Faut-il jeter la logique ?

Les résultats obtenus par Göd :el ont eu des conséquences très importantes sur la communauté des mathé-maticiens eux-mêmes. Certains d’entre eux, dont Imre Lakatos, ont même estimé nécessaire de renoncer à la théorie de la démonstration pour ne garder aux démonstrations mathématiques que leur caractère intuitif ([Lakatos])

“Pourquoi ne disons-nous pas que le test ultime permettant de savoir si une méthode peut-être admise en arithmétique reviene à la question de savoir si elle est intuitivement convaincante ?”

Il faut cependant faire une distinction entre ce qui apparaît comme deux parties fondamenta-lement différentes de la logique, que l’on a parfois tendance à confondre :

- Il y a d’une part un problème à caractère philosophique qui s’interroge sur la valeur sé-mantique des axiomes logiques ; Est-ce qu’un axiome est vrai ? Qu’est-ce que la vérité ? Ce problème interpelle les philosophes anglo-saxons depuis près d’un siècle ; un bon livre faisant le point sur la philosophie de la logique est [Engel].

- Il y a d’autre part un problème mathématique qui s’interroge sur la relation entre une théorie de la vérité, et une axiomatisation de cette théorie. C’est essentiellement à ce point que nous nous sommes intéressés.

En fait, ces deux points correspondent à deux étapes pragmatiques du travail du mathémati-cien ou du logimathémati-cien. Face à une réalité trop vaste pour être traitée efficacement, il commence par la réduire en un langage formel dans lequel il définit une théorie de la vérité et un modeèle, puis il construit une théorie de la démonstration qui lui permet de vérifier la validité de ses intuitions dans le cadre de ce modèle. Les deux étapes sont indispensables, mais il ne faut pas attendre plus de la logique que ce qu’elle peut donner : sa démarche est réductionniste, et on ne peut trouver au bout de la chaîne un système aussi riche que le monde réel qu’elle modélise. La crise de la science actuelle est plus une crise liée aux limites de cette science qu’à ses fondements : ce qui est en cause, c’est le dogmeréductionnistequi, si l’on caricature un peu, prétendait transformersans perte de généralité le monde en un système axiomatique fini où tout serait démontrable. Il semble clair que le dogme a fait long feu, dans les deux domaines ; les philosophes semblent accepter l’impossibilité de réduire le langage ou la pensée humaine, ainsi que les notions intuitives de vérité et de validité sous-jacentes, à un système unique ; les mathématiciens sont conscients que la théorie sémantique et la théorie de la démonstration ne sont pas équivalentes, et qu’aucun système axiomatique fini ne peut représenter complètement et catégoriquement un modèle un peu complexe.

11

Il ne faut pourtant pas rejeter le travail accompli, ni refuser de le continuer. Il faut accepter la vision pragmatiste qui consiste à regarder la logique comme un outil, imparfait certes, mais pourtant indispensable. On ne peut rejeter les axiomes de la logique modale sous prétexte qu’elle est “née dans le péché” (Quine), si celle-ci fournit un modèle utile pour formaliser le raisonnement. De même, on ne peut rejeter la théorie de la démonstration, sous prétexte qu’elle ne fournit pas une certitude absolue : elle n’est qu’une vérification de nos intuitions et a rempli et continuera à remplir parfaitement ce rôle.

Références bibliographiques

[Engel] Pascal Engel.La norme du vrai. Philosophie de la logique. NRF Essais. Gallimard, 1989.

[Lakatos] Imre Lakatos.Preuves et réfutations. Hermann, 1984.

[Péter] Rôzsa Péter. Jeux avec l’infini : voyage à travers les mathématiques. Editions du seuil, collection Points Sciences, 1977.

L’édition hongroise originale date de 1957. ISBN : 2-02- 004568-0.

