Jules Horowitz (1921-1995)

p=0,10

Figura 7: Cadeias dos Estimadores (ωˆ,Sˆµˆ, ˆσeξˆ) da IGEV para p=0,10 e n=300.

Na Figura 7 vemos que, todos as cadeias dos estimadores da distribuic¸˜ao IGEV con- vergiram, encontrando uma distribuic¸˜ao de equil´ıbrio, e que obtiveram as seguintes estimativas (ωˆ =0, 099;Sˆ =29, 99; µˆ = 24, 77; ˆσ = 15, 43eξˆ=0, 41), sendo bastantes

precisos quando comparados com os parˆametros (ω = 0, 100;S =30; µ = 25; σ = 15

eξ = 0, 40), mostrando que, em harmonia com o que foi apresentado nas aplicac¸ ˜oes

(com os dados de Teresina≈10% de zeros), o modelo est´a bem ajustado para modelar dados de valores extremos inflacionados com at´e 10% de zeros.

p=0,30

Figura 8: Cadeias dos Estimadores (ωˆ,Sˆµˆ, ˆσeξˆ) da IGEV para p=0,30 e n=300.

Na Figura 8 percebe-se que, todos os estimadores da distribuic¸˜ao IGEV, n˜ao so- mente convergiram, mesmo com 30% de zeros, em uma amostra de tamanho 300, mas tamb´em, conseguiram alcanc¸ar uma grande precis˜ao em suas estimac¸ ˜oes quando com- parados com seus respectivos parˆametros (ωˆ =0, 299eω =0, 300;Sˆ=89, 99eS =90;

ˆ

µ =24, 80eµ =25; ˆσ =14, 50eσ=15;ξˆ=0, 40eξ =0, 40), mostrando que, em har-

monia com o que foi apresentado nas aplicac¸ ˜oes (com os dados de S˜ao Jo˜ao do Piau´ı≈ 30% de zeros), o modelo ´e ´util para dados de m´aximos inflados em at´e 30% de zeros.

p=0,50

Figura 9: Cadeias dos Estimadores (ωˆ,Sˆµˆ, ˆσeξˆ) da IGEV para p=0,50 e n=300.

Foi simulado uma situac¸˜ao extrema, em que fosse necess´ario trabalhar com dados de valores extremos em que tivessem 50% de zeros, e assim testarmos se a distribuic¸˜ao proposta (IGEV) continuaria a ser precisa em suas estimac¸ ˜oes e, na Figura 9, percebe- se que, todas as cadeias dos estimadores, n˜ao somente convergiram, mesmo com uma

quantidade excessiva de zeros, neste caso, metade dos dados, em uma amostra de ta- manho 300, mas tamb´em, obtiveram precis˜ao em suas estimac¸ ˜oes quando comparados com seus respectivos parˆametros (ωˆ = 0, 499 e ω = 0, 500; Sˆ = 149, 99 e S = 150;

ˆ

µ =24, 63eµ =25; ˆσ =14, 12eσ=15;ξˆ=0, 40eξ =0, 40), denotando da qualidade

do ajuste do modelo IGEV e de sua utilidade para aplicac¸ ˜oes com dados de valores extremos inflados de zeros, mesmo em situac¸ ˜oes extremas, como esta, em que metade (50%) dos dados s˜ao zeros.

p=0,80

Figura 10: Cadeias dos Estimadores (ωˆ,Sˆµˆ, ˆσeξˆ) da IGEV para p=0,80 e n=300.

trabalhar com dados de valores extremos, mas agora com 80% destes dados sendo ze- ros, para testar de maneira ainda mais severa a qualidade do ajuste do modelo, para saber at´e que ponto a distribuic¸˜ao proposta (IGEV) continuaria a ser precisa em suas estimac¸ ˜oes e, na Figura 10, nota-se que, mais uma vez, todas as cadeias dos seus estima- dores convergiram, mesmo com 80% de zeros na amostra de tamanho 300, a saber, com apenas 60 observac¸ ˜oes de m´aximos, o que aumenta ainda mais o grau de dificuldade de convers˜ao das cadeias pelos poucos indiv´ıduos a se estimar, sendo esta simulac¸˜ao a mais cr´ıtica de todas. Observa-se tamb´em ´e bastante preciso com seus estimado- res, quando comparados com os valores verdadeiros de seus respectivos parˆametros (ωˆ = 0, 800 eω = 0, 800; Sˆ = 239, 99 e S = 240, µˆ = 23, 96 e µ = 25; ˆσ = 12, 51 e σ = 15; ξˆ = 0, 45 e ξ = 0, 40) confirmando a capacidade do modelo IGEV em ana-

lisar dados de m´aximos, principalmente com a existˆencia de grandes proporc¸ ˜oes de zeros neles contidos, como foi nesta simulac¸˜ao onde 80% dos dados s˜ao zeros, conse- guindo identificar e estimar a quantidade zeros nos contidos nos dados, e separ´a-los das observac¸ ˜oes de m´aximos, estimando assim com mais precis˜ao os seus parˆametros. Portanto, pelos resultados das figuras acimas, percebe-se que a distribuic¸˜ao de Valo- res Extremos Generalizadas Infladas de Zeros - IGEV aparece como diferencial para se fazer estimac¸ ˜oes em aplicac¸ ˜oes com dados de valores extremos e inflados de zeros, mesmo em situac¸ ˜oes extremas em que a grande maioria dos dados s˜ao zeros.

