Um terno pitag´orico ´e um terno ordenado (x, y, z) de n´umeros inteiros tal que
x2 + y2 = z2. (4.1)
´
E bastante simples verificar que os ternos pitag´oricos triviais s˜ao os que tˆem pelo menos uma das primeiras coordenadas zero e as outras duas iguais ou sim´etricas. As solu¸c˜oes n˜ao triviais de (4.1) s˜ao caracterizadas pelo seguinte teorema.
Teorema 4.1.1 O terno ordenado de n´umeros inteiros (x, y, z) ´e pitag´orico sse ´e trivial ou existem a, b, d ∈ N verificando simultˆaneamente as seguintes condi¸c˜oes.
1. b < a 2. mdc(a, b) = 1 3. |z| = (a2+ b2)d
4. |x| = 2abd & |y| = (a2− b2)d
ou |x| = (a2− b2)d & |y| = 2abd Esta parte do texto ´e essencialmente dedicada `a demonstra¸c˜ao deste teorema.
Comecemos por notar que se tem o seguinte
Lema 4.1.1 O terno (x, y, z) ´e pitag´orico sse o mesmo acontece com (|x|, |y|, |z|).
Assim vamos limitar-nos a caracterizar as solu¸c˜oes n˜ao triviais da equa¸c˜ao (4.1) em que todas as coordenadas sejam positivas, ou seja, vamos de facto passar a demonstrar Teorema 4.1.2 O terno ordenado de n´umeros naturais (x, y, z) ´e pitag´orico sse exis- tem a, b, d ∈ N verificando simultˆaneamente as seguintes condi¸c˜oes.
1. b < a 2. mdc(a, b) = 1 3. z = (a2+ b2)d
4. x = 2abd & y = (a2− b2)d
ou x = (a2− b2)d & y = 2abd
C´alculos muito simples mostram que as quatro condi¸c˜oes enunciadas no teorema s˜ao suficientes para que (x, y, z) seja um terno pitag´orico n˜ao trivial. Veremos que s˜ao tamb´em necess´arias.
Considere-se o seguinte lema.
Lema 4.1.2 Para quaisquer n´umeros naturais m e n, m2|n2 sse m|n.
Dem. ´E imediato que m|n ⇒ m2|n2, para quaisquer m, n ∈ Z. A implica¸c˜ao rec´ıproca,
baseia-se em que um n´umero primo divide um quadrado se e s´o se divide a base e no facto de todos os factores de base prima na decomposi¸c˜ao can´onica (Teorema Funda-
mental) de um quadrado perfeito terem expoente par. 2
Como consequˆencia tem-se
Lema 4.1.3 Se (x, y, z) ´e um terno pitag´orico de n´umeros naturais, ent˜ao mdc(x, y, z) = mdc(x, y) = mdc(x, z) = mdc(y, z).
Dem. Sejam (x, y, z) um terno pitag´orico de n´umeros naturais, d = mdc(x, y, z) e, por exemplo d1= mdc(x, z). Queremos mostrar que
d = d1.
Comecemos por observar que
mdc(x, y, z) := mdc(mdc(x, y), z) = mdc(x, mdc(y, z)) = mdc(y, mdc(x, z)), de onde se obt´em, em particular, d = mdc(y, d1). Como y2 = z2− x2, tamb´em d21|y2 e,
pelo lema 4.1.2, d1|y; mas ent˜ao d1= d. 2
Digamos que um terno pitag´orico (x, y, z) ´e primitivo se x, y, z ∈ N & mdc(x, y, z) = 1.
Teorema 4.1.3 As condi¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes para um terno pitag´orico (x, y, z)
1. (x, y, z) ´e primitivo.
2. Duas das coordenadas do terno s˜ao primas entre si. 3. As coordenadas do terno s˜ao primas entre si duas a duas. E deste pode obter-se ainda:
Teorema 4.1.4 Dado o terno pitag´orico (x, y, z) ∈ N3, se
d ∈ N & x = du & y = dv & z = dw (4.2) ent˜ao d = mdc(x, y, z) sse (u, v, w) ´e terno pitag´orico primitivo.
Dem. Suponha-se que (x, y, z), (u, v, w) e d s˜ao dados como em (4.2).
(se) Por hip´otese (u, v, w) ´e terno pitag´orico primitivo e d|x, y, z. Vamos ver que d = mdc(x, y), o que, pelo lema 4.1.3, arrasta d = mdc(x, y, z). Ora, por hip´otese e pelo lema 4.1.3, mdc(u, v) = mdc(xd,yd) = 1, pelo que d = mdc(x, y), como se pretendia mostrar.
(s´o se) Tem-se
(du)2+ (dv)2 = (dw)2;
dividindo por d2 conclui-se que (u, v, w) ´e terno pitag´orico; mais uma vez utilizando o
lema 4.1.3, tamb´em se conclui que (u, v, w) ´e primitivo. 2
Resumindo:
Teorema 4.1.5 ´E condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que o terno de n´umeros naturais (x, y, z) seja pitag´orico que exista um terno pitag´orico primitivo (u, v, w) e um n´umero natural d tais que
x = du & y = dv & z = dw (4.3)
e neste caso d = mdc(x, y, z).
Passamos ent˜ao `a caracteriza¸c˜ao dos ternos pitag´oricos primitivos.
Teorema 4.1.6 Para que o terno ordenado de n´umeros naturais (x, y, z) seja pita- g´orico primitivo ´e condi¸c˜ao necess´aria e suficiente que existam a, b ∈ N verificando simultˆaneamente as seguintes condi¸c˜oes.
1. a e b tˆem paridades distintas 2. b < a
3. mdc(a, b) = 1 4. z = a2+ b2
5. [x = 2ab & y = a2− b2] ou [x = a2− b2 & y = 2ab]
Dem. Come¸camos com duas observa¸c˜oes importantes. Uma cuja demonstra¸c˜ao se deixa ao cuidado do leitor
Lema 4.1.4 A soma de dois quadrados de n´umeros ´ımpares n˜ao ´e divis´ıvel por 4. e outra que demonstramos
Lema 4.1.5 Se (x, y, z) ´e terno pitag´orico primitivo, ent˜ao x e y tˆem paridades difer- entes.
Dem. (do lema 4.1.5) Pelo lema 4.1.3, x e y n˜ao podem ser ambos pares e, pelo lema anterior (4.1.4), n˜ao podem ser ambos ´ımpares pois nesses casos z2 seria par e consequentemente divis´ıvel por 4 e soma de dois quadrados de n´umeros ´ımpares. 2
Lema 4.1.6 Para quaisquer n´umeros naturais a e b primos entre si, tais que b < a. Tem-se uma das situa¸c˜oes seguintes
1. a e b tˆem paridades distintas e nesse caso (2ab, a2 − b2, a2 + b2) e
(a2− b2, 2ab, a2+ b2) s˜ao ternos pitag´oricos primitivos.
2. a e b s˜ao ambos ´ımpares e nesse caso (ab,a2−b2 2,a2+b2 2) e (a2−b2 2, ab,a2+b2 2) s˜ao ternos pitag´oricos primitivos.
Dem. Como a e b s˜ao primos entre si, n˜ao podem ser ambos pares, da´ı que as hip´oteses apresentadas esgotam as possibilidades. Alguns c´alculos simples mostram que os ternos em estudo s˜ao pitag´oricos. Observe-se que no caso 2, como a e b s˜ao ambos ´ımpares, a diferen¸ca e a soma de quadrados s˜ao ambas pares.
Suponha-se ent˜ao que
mdc(a, b) = 1 & b < a & d = mdc(2ab, a2− b2, a2+ b2).