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Sur divers théorèmes

de la théorie des ensembles de points situés dans un espace continu àndimensions

Première communication

Extrait d’une lettre adressée à l’éditeur par G.Cantor

M’étant proposé de vous communiquer les démonstrations de plusieurs théorèmes, que j’ai trouvés dans la théorie des ensembles, je vous prie de me permettre de commencer par les trois suivants, A, B et C dont : j’ai fait mention dans le mémoire : “Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, Leipzig 1883”.

Comme j’aurai à citer ce travail en divers endroits, je prendrai la liberté de le désigner par les lettres “Gr.”.

Théorème A. “Un ensemble de pointsP (situé dans un espace continu Gn à n dimensions) ayant la première puissancene peut jamais être un ensembleparfait.”

Théorème B. “Le nombreα appartenant à la première ou à la seconde classe de nombres, soit P un ensemble de points tel que son ensemble dérivéP^(α)d’ordreαs’évanouit, alors lepremier ensemble dérivé P⁽¹⁾deP etl’ensemblePlui même sont de lapremièrepuissance, sauf les cas où les ensemblesP ouP⁽¹⁾ sont finis.”

Théorème C. “P étant un ensemble de points tel que son premier ensemble dérivéP⁽¹⁾ est de la pre-mière puissance, il existe des nombresαde lapremière ou de la secondeclasse de nombres tels qu’on a identiquement

P^(α)≡0, et de tous ces nombresαil y en a un qui en est le plus petit.”

Démonstration du théorème A.

D’après Gr.§ 10, j’appelle ensemble parfait de points un ensemble S tel que son premier dérivé S⁽¹⁾ coïncide avecS lui-même, en sorte que tout pointsappartenant àS est un point-limite deS et qu’aussi tout point-limites⁰ deS est un point appartenant àS.

Soient maintenant

p1, p2, p3, . . . , pν, . . .

les points qui constituent l’ensembleP; nous pouvons les imaginer donnés en cette forme de série (pν), parce queP a d’après l’hypothèse, admise dans notre théorème, lapremière puissance.

Nous admettons que chaque pointpνdeP est unpoint-limitedeP et nous voulons en conclure l’existence

Acta mathematica, 2. Imprimé 26 Août 1883.

1

depoints-limitesdeP qui n’appartiennent pas commepointsàP; il en suivra queP ne peut pas être un ensemble parfait, car s’il en était ainsi, non seulement chaquepoint deP devrait être unpoint-limite de P, mais aussi chaquepoint-limitedeP serait nécessairement unpoint appartenant àP.

Que l’on prennep₁, pour centre d’un ensemble continu à (n−1) dimensions, lieu des points deGn, qui ont la distanceρ1= 1 dep1; nous nommerons un tel ensemble une sphère de rayonρ1, et nous la désignerons ici parK1.

De tous les points de la suite (pν) qui suiventp1soitpi1le premier qui tombe dansl’intérieurde la sphère K1(et il y en a dans l’intérieur deK1un nombre infini, puisque le centrep1est, comme nous avons admis, un point-limite deP; nommons σ1 la distance des pointsp1 et pi1 et prenons pi2 comme centre d’une seconde sphèreK2dont le rayonρ2est déterminé par la condition d’être la plus petite des deux quantités :

1

2σ1, 1

2(ρ1−σ1).

La sphèreK₂ est alors située toute entière à l’intérieur deK₁, et les points

p₁, p₂, . . . , p_i2−1, . . .

de la série (p_ν) sont situés tous, en dehors de la sphèreK2; le rayonρ2 de la dernière est, comme on voit, plus petit que 1

2.