6.1.2

N´ıveis de Retornos

As tabelas 6, 7, 8 e 9 apresentam os retornos 5, 10, 20 e 100 das distribuic¸ ˜oes GEV e

IGEV, correspondendo respectivamente aos quantis altos 80%, 90%, 95% e 99% das

mesmas distribuic¸ ˜oes, em comparac¸˜ao com os respectivos quantis verdadeiros dos parˆametros e os respectivos quantis da distribuic¸˜ao Emp´ırica dos dados.

Observa-se na Tabela 6 que os quantis estimados, calculados pelo modelo proposto (IGEV), obtiveram um resultado melhor do que os obtidos pelos quantis emp´ıricos dos dados, pois, eles conseguiram se aproximar mais dos resultados obtidos pelos quantis verdadeiros do que estes, para uma proporc¸˜ao com 10% de zeros, tanto com amostra de tamanho 300 como de tamanho 1000, ressaltando como o modelo IGEV est´a bem calibrado para modelar estes tipos de dados. Nota-se tamb´em que, para n=300, os re- sultados dos quantis80%e90%do modelo proposto (IGEV) foram mais pr ´oximos dos respectivos quantis verdadeiros, do que os quantis 95% e99%, pois, uma explicac¸˜ao

Tabela 6: Comparac¸˜ao dos n´ıveis de retornos, respectivos aos quantis altos, nas simulac¸ ˜oes com p=0,10 e n=300 e 1000.

p=0,10 Quantis N=300 N=1000 Altos 80% 90% 95% 99% 80% 90% 95% 99% Verdadeiro 52,65 75,72 105,31 213,83 52,65 75,72 105,31 213,83 Estimado 52,20 76,81 109,83 228,54 53,11 77,04 107,94 223,11 Emp´ırico 49,80 74,25 114,02 249,31 51,23 77,59 98,10 201,95

l ´ogica ´e que, quanto mais vai para o fim da cauda, menos informac¸˜ao se tem e mais dif´ıcil vai ficando de se obter uma estimac¸˜ao mais precisa, entretanto, para n=1000, observa-se que os quantis95%e99%dos quantis estimados, conseguem obter resulta- dos mais pr ´oximos dos quantis verdadeiros, justamente pela aumento na quantidade de indiv´ıduos para a an´alise, que facilita na obtenc¸˜ao de uma estimac¸˜ao mais pre- cisa, percebendo-se tamb´em, paralelamente, uma melhora nos resultados dos quantis emp´ıricos, mas, ainda inferiores aos obtidos pelos quantis estimados.

Tabela 7: Comparac¸˜ao dos n´ıveis de retornos, respectivos aos quantis altos, nas simulac¸ ˜oes com p=0,30 e n=300 e 1000.

p=0,30 Quantis N=300 N=1000 Altos 80% 90% 95% 99% 80% 90% 95% 99% Verdadeiro 45,47 66,72 93,65 192,06 45,47 66,72 93,65 192,06 Estimado 45,24 68,04 97,68 210,21 45,52 66,64 93,38 190,21 Emp´ırico 50,08 69,46 104,77 238,66 44,45 66,37 90,38 176,35

Na Tabela 7, para as simulac¸ ˜oes com a proporc¸˜ao de 30% de zeros nas amostras de tamanho 300 e de tamanho 1000, observa-se que todos os quantis altos estimado pelo modelo proposto (IGEV) obtiveram melhores resultados, nas duas amostras, com relac¸˜ao aos respectivos quantis verdadeiros dos parˆametros, do que os respectivos quantis emp´ıricos dos dados, mostrando que o modelo IGEV est´a bem ajustado para

este tipo de aplicac¸ ˜oes. Observa-se tamb´em que, quando o n ´umero de observac¸ ˜oes na amostra aumenta, como na tabela mostra, de 300 para 1000, existe uma maior precis˜ao com os quantis 95% e 99%, tanto com os quantis estimados, como com os emp´ıricos.

Tabela 8: Comparac¸˜ao dos n´ıveis de retornos, respectivos aos quantis altos, nas simulac¸ ˜oes com p=0,50 e n=300 e 1000.

p=0,50 Quantis N=300 N=1000 Altos 80% 90% 95% 99% 80% 90% 95% 99% Verdadeiro 36,55 55,82 79,74 169,09 36,55 55,82 79,74 169,09 Estimado 36,72 57,33 83,73 185,23 36,70 58,57 82,72 166,10 Emp´ırico 38,20 57,74 87,81 136,49 37,33 59,27 72,62 160,18

Na Tabela 8, para as simulac¸ ˜oes quando a proporc¸˜ao de zeros nas amostra de ta- manho 300 e de tamanho 1000 ´e de 50%, percebe-se que a distribuic¸˜ao IGEV, proposta para estas situac¸ ˜oes onde os dados s˜ao valores extremos inflados de zeros, conseguiu estimar bem os seus quantis altos (80%, 90%, 95% e 99%), nas duas amostras propostas, mesmo com uma quantidade extrema de zeros, superando os resultados encontrados pelos quantis emp´ıricos dos dados, em comparac¸˜ao com os respectivos quantis verda- deiros. Percebe-se tamb´em que a medida que se aumenta o n ´umero de observac¸ ˜oes, as estimac¸ ˜oes ficam mais precisas, principalmente com os quantis 95% e 99% que ficam mais no final da cauda, onde se tem menos observac¸ ˜oes.

Tabela 9: Comparac¸˜ao dos n´ıveis de retornos, respectivos aos quantis altos, nas simulac¸ ˜oes com p=0,80 e n=300 e 1000.

p=0,80

Quantis N=300 N=1000

Altos

80% 90% 95% 99% 80% 90% 95% 99%

Verdadeiro NaNs 30,92 49,22 110,52 NaNs 30,92 49,22 110,52

Estimado NaNs 31,30 49,88 106,18 NaNs 31,90 50,47 107,63

Observa-se na Tabela 9 que, nas simulac¸ ˜oes mais cr´ıticas, quando 80% dos dados s˜ao zeros, ficando poucas observac¸ ˜oes, que o quantil 80% dos parˆametros e do quan- til 80% do modelo proposto (IGEV) n˜ao obteve valores, tanto para amostra com ta- manho 300 como com tamanho 1000, enquanto os quantis emp´ıricos produziram uns valores muitos baixos, pr ´oximos de zeros. Observa-se tamb´em neste caso para todos os outros quantis altos que, os resultados obtidos pela distribuic¸˜ao proposta (IGEV) esteve mais pr ´oximos dos valores encontrados pelos respectivos quantis verdadeiros dos parˆametros, em comparac¸˜ao com os respectivos quantis emp´ıricos dos dados.

Gr´aficos de Retornos da IGEV com p=(0.10, 0.30, 0.50 e 0.80)

n=300

Observa-se pela Figura 11, que no primeiro gr´afico (p=0,10) `a esquerda ´e esperado a cada 100 meses uma precipitac¸˜ao de chuvas de aproximadamente 250 mm, j´a para o gr´afico (p=0,30) ao lado ´e esperado a cada 100 meses uma precipitac¸˜ao de chuvas de aproximadamente 250 mm. Nos gr´aficos abaixo tanto o da esquerda (p=0,50) como o da direita (p=0,80), ´e esperado a cada 100 meses, respectivamente, uma precipitac¸˜ao de chuvas de 190 mm e 110 mm aproximadamente. Percebe-se tamb´em que, quanto menor ´e a quantidade de observac¸ ˜oes para a an´alise na amostra, cada vez maior ´e o in- tervalo de confianc¸a, pois, quanto menos observac¸ ˜oes, maior ´e a variac¸˜ao na estimac¸˜ao.

n=1000

Figura 12: Gr´aficos de Retornos da IGEV com n=1000 e p=(0.10, 0.30, 0.50 e 0.80)

Observa-se na Figura 12 que quanto mais aumenta a proporc¸˜ao de zeros na amos- tra, cada vez menor fica o retorno, pois, aumentando a quantidades de zeros nos dados,

o n ´umero de observac¸ ˜oes ´e diminu´ıdo proporcionalmente, e assim, ficando com cada vez menos informac¸ ˜oes para se fazer a estimac¸˜ao. Nota-se que no primeiro gr´afico `a esquerda (p=0,10) ´e esperado a cada 100 meses uma precipitac¸˜ao de chuvas de apro- ximadamente 230 mm, j´a para o gr´afico ao lado (p=0,30) ´e esperado a cada 100 me- ses uma precipitac¸˜ao de chuvas de aproximadamente 190 mm. Nos gr´aficos abaixo tanto o da esquerda (p=0,50) como o da direita (p=0,80), ´e esperado a cada 100 me- ses, respectivamente, uma precipitac¸˜ao de chuvas de 175 mm e 100 mm aproxima- damente. Percebe-se tamb´em que, quanto menor ´e a quantidade de observac¸ ˜oes para a an´alise na amostra, cada vez maior ´e o intervalo de confianc¸a, pois, quanto menos observac¸ ˜oes, maior ´e a incerteza para se estimar, e que se percebe, com uma maior faci- lidade, quando comparamos as estimac¸ ˜oes dos intervalos de confianc¸a nas simulac¸ ˜oes de amostras com n=300 e com n=1000.