.15) et (5.17) aumoyen des

(∂_t^l(U_b^m|xn=θ=0+U_c^m|xn=z=0))_lk;mj−1|t=0

et, par r´ecurrence et avec (5.8), aumoyen des restrictions `at= 0 des (∂^l_θ¹∂_x^l2(U_a^m+U_b^m)_lk;mj−1

De mˆeme, on d´efinit (R^j_k,b).

R´esoudre (S^j(T)) et (S_cl^j(T)) revient `a r´esoudre successivement (5.15) (5.17) puis (5.18) et enfin (5.19)

(5.21) .

Dans notre analyse, le couplage entre CLC et CLNC se fait donc par l’interm´ediaire de la partie r´eguli`ere duprofil.

5.8. Analyse de la couche limite non caract´eristique

La proposition suivante d´etaille les profils de couche limite non carac-t´eristique. On pr´ecise en particulier leur d´ecroissance et on note la polari-sation des profils d’ordre 0 et 1.

Proposition 5.8. — Si pour N 0 et unT 0, la famille(U^j)_0jN satisfait(S^j(T))_0jN et(S_cl^j(T))_0jN alors pour tout0j N, le profil U_c^j est de la forme suivante :

U_c^j= N k=1

α^j_k(t, x, z)rk(t, x) avec pourk∈I₋

α⁰_k(t, x, z) :=C_i^k,0(t, x)e^λk(t,y)z α^j_k(t, x, z) :=

j−1

i=0

C_i^k,j(t, x)zⁱe^λk(t,y)z quand j1 et pour k∈I0∪I+

α^j_k(t, x, z) := 0 quandj = 0,1 α^j_k(t, x, z) :=

l∈I₋ j−2

i=0

C_i^k,j,l(t, x)zⁱe^λl(t,y)z quandj2.

5.9. R´esolution des ´equations de profils avec donn´ee polaris´ee Le r´esultat suivant montre que la prescription d’une partie seulement des profils (la partie r´eguli`ere et la partie polaris´ee de la couche limite carac-t´eristique) suffit `a la d´etermination univoque d’un d´eveloppement solution des probl`emes (S^j(T))_j0 et (S_cl^j(T))_j0pour unT >0.

Th´eor`eme 5.9. — SoitN un entier et des fonctions (U_init^j :=U_init,a^j +U_init,b^j )0jN ∈ P_init^N+1

telles que, pour 0 j N, (Id−P0)U_init,b^j = 0, le profil U_init,a^j v´erifie les relations de compatibilit´e (R^j_k,a)_k∈Net U_init,b^j les relations(R^j_k,b)_k∈N. Il existe T >0 et une unique famille (U^j)0jN dans(P(ΩT))^N+1 telle que les probl`emes(S^j(T))_0jN,(S_cl^j(T))_0jN soient v´erifi´ees et telle que, pour 0jN,U_a^j|t=0=U_init,a^j ,P0U_b^j|t=0=U_init,b^j . De plus,T ne d´epend que deU_a⁰+U_b⁰.

Preuve. — On introduit les notations suivantes : on note





H˜U_a⁰=F(t, x, U_a⁰) quand (t, x)∈Ω_T P₊U_a⁰= 0 quand (t, x)∈Γ_T

U_a⁰=U_a,init⁰ quandt= 0

(5.21)









(Id−P₀)U_b⁰= 0

(−∂_θ²+H)U_b⁰=P₀f(t, x, p, U_b⁰) quand (t, x)∈ΩT ×R⁺_θ, U_b⁰|θ=0=−P₀U_a⁰ quand (t, x)∈Ω_T

U_b⁰=U_b,init⁰ quandt= 0

(5.22)

et pour chaquej1, les probl`emes :





H˜U_a^j = Φ^j_a quand (t, x)∈Ω_T

P+U_a^j =−P+(U_b^j|xn=θ=0+U_c^j|xn=z=0) quand (t, x)∈ΓT

U_a^j=U_a,init^j quandt= 0

(5.23)







(−∂_θ²+H)P0U_b^j= Φ^j_b,2 quand (t, x, θ)∈ΩT ×R⁺_θ, P₀U_b^j|θ=0=−P₀(U_a^j+U_c^j|xn=z=0) quand (t, x)∈Ω_T U_b^j=U_b,init^j quandt= 0

(5.24)

Le Th´eor`eme 3.20 assure l’existence d’un tempsT0>0 et d’une solution de (5.21). Le Th´eor`eme 5.3 assure alors l’existence d’un temps T ∈]0, T0] et d’une solution `a (5.22). Les versions lin´eaires des Th´eor`emes 3.20 et 5.3 assurent l’existence de solutions `a la suite de probl`emes (5.15)

(5.17) puis (5.21) et enfin (5.23)

(5.24) ,pour j= 1, ..,∞. 5.10. Donn´ees de Cauchy compatibles

On remarque que ∂_θ est un automorphisme de H^∞(Ω_T,S(R⁺_θ)) et on note ∂_θ⁻¹ son inverse. On note, pour k ∈ N^∗ et u ∈ (P(Ω_T))^k, u :=

(u₁, ..., u_k),U_b:= (U_b,1, ..., U_b,k) o`u, pour 1ik,u_i:=U_a,i+U_b,i+U_c,i. On d´efinit aussi, pour toutk∈N^∗, l’op´erateur :

T_k: (P(Ω_T))^k→((P(Ω_T))^k)³ u→(u, U_b, ∂_θ⁻¹U_b)

Nous appelleronsOl’ensemble des op´erateursFdeP(ΩT)^k1 dansP(ΩT) qui s’´ecrivent pour une famille d’indices entiers k1, ..., kν : F=FνoTkνo...oF1oTk1 o`ulesFjsont des fonctionsC^∞deR^3kj dansR^kj+1. On note∂τ la collection des (∂i)i=0,...,n et de θ∂θ.

Le th´eor`eme suivant met en ´evidence des conditions n´ecessairement v´erifi´ees par les d´eriv´ees temporelles des profils.

Th´eor`eme 5.10. — Il existe trois familles (Fj,k)<sub>j∈N</sub>∗,k∈N, (Gj)<sub>j∈N</sub> et (Hj,h)<sub>j∈N,h∈N</sub>∗ d’´el´ements de O telles que si la famille (U<sup>j</sup>)0jN v´erifient la suite de probl`emes (S^j(T))0jN,(S_cl^j(T))0jN alors

(Id−P₀)U_b⁰= 0, pourj = 1, ..., N et k∈N

∂_t^k(Id−P0)U_b^j =Fj,k(t, x, θ, ∂_η^αp(U_a^p+P0U_b^p),0pj−1, 0αp+ 2(p−j)k), et pour j= 0, ..., N

U_c^j=G_j(t, x, z,

◦

∂_η^βp(U_a^p+P₀U_b^p),0pj,0β_p+pj), pourj = 0, ..., N et h∈N^∗,

∂_t^h(U_a^j+P0U_b^j+P₋U_c^j) =Hj,h(t, x, θ, ∂_η^βp(U_a^p+P0U_b^p),0pj, 0β_p+pj+h).

Preuve. — Les propri´et´es de polarisation de la couche limite caract´eristi-que sont tr`es analogues `a celles mises en ´evidence lors de l’´etude de la prop-agation d’oscillations `a une seule phase ([11]). La pr´esence d’une couche non caract´eristique vient cependant compliquer les choses. Aussi nous com-men¸cons par un lemme obtenu par l’analyse de la cascade et la Proposition 5.8.

Lemme 5.11. — Il existe une famille de fonctions( ˜Sj)_j∈Nde classeC^∞ de leurs arguments telle que

U_c⁰= ˜S0(t, x, U_a⁰), U_c¹= ˜S1(t, x, U_a¹), U_c^j= ˜Sj(t, x, z,(U_a^k, U_c^k)kj−2,(

◦

∂_θⁱU_b^k)i+kj−2, ∂t,xU_c^j−2, U_a^j,

◦

U_b^j) quand j= 2,3 U_c^j= ˜Sj(t, x, z,(U_a^k, U_c^k)kj−2,(

◦

∂_θⁱU_b^k)i+kj−2, ∂t,xU_c^j−2,(∂^β_xU_c^j−4)β=1,2, U_a^j,

◦

U_b^j) quand j4.

Une simple r´ecurrence permet alors d’obtenir :

Lemme 5.12. — Il existe une famille de fonctions(S_j)_j∈N C^∞de leurs arguments telle que

U_c^j =Sj(t, x, z,(

◦

∂_τⁱ(U_a^k, U_b^k))i+kj).

Le Th´eor`eme 5.10 r´esulte par r´ecurrence surj dulemme suivant : Lemme 5.13. — Il existe deux familles de fonctions (Rj,k)_j∈N∗,k∈N et (Sj,h)_j∈N∗,h∈N^∗ d’´el´ements de Otelles que pourk∈N,h∈N^∗

∂_t^k(Id−P0)U_b^j=Rj,k(t, x, θ, ∂_η^α(U_a^j+P0U_b^j), ∂_τ^α(U_a^p, U_b^p);

0pj−1,0αk+ 2), (5.25)

∂_t^h(U_a^j+P0U_b^j) =Sj,h(t, x, θ, ∂_η^α(U_a^j+P0U_b^j), ∂_τ^β(U_a^p, U_b^p);

0pj−1,0αh,0βh+ 1). (5.26)

Preuve. — On va montrer que ce lemme est vrai pour h= k+ 1 pou r toutk∈N, par r´ecurrence surk. Commen¸cons par le cask= 0 : par (5.15), on a l’existence deR_j,0∈ Otel que

(Id−P0)U₀^j =Rj,0(t, x, θ, ∂_η^α(U_a^j+P0U_b^j), ∂^α_τ(U_a^p+P0U_b^p,

(Id−P0)U_b^p); 0pj−1,0α2) (5.27) puis∂_tU_a^j est d´etermin´e par (5.14). (5.16) assure alors l’existence deF ∈ O tel que

∂tP0U_b^j=F(t, x, θ,(∂^α_ηP0U_b^j)α=0,1,(∂_τ^β(U_a^p+P0U_b^p,(Id−P0)U_b^p))β2) Utilisant (5.27), on obtient alors (5.26) pour h = 1. On montre ensuite l’h´er´edit´e en d´erivant par rapport autemps.

Remarque 5.14. — Lors de l’´etude de l’optique g´eom´etrique `a une seule phase, on consid`ere des d´eveloppements de la forme

j0

ε^jU^j(x,φ(x) ε )

o`ules profils U^j sont dans H^∞(ΩT ×S¹). La r´esolution de la cascade d’´equations BKW fait intervenir un op´erateur de projection moyenneEp.

Notant ¯U := _2π¹ 2π

0 U(x, θ)dθ la moyenne de U et U^∗ := U −U¯ la fluctuation, on a les analogies suivantes :

EpU ↔U_a⁰+P₀U_b⁰ (Id− E)Up↔(Id−P0)U_b⁰ U^∗↔U_b⁰

Le th´eor`eme suivant donne les conditions n´ecessaires et suffisantes que doivent v´erifier des conditions initiales pour que l’on puisse construire le d´eveloppement correspondant. Soient pour j 0 et U_init^j ∈ Pinit, (S_init^j ) :U^j|t=0=U_init^j .

Th´eor`eme 5.15. — Soient(U_init^j )0jN ∈ P_init^N+1 . On d´efinit les asser-tions suivantes :

(1)Les fonctions (U_init^j )0jN v´erifient les relations(Rj)0jN o`u : (R0) :

(Id−P0)U_init,b⁰ = 0

U_init,c⁰ =G₀(0, x, z , ∂_η(U_init,a⁰ +P₀U_init,b⁰ )) et pour j1,

(Rj) :









(Id−P₀)U_init,b^j =F_j,0(0, x, θ, ∂η^αp(U_init,a^p +P₀U_init,b^p ),0pj−1, 0α_p+ 2(p−j)k))

U_init,c^j =G_j(0, x, z ,

◦

∂^βη^p(U_init,a^p +P₀U_init,b^p ),0pj,0β_p+pj)

(1)Pour0j N, U_init,a^j v´erifie les relations(R^j_k,a)_k∈NetP₀U_init,b^j v´erifient les relations (R^j_k,b)_k∈N

(2) Il existe T > 0 et une unique famille (U^j)0jN ∈ P(ΩT)^N+1 v´erifient (S^j(T))_0jN,(S_cl^j(T))_0jN et(S_init^j )_0jN.

Alors (1) + (1) est ´equivalent `a (2). De plus, si (2) est v´erifi´ee, T ne d´epend que deU_a⁰+U_b⁰.

Preuve. — Les relations sont n´ecessaires d’apr`es le Th´eor`eme 5.10. R´e-ciproquement, si les assertions (1) et (1) du Th´eor`eme 5.15 sont v´erifi´ees, le Th´eor`eme 5.9 appliqu´e `a la famille

( ˜U_init^j :=U_init,a^j +P0U_init,b^j +U_init,c^j )0jN

assure l’existence deTstrictement positif et d’une unique famille (U^j)_0jN de profils dans P(Ω_T) tels que pour 0 j N, les probl`emes (S^j(T)), (S_cl^j(T)) soient v´erifi´ees et

(U_a^j+P₀U_b^j+U_init,c^j )|t=0= ˜U_init^j .

Les profils (U^j)0jN v´erifient les conditions n´ecessaires duTh´eor`eme 5.10.

En particulier,

(Id−P0)U_b⁰|t=0= 0 et, pourj1,

(Id−P₀)U_b^j|t=0=F_j,0(0, x, ∂^α_η^p(U_a^p+P₀U_b^p),0pj−1, 0αp+ 2(p−j)k).

Jointes aux relations (Rj), cela donne :

(Id−P0)U_b^j|t=0= (Id−P0)U_b,init^j .

On d´efinit Pinit,N comme l’ensemble des donn´ees (U_init^j )0jN ∈ (Pinit)^N+1 v´erifiant les points 1 et 1 duTh´eor`eme 5.15. Le Th´eor`eme 4.1 d´ecoule alors du th´eor`eme pr´ec´edent.

6. Preuve du Th´eor`eme 3.2

On va se concentrer ici sur le casM > ¹₄, indiquant bri`evement en fin de d´emonstration les modifications n´ecessaires `a apporter dans le cas critique M = ¹₄.

Notons w_ε := ε^−M(u^ε−a^ε) ∈ Λ^m(T₀) et introduisons le probl`eme de prolongement parabolique :

P^R(T) :





(H −εE)w_ε=G(t, x, a^ε, ε^Mw_ε)w_ε+g_ε quand (t, x)∈Ω_T w_ε= 0 quand (t, x)∈Γ_T

w_ε=w_ε quand t∈(0, T₀) o`uGest telle queF(t, x, u+v)−F(t, x, u) =G(t, x, u, v).v.

w_ε v´erifieP^R(T₀).

Une remarque essentielle est que si le probl`eme est non lin´eaire, les non lin´earit´es sont multipli´ees par des ε, ce qui assure l’existence de solutions

jusqu’enT, et cela pour toute une gamme deεpetits. On peut parler de« ε-non lin´earit´e». Il r´esulte du Th´eor`eme 3.10 que pour toutε∈]0,1], il existe w<sub>ε</sub>solution deP<sup>R</sup>(T<sub>ε</sub>) o`uT_ε>0. Compte-tenude la condition d’explosion, on pourrait travailler directement sur la solution et d´eriver une estimation `a priori en||.||<sub>∞</sub> qui assure l’existence jusqu’enT. C’est la d´emarche retenue dans [18]. Fid`ele `a [11] et [10], on pr´ef`ere ici revenir `a un sch´ema it´eratif dont on montre la convergence, uniform´ement enε, su r (0, T).

On commence par ´etablir des estimations conormales pour le probl`eme lin´eaire:

(−εE+H)w_ε=f_ε quand (t, x)∈Ω_T wε= 0 quand (t, x)∈ΓT

wε=wε quandt∈(0, T0) On notera pourλ1,|u||0,λ,T :=||e^−λtu||L²(ΩT)et

|u||m,λ,T :=

2j+km

λ^m−(2j+k)|∂_t^jZ^ku||0,λ,T.

On omettra dans les lignes qui suivent l’indiceεdes fonctionswεetfε. Cela ne doit pas entraˆıner de confusion.

Proposition 6.1. — Soit m un entier. Il existe λm 1 tel que pour λλmet pour tout ε∈]0,1]:

ε|∇xw||²m,λ,T +λ|w||²m,λ,T λ⁻¹λ_m(|f||²m,λ,T +|w||²m,λ,T0). (6.1)

Preuve. — Pou rm= 0, l’in´egalit´e d’´energie classique donne :

ε|∇xw||²_0,λ,T +λ|w||²_0,λ,T λ⁻¹λ0(|< f, w >0,λ,T |+|w||²_0,λ,T0) (6.2) pourλplus grand qu’unλ₀. On d´eduit alors (6.1) en appliquant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz.

On proc`ede ensuite par r´ecurrence surm. Supposons (6.1) v´erifi´e pour 0, ..., m−1.

Appliquons pour 2j+km,∂_t^jZ^k`a l’´equation. Utilisant (6.2), il vient ε(λ^m−(2j+k)|∇x∂_t^jZ^kw||0,λ,T)²+λ(λ^m−(2j+k)|∂^j_tZ^kw||0,λ,T)²

λ⁻¹λ0(λ2(m−(2j+k))|<f , ∂˜ _t^jZ^kw >0,λ,T |+|w||²_m,λ,T0) o`u ˜f :=∂_t^jZ^kf+ [H, ∂_t^jZ^k]w+ [εE, ∂_t^jZ^k]w.

Voyons comment traiter le termeλ^{2(m−(2j+k))}|<f , ∂˜ ^j_tZ^kw >_0,λ,T |.

•Utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, le terme λ^{2(m−(2j+k))}|< ∂_t^jZ^kf, ∂_t^jZ^kw >_0,λ,T | est major´e, en valeur absolue, par

(λ^m−(2j+k)|∂_t^jZ^kf||0,λ,T)(λ^m−(2j+k)|∂_t^jZ^kw||0,λ,T) soit encore par

λ⁻¹cδλ^m−(2j+k)|∂t^jZ^kf||0,λ,T +λδλ^m−(2j+k)|w||0,λ,T.

Pour δ assez petit, le terme λδλ^m−(2j+k)|w||0,λ,T est «absorb´ee» dans le membre de gauche.

•Voyons comment majorer les«pires»termes de λ^{2(m−(2j+k))}|<[εE, ∂_t^jZ^k]w, ∂_t^jZ^kw >_0,λ,T |

c’est-`a-dire ceux qui contiennent deux d´eriv´ees normales et sont de la forme : λ^{2(m−(2j+k))}|< εA∂nB∂nC∂_t^jZ^kw, ∂_t^jZ^kw >0,λ,T |

avec 2j+km−1. Int´egrant par parties, on est ramen´e `a contrˆoler ελ2(m−(2j+k))|∂n∂^j_tZ^kw||0,λ,T|∂n∂_t^jZ^kw||0,λ,T

que l’on majore par

εδλ^m−(2j+k)|∂_n∂_t^jZ^kw||²0,λ,T +εc_δλ^m−(2j+k)|∂_n∂_t^jZ^kw||²0,λ,T

o`u δ est pris suffisamment petit pour que le premier terme soit absorb´e dans le membre de gauche. Le second terme est contrˆol´e par l’hypoth`ese de r´ecurrence.

•Il reste `a contrˆoler λ2(m−(2j+k))|<[H, ∂_t^jZ^k]w, ∂_t^jZ^kw >0,λ,T |.

Pour cela, ´ecrivonsAn=A^◦n+xnA_n etH=H+A^◦n∂n o`u H:=

n−1

i=0

A_iZ_i+A_nZ_n. On doit donc contrˆoler des termes de la forme

λ2(m−(2j+k))|<[AiZi, ∂_t^jZ^k]w, ∂_t^jZ^kw >0,λ,T |, (6.3) λ2(m−(2j+k))|<[A_nZn, ∂_t^jZ^k]w, ∂_t^jZ^kw >0,λ,T |, (6.4) λ2(m−(2j+k))|<[A^◦n∂n, ∂_t^jZ^k]w, ∂_t^jZ^kw >0,λ,T |. (6.5)

Les termes (6.3) et (6.4) peuvent ˆetre major´es par cteλ^m−(2j+k)|∂_t^jZ^kw||²_0,λ,T et sont absorb´es dans le membre de gauche de (6.1).

Pour (6.5), on remarque que l’on a par l’´equation : A◦_n∂_nw:=f− Hw+εEw

ce qui nous ram`ene `a des cas pr´ec´edents.

On utilise le sh´ema it´eratif (w^ν)_ν0 d´efini par w⁰:=wε quandt∈(0, T0) w⁰:=wε(T0) quandt∈(T0, T) et

(−εE+H)w^ν+1=G(t, x, a^ε, ε^Mw^ν)w^ν+1+gε quand (t, x)∈ΩT

w^ν+1= 0 quand (t, x)∈Γ_T w^ν+1=wε quandt∈(0, T0) On notera dans la suite||.||_∞ aulieude||.||L^∞(ΩT).

Proposition 6.2. — Soit µ > 0 fix´e. Il existe λ₁ > 0 tel que si ε^M||w^ν||∞µalors

ε|∇xw^ν+1||²_m,λ,T +λ|w^ν+1||²_m,λ,T λ⁻¹λ1(|gε||²_m,λ,T+|w||²_m,λ,T0

+(|w^ν+1||m,λ,T+ε^M||w^ν+1||∞|w^ν||m,λ,T)²). (6.6)

Preuve. — Il s’agit d’estimer en norme|.||²_0,λ,T des termes de la forme λ^m−|α|Z^α(G(t, x, a, ε^Mw^ν)w^ν+1) (6.7) o`u|α|m. Lorsqu’on d´eveloppe (6.7), on obtient deux types de termes :

• ceux o`u w^ν n’est pas d´eriv´e. Ils sont contrˆol´es par cte|w^ν+1||²_m,λ,T et pour λassez grand sont absorb´es dans le membre de gauche de (6.6).

•ceux o`uw^ν est d´eriv´e. Ils sont de la forme

λ^m−|α|Φ^ε(t, x)Z^β1a...Z^βiaZ^γ1(ε^Mw^ν)...Z^γj(ε^Mw^ν)Z^δw^ν+1 o`u Φ^ε(t, x) est uniform´ement born´e dansL^∞ et

|β1|+...+|βi|+|γ1|+...+|γj|+|δ||α|.

On doit donc majorer en|.||²0,λ,T des termes de la forme

λ^m−|α|Z^γ1(ε^Mw^ν)...Z^γj(ε^Mw^ν)Z^δw^ν+1. (6.8) On utilise les in´egalit´es de Moser suivantes [12] :

Lemme 6.3. — Soient m entier naturel. Il existe une constante c >0 telle que pour toutT ∈(T0, T), pour toutes fonctions a1, ..., al dans H^m(ΩT) et α:= (α1, ...αl)dans Nⁿ⁺¹,|α|:=|α1|+...+|αl| m et pour toutλ1, on a

λ^m−α||Z₁^αa1...Z_l^αal||0,λ,T c

j

(Πi=j||ai||_∞)|aj||m,λ,T.

Le terme (6.8) se majore alors par

cte(|w^ν+1||m,λ,T +ε^M||w^ν+1||_∞|w^ν||m,λ,T)² ce qui ach`eve la preuve.

Le plongement Sobolev qui suit est d´emontr´e dans [12].

Proposition 6.4. — Il existe ρ >0 tel que pour toutw dansE^m,T,

||w||∞ρT e^λT(|w||m,λ,T +|∂nw||m,λ,T).

On en d´eduit par un simple changement de variable

Proposition 6.5. — Il existeρ >0 tel que, pour toutw∈E^m,T, pour toutεdans[0,1],

ε¹⁴||w||∞ρT e^λT(|w||m,λ,T+√

ε|∂_nw||m,λ,T).

Notons que ce plongement est optimal. Prenons par exemple le cas o`u n= 1. On consid`ere une famille de fonctions (u^ε)_ε o`ule graphe de u^ε est un pic de largeur√

εet de hauteurε⁻¹⁴ ie u^ε(x) := 0 si |x|>

√ε 2 , u^ε(x) :=ε⁻¹⁴ −2ε⁻³⁴|x| si |x|<

√ε 2 .

On a ε¹⁴||u^ε||L^∞ = O(1), ||u^ε||L² = O(1) et √ε||u^ε||L² = O(1). Aussi, si l’on veut am´eliorer les estimations L^∞ ´etablies dans ce travail, il faut n´ecessairement se servir de l’´equation (ce qui est fait dans le cas non car-act´eristique dans [18]) ou r´eduire l’espace fonctionnel ambiant.

Fixons un r´eelµ >0 arbitraire, un r´eelλ₁donn´e par la Proposition 6.2, λ2λ₁ et h:= sup

0<ε1

(|g_ε||m,λ,T +|w⁰||m,λ,T). On choisit alors 0< ε < 1 assez petit pour queε^M−14hρT e^λT min(µ,1).

Proposition 6.6. — La suite (w^ν)_ν satisfait

∀ν∈N, ε^M||w^ν||∞µ, ||w^ν||m,λ,T h.

Preuve. — On raisonne par r´ecurrence sur ν. La proposition est vraie pourν= 0. Supposons la vraie pourν quelconque. Alors par la Proposition 6.2, on a

ε|∇xw^ν+1||²m,λ,T+λ|w^ν+1||²m,λ,T λ⁻¹λ1(h²+ +(|w^ν+1||m,λ,T + ε^Mh|w^ν+1||∞)²) On utilise la Proposition 6.5 pour contrˆoler|w^ν+1||_∞. Ainsi

ε|∇xw^ν+1||²_m,λ,T+λ|w^ν+1||²_m,λ,T λ⁻¹λ1(h² +(|w^ν+1||m,λ,T+ε^M−14hρT e^λT(|w^ν+1||m,λ,T+√

ε|∂_nw^ν+1||m,λ,T)²) donc

ε|∇xw^ν+1||²_m,λ,T+λ|w^ν+1||²_m,λ,T λ⁻¹λ1(h² +(2|w^ν+1||m,λ,T +√

ε|∂nw^ν+1||m,λ,T)²) et, par suite,

ε|∇xw^ν+1||²m,λ,T+λ|w^ν+1||²m,λ,T λ⁻¹λ₁(h² +8|w^ν+1||²_m,λ,T+ 2ε|∂nw^ν+1||²_m,λ,T)

d’o`u 1

2ε|∇xw^ν+1||²m,λ,T +λ|w^ν+1||²m,λ,T λ⁻¹λ₁(h²+ 8|w^ν+1||²m,λ,T) ainsi|w^ν+1||m,λ,T ^h₂ et√ε|∇xw^ν+1||m,λ,T ^h₂ d’o`u

ε^M||w^ν+1||∞ε^M−14ρT e^λThµ

On obtient alors classiquement une solution r´eguli`ere deP<sup>R</sup>(T) qu i v´erifie par passage `a la limiteε^M||w_ε||∞=O(1) et||w_ε||m,λ,T =O(1). Les d´eriv´ees normales it´er´ees sont estim´ees ensuite, par r´ecurrence, par l’´equation.

Dans le cas critiqueM = ¹₄, la d´emonstration est similaire `a la pr´ec´edente sauf dans le contrˆole||.||_∞: on joue sur le temps ne disposant plus assez de C. Plus pr´ecisemment, on choisitT pour quehρTe^λT min(µ,1).

7. Preuve de la Proposition 3.14

•On commence par montrer le point 1 : pou r cela on note que par les Propositions 3.22 et 3.24, on peut construire une famille (U_init^j :=U_init,a^j + U_init,b^j )0jN v´erifiant les points 1 et 2 duTh´eor`eme 5.9.

• Le point 2 d´ecoule de la d´efinition tandis que le point 3 se montre comme le point 1.

•Pour le point 4, on proc`ede comme suit. Grˆace aupoint 3, on construit, si besoin est, des profils (U_init^j )N+1jN tels que ^N₂ > M et que la famille (U_init^j )0jN soit dansPinit,N.

On applique le Th´eor`eme 4.1 puis le Th´eor`eme 3.5 de fa¸con `a obtenir u n r´eelT >0 et une famille de profils (U^j)_0jN dansP(Ω_T)^N+1 tels que

U^j|t=0=U_init^j pour 0jN et tels que la famille (aε)εd´efinie par

a^ε(t, x) =

N

j=0

√ε^jU^j(t, x,x_n ε , x_n

√ε) v´erifie

L^εa^ε=ε^MRε quand (t, x)∈ΩT

a^ε= 0 quand (t, x)∈Γ_T o`uRε∈ H^m(T).

On en d´eduit, pour tout entier naturelj, pour toutx∈Rⁿ+, (∂_t^ja^ε)|t=0(x) = ε^j(A⁻¹₀ En,n)^j(0, x)∂_n^2ja^ε_init(x)

+ Hj(ε, x,(∂^αa^ε_init(x))_α∈Ij) +ε^MR^ε_j(x) (7.1) o`uI_j:={α∈Nⁿ/ |α|2j;α_n= 2j},a^ε_init:=a_ε|t=0etR_j^ε:= (∂_t^jR_ε)|t=0.

On cherche (r_init^ε ) tel que u^ε_init=a^ε_init+ε^Mr_init^ε v´erifie

{ε^j(A⁻¹₀ E_nn)^j(0, x).∂_n^2j(u^ε_init)(x) +Hj(ε, x,(∂^αu^ε_init)_α∈Ij)}|xn=0= 0.

Tenant compte de (7.1), cela revient `a des identit´es de la forme {ε^j(A0Enn)^j(0, x).∂^2j_n r_init^ε (x)

+

α

H_j^,α(ε, x, ε^M(∂^αr_init^ε (x))_α∈Ij,(∂^αa^ε_init(x))_α∈Ij).∂^αr^ε_init(x)}|xn=0

=R^ε_j(y,0) o`ules fonctionsH^,α_j sont de classeC^∞.

On montre par r´ecurrence que l’on peut construire une famille de fonc-tions (r_j^ε)_{ε∈[0,1[,0jm}dansH^∞(Rⁿ⁻¹) tel que, pour touty∈Rⁿ⁻¹,

r₀^ε(y) = 0 et, pourj 1, ε^j(A⁻₀¹E_n,n)^j(0, y,0).∂_n^2jr₀^ε(y) +Hj(ε, y,0,(∂^αu^ε₀(y))_α|∈Ij) = 0

sup

ε∈]0,1]||r^ε₀||H^s(Rⁿ⁻¹⁾+ s k=1

ε^k−12||r_k^ε||H^s−k(Rⁿ⁻¹⁾<∞.

Les r_j^ε peuvent ˆetre d´efinis par r´ecurrence sur j, en imposant que les r_j^ε, pour les indices de j impairs, soient identiquement nuls. On v´erifie, pour tout j, qu e

sup

ε∈]0,1]

||r^ε₀||H^j(Rⁿ⁻¹⁾+ j k=1

ε^k−12||r^ε_k||H^j−k(R^n−1))<∞.

grˆace `a des in´egalit´es de type Moser/ Gagliardo-Nirenberg.

On conclut avec le Lemme 3.24.

A. Preuve du Th´eor`eme 3.19

Nous allons esquisser une preuve du Th´eor`eme 3.19 qui est un cas par-ticulier du th´eor`eme de [9]. Le point important est le caract`ere semilin´eaire ducas ´etudi´e ici qui permet de pr´eciser la condition d’explosion. C’est ce que met en ´evidence les lignes qui suivent. Une solution de r´egularit´e finie est obtenue au moyen d’un sch´ema it´eratif dans lequel le contrˆole en ||.||_∞ est d´eterminant.

On va utiliser des espaces de type Sobolev pour lesquels une d´eriv´ee normale vaut deux d´eriv´ees conormales.

D´efinition A.1. — Soit H^0,m(ΩT) :={u∈L²(ΩT) / ∀lk / Z^lu∈ L²(ΩT)} et

E^m,T :={u∈H^0,m(ΩT)/∂_n^ku∈H^0,m−2k(ΩT) ∀02km}

muni de la famille de normes `a poids :

|u|^E_m,λ,T :=

0k+2lm

λ^m−k−2l||e^−λtZ^k∂_n^lu||L²(ΩT).

Th´eor`eme A.2. — SoitT est un temps strictement positif, une fonction f ∈E^m,T etu∈E^m,T solution de (3.12). Alors il existe un tempsT0> T et un unique prolongement deu(en une fonction encore not´eu) dansE^m,T0 solution de

Hu=F(t, x, u) +f(t, x) quand (t, x)∈ΩT0

M(t, y)u=g(t, y) quand (t, x)∈ΓT0

(A.1) De plus, si T^∗ := sup{T₀ > T / il existe un prolongement de u en une fonction de E^m,T0 encore not´ee u solution de (A.1)} est fini, alors

(A.1) De plus, si T^∗ := sup{T₀ > T / il existe un prolongement de u en une fonction de E^m,T0 encore not´ee u solution de (A.1)} est fini, alors