De même soit p_i2 le premier point de la suite (p_ν) de tous ceux, qui suiventp_i2 et qui tombent dans l’intérieur de la sphèreK₂; il y en a un nombre infini, puisque p_i2 est supposé être point-limite deP; nous désignons la distance des pointsp_i2et p_i3 parσ₂et prenonsp_i3pour centre d’une troisième sphère K₃ dont le rayonρ₃est déterminé par la condition d’être la plus petite des deux quantités :

1

2σ₂, 1

2(ρ₂−σ₂).

la sphèreK3 est alors située tout entière à l’intérieur deK2et les pointsp1, p2, p . . . , pi3−1, . . .de la série (pν) sont situés tous en dehors de la sphèreK3; le rayonρ3 est évidemment plus petit que 1

4. On voit donc ici uneloid’après laquelle on peut former une suite infinie de sphères :

K1, K2, K3, . . . , Kν, . . .

liée à une série déterminée de nombres entiersiν croissants avec leurs indices, de sorte que l’on a : 1< i2< i3< . . .

Chaque sphèreKν est située toute entière à l’intérieur de la précédenteKν−1.

2

Le centrepiν de la sphèreKν est défini par la condition qu’il est le premier point de la série (pν) de tous ceux qui suiventpiν−1 et qui sont situés à l’intérieur de la sphèreK_ν−1; le rayonρν deKν est défini par la condition d’être le plus petit des deux nombres :

1

2σ_ν−1, 1

2(ρ_ν−1−σ_ν−1).

en désignant parσν−1 la distance, des pointspiν−1 etpiν.

Les points p₁, p₂, . . . , p_iν−1 sont situés tous en dehors de la sphère K_ν mais il y a un nombre infini de points de la série (p_ν),qui sont situés à l’intérieur deK_ν puisque le centrep_iν est, comme nous l’avons admis, un point-limite deP. Comme on a évidemment

ρν < 1 2^ν−1,

les rayons des sphères Kν deviennent infiniment petits pour ν = ∞, et puisque les sphères Kν, sont emboîtées de telle sorte queKν, est située à l’intérieur deKν−1, celle-ci à l’intérieur deKν−2, etc., on en conclut d’après un principe connu l’existence d’un pointtdont s’approchent indéfiniment les centrespiν, en sorte que l’on a

νlim=∞piν

=. t ;

le pointtest donc point-limite deP. Mais de plus on s’assure, quetn’est pas unpointappartenant àP; car s’il l’était, on auraitt=pnpour une certaine valeur de l’indicen, équationimpossible, puisquetest situé à l’intérieur de la sphèreKν, quelque grand que soitν, quand au contraire on peut prendreνassez grand, savoirν > n, de sorte quepntombe en dehors de la sphèreKν.

Donc nous avons démontré queP ne peut pas être unensemble parfait.

Démonstration du théorème B.

αétant un nombre donné quelconque de lapremière ou de lasecondeclasse de nombres, on a, quel que soit l’ensembleP,l’identité suivante :

(I) P⁽¹⁾≡X

α⁰

(P^(α0)−P^(α0+1)) +P^(α)

dans laquelleα⁰parcourt tous les nombres entiers positifs qui sontinférieursàα. La vérité de cette identité (I) découle facilement de la notion générale del’ensemble dérivéP^(α) de l’ordreα.

Lorsqueαest un nombre tel qu’il existe un autreα−1 qui précèdeαimmédiatement, alorsP^(α)est défini comme étant lepremier ensemble dérivédeP^(α−1)mais lorsqueαest un nombre tel (comme par exemple ωouω^ωouω^ωω+ω²), qu’il n’a point de voisin qui le précède immédiatement, alorsP^(α)est défini comme étant le plus grand commun diviseur de tous les ensembles dérivésP^[α0)dont les ordresα⁰sontinférieurs

3

àα.

D’après l’hypothèse admise dans notre théorème,P^(α) s’évanouit, on a donc ici :

P⁽¹⁾≡X

α⁰

(P^(α0)−P^(α0+1))

Le nombre des valeurs deα⁰ est ou fini ou infini selon queα appartient à lapremière ou à laseconde classe de nombres ; mais dans le dernier cas l’ensemble des valeurs deα⁰ est de lapremière puissance (cf.

la définition de la seconde classe de nombres dansGr.§ 11).