Vamos ver que no primeiro caso d = 1 e no segundo d = 2, o que, em vista do teorema 4.1.4, permite retirar as conclus˜oes descritas.
1. Como a e b tˆem paridades diferentes, um ´e par e outro ´e ´ımpar de modo que a2+ b2 ´
e ´ımpar, ou seja 2 6 |(a2+ b2) e consequentemente 2 6 |d. Assim, se p for um n´umero primo que divide d, ter-se-´a
Se p|a e p|a + b, ent˜ao p|b. Ora n˜ao h´a divisores primos comuns a a e b, donde d n˜ao tem divisores primos, isto ´e, d = 1. Analogamente se estudam os casos em que p|a & p|a − b ou p|b & p|a + b ou p|b & p|a − b.
2. Vejamos que d1 = mdc(a 2−b2 2 , a2+b2 2 ) = 1. Como d1 ∈ N, d1| a2−b2 2 e d1| a2+b2 2 ,
somando ou subtraindo adequadamente, conclui-se que d1|a2 & d1|b2
pelo que se p fosse divisor primo de d1, p seria divisor comum de a e de b, o que ´e
imposs´ıvel por estes serem n´umeros primos entre si; mas ent˜ao d1 = 1, por ser um
n´umero natural sem divisores primos; segue-se mdc(a2 − b2, a2 + b2) = 2 e, como
2|2ab, d = 2. 2
Continuando a demonstra¸c˜ao do teorema 4.1.6:
Prov´amos no lema 4.1.6.1 que as condi¸c˜oes do enunciado produzem ternos pitag´o- ricos primitivos, ou seja formam uma condi¸c˜ao suficiente como se pretende. Vejamos que formam tamb´em uma condi¸c˜ao necess´aria.
Seja (x, y, z) um terno pitag´orico primitivo. Pelo lema 4.1.5, x e y tˆem paridades diferentes. Digamos que x ´e par (e y ´e ´ımpar), por exemplo
x = 2k. (4.4)
Tem-se
2|(2k)2 = x2 = z2− y2 = (z − y)(z + y) (4.5) Pelo que 2|z − y ou 2|z + y; em qualquer caso,
2|z − y & 2|z + y
pois ambos os factores tˆem a mesma paridade. Segue-se que, para certos n´umeros naturais u e v se tem
z − y = 2u & z + y = 2v & u < v. (4.6) Resulta daqui, pela equa¸c˜ao (4.5), que
k2= uv (4.7)
Vejamos que
u e v s˜ao primos entre si : (4.8)
Se p fosse um n´umero primo divisor simultˆaneo de u e v, ent˜ao ter-se-ia, pela condi¸c˜ao (4.6)
mas ent˜ao (x, y, z) n˜ao seria primitivo pelo lema 4.1.3, pois p|mdc(y, z); assim neces- sariamente se d´a (4.8). Mas ent˜ao resulta da equa¸c˜ao (4.7) que u, e v s˜ao por sua vez quadrados perfeitos e, para certos a, b ∈ N tem-se, ainda por (4.6),
u = b2 & v = a2 & b < a & mdc(a, b) = 1 E concluimos com a equa¸c˜ao (4.4)
x = 2ab & y = a2− b2 & z = a2+ b2.
tendo-se ainda que a e b tˆem paridades distintas pois, caso contr´ario, x e y seriam ambos pares.
O caso em x ´e ´ımpar (e y ´e par) tratar-se-ia de modo an´alogo, dando lugar `a outra
possibilidade em 5 no lema 4.1.6. 2
Resumindo: o teorema 4.1.2 caraceriza os ternos pitag´oricos de n´umeros naturais como m´ultiplos naturais de ternos que se prova serem os ´unicos primitivos; os ternos pitag´oricos em Z ser˜ao ent˜ao obtidos de ternos em N por varia¸c˜oes de sinal nas coordenadas (lema 4.1.1).