Shafipour et coll. proposent également de construire une base de Fourier orthonormale sur graphes dirigés [22] fondée sur l’extension de Lovàsz du poids de la coupe du graphe dirigé (3.3). La différence notable avec l’ap- proche [23] est que les modes de Fourier sont crées pour avoir des fréquences réparties de manière quasi-uniforme dans tout le spectre de fréquences sur graphe et ainsi mieux capturer les basses, moyennes et hautes fréquences.
Formellement, Shafipour et coll. proposent de construire une base ortho- normale U “ ru1, . . . , uNs P RN ˆN pour les fonctions sur graphes dirigés.
Afin de couvrir tout le spectre des variations, le premier vecteur est défini comme celui minimisant (3.3), i.e. le vecteur constant u1 “ umin de norme
}u1} “ 1. Le dernier vecteur est uN “ umaxoù umaxest défini de la manière
suivante :
umax“ argmax }u}“1
GDVpuq.
Cela permet ainsi de couvrir l’ensemble des variations possibles des si- gnaux, depuis le mode de fréquence 0, constant, à celui de plus haute fré- quence sur le graphe.
Ensuite, pour déterminer les autres vecteurs de U, ils introduisent la fonction de dispersion spectrale :
δpUq “
N ´1
ÿ
i“1
rGDVpui`1q ´ GDVpuiqs2.
qui mesure le degré d’étalement des fréquences correspondantes sur le spectre des fréquences.
3.2.1 Construction de la base de Fourier sur graphes dirigés La base de Fourier sur graphes dirigés est construite à partir de la réso- lution du problème d’optimisation suivant consistant à minimiser la fonction de dispersion spectrale : min U N ÿ i“1
rGDVpui`1q ´ GDVpuiqs2
s.c. UJU “ I N,
u1“ umin,
uN “ umax.
Tout comme l’approche [23], le problème d’optimisation est également non convexe, dû aux contraintes d’orthogonalité. Afin de résoudre ce pro- blème d’optimisation, Shafipour et coll. ont également développé des mé- thodes pour résoudre ces problèmes d’optimisation avec contraintes d’ortho- gonalité [58,22].
4
Discussion
Dans ce chapitre, nous avons passé en revue les différentes approches existantes de construction de transformée de Fourier sur graphes dirigés. Ces approches ont été reparties en deux catégories : les approches basées sur la matrice d’adjacence [20,21] et les approches basées sur la GDV (3.3) [23,22]. Dans la littérature du traitement de signal sur graphes, les approches [23,22]
sont considérées comme des méthodes alternatives à la construction d’une transformée de Fourier sur graphes dirigés de Sandryhaila et Moura [20].
Les deux approches [23,22] montrent leurs limites face à l’approche de Sandryhaila et Moura.
La méthode de Sardellitti et coll. [23] se limite aux signaux réels sur graphes. Contrairement à l’approche de Sandryhaila et Moura s’appliquant sur les signaux complexes sur graphes, leur approche ne parvient pas à dé- terminer les exponentielles complexes comme base de Fourier dans le cas du graphe cyclique. Sardellitti et coll. admettent par ailleurs que l’approche de Sandryhaila et Moura [20] est plus appropriée pour concevoir une théorie de filtrage de signaux sur graphes.
Dans [22], Shafipour et coll. proposent également la construction d’une base de Fourier sur graphes dirigés en déterminant un ensemble de vec- teurs orthonormaux suite à la minimisation d’un problème d’optimisation non convexe. La spécificité de l’approche [22] est que les modes de Fourier obtenus couvrent l’ensemble de la gamme de fréquences et sont répartis aussi uniformément que possible dans le domaine spectral du graphe pour mieux captures les basses, moyennes et hautes fréquences.
Concernant l’approche de Sandryhaila et Moura [44], nous pouvons rele- ver certains problèmes. La matrice de changement de base n’est généralement pas orthogonale et cela peut poser certains problèmes (notre approche pose les mêmes problèmes et nous en discutons à la section 4). Dans cette ap- proche, les valeurs propres sont complexes. Cela correspond dans leur cadre à une rotation de phase en plus d’une variation d’amplitude. (Nous avons également les mêmes problèmes et nous en discutons en section5.2).
Dans le chapitre suivant ( chapitre 4) nous proposerons une analyse de Fourier basée sur l’opérateur de marche aléatoire sur graphes dirigés. Dans les applications, nous comparerons les performances de notre approche à l’approche de Sandryhaila et Moura, approche alternative la plus appropriée en théorie du signal sur graphes.
Troisième partie
Contributions
Chapitre 4
Analyse harmonique sur
graphes dirigés
Dans ce chapitre, nous introduisons une nouvelle analyse harmonique pour des fonctions définies sur les sommets d’un graphe dirigé fortement connexe où l’opérateur de marche aléatoire est la pièce angulaire. Dans un premier temps, nous considérons l’ensemble des vecteurs propres de l’opéra- teur de marche aléatoire comme une base non orthogonale du type Fourier pour des fonctions sur des graphes dirigés. Nous avons déterminé une inter- prétation fréquentielle en établissant un lien entre la variation des vecteurs propres de l’opérateur de marche aléatoire obtenue à partir de leur énergie de Dirichlet et la partie réelle de leurs valeurs propres associées. À partir de cette base de Fourier appropriée, nous sommes en mesure d’aller plus loin et de construire des analyses multi-échelles sur des graphes dirigés. Nous pro- posons dans ce chapitre aussi bien une transformée en ondelettes redondante qu’une transformée en ondelettes décimée en prolongeant le cadre des onde- lettes de diffusion de Coifman et Maggioni pour des graphes dirigés. Le déve- loppement de notre analyse harmonique sur des graphes dirigés nous amène ainsi à considérer à la fois des problèmes d’apprentissage semi-supervisé et des problèmes de modélisation de signaux sur des graphes appliqués sur des graphes dirigés mettant en lumière l’efficience de notre cadre.
Sommaire
1 Présentation du cadre théorique . . . 48
2 Filtrage sur graphes dirigés . . . 49
2.1 Définitions . . . 49