Chaque terme

(P^(α0)−P^(α0+1))

de notre somme est un ensemble de points appartenant à la catégorie de ceux que j’appelleensembles isolés(voir Annales math. T. 21 p. 51).

Comme je l’ai démontré au même endroit, un ensembleinfinietisoléest toujours de lapremière puissance.

Donc le terme

(P^(α0)−P^(α0+1)) de notre somme est un ensemble ou fini, ou de lapremière puissance.

Par là, on conclut facilement queP⁽¹⁾est aussi de lapremière puissancedonc aussiP est de la première puissance, comme on le trouve démontré à l’endroit cité tout à l’heure.

Démonstration du théoreme C.

En désignant par Ω le premier nombre de latroisièmeclasse de nombres, on a, quelque soit l’ensembleP, l’identité suivante :

(2) P⁽¹⁾≡X

α

(P^(α)−P^(α+1)) +P^(Ω)

oùαparcourt tous les nombres entiers positifs de lapremière et de lasecondeclasse de nombres.

L’ensembleP est d’après l’hypothèse admise dans notre théorème tel que son premier dérivéP⁽¹⁾ ait la première puissance; donc aussi les dérivésP^(α), qui sont tous des diviseurs deP⁽¹⁾, ont la même puissance, en tant qu’ils sont constitués par un nombre infini de points.

En nous appuyant maintenant sur le théorèmeA, démontré plus haut, nous concluons que la différence (P^(α)−P^(α+1))ne peut pas s’annuler tant queP^(α) n’est pas zéro.

Si donc tous les dérivésP^(α)étaientdifférentsde zéro, tous les termes (P^(α)−P^(α+1)) de notre somme à

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droite de l’équation (2) le seraient de même et comme l’ensemble de cestermesest de lasecondepuissance (cf.Gr.§ 12), il s’ensuivrait à plus forte raison que l’ensemble de points à droite de notre équation (2) serait d’une puissancenon inférieure à laseconde; ce qui serait contraire à l’hypothèse, d’après laquelle l’ensembleP⁽¹⁾à gauche de l’équation (2) est supposé de lapremièrepuissance.

Donc les dérivésP^(α) ne peuvent pas être tous différents de zéro, il existe donc des nombres α de la premièreou de lasecondeclasse de nombres tels que l’on a :

P^(α)≡0

De ces nombresα, il y en a un qui est le plus petit, comme il est facile de le voir.

Dans le mémoireGr.page 31, j’ai aussi indiqué une proposition se rapportant au cas oùP⁽¹⁾ n’est pas de la première puissance, et qui, dans la forme où je l’ai exprimée, n’est pas tout à fait juste dans sa généralité. Comme je l’ai trouvé alors, il existe sans doute, une seule décomposition :

P⁽¹⁾=R+S,

oùS est un ensemble parfait, maisRun ensemble de lapremièrepuissance. Si passant de là, je dis queR est un ensemble réductible, ce n’est pas correct dans sa portée générale.

Monsieur Bendixson de Stockholm qui s’est occupé avec un succès distingué de l’examen de ma proposition a trouvé queRest toujours tel que, pour, un certainγde la première ou de la seconde classe de nombres, on a l’équation :

D(R, R^(γ)) = 0.

Il résulte des communications que M. Bendixson a eu l’obligeance de me faire, qu’il a retrouvé d’une ma-nière parfaitement indépendante mes développements d’alors concernant ce sujet, et qu’il les a complétés et rectifiés dans le sens indiqué. Sur ma demande, M. Bendixson a voulu bien rédiger ses recherches pour être publiées à la suite de cette communication.

Halle, le 22 Avril 1883.

5

Le calcul de la Logique George Boole

Dans un travail publié dernièrement¹, j’ai montré l’application d’une nouvelle forme parti-culière de raisonnement mathématique. Dans le présent essai, j’ai comme objectif de fournir un compte-rendu d’une portion du traité en question et ainsi de fournir une vue correcte de la nature du système développé. Je m’efforcerai d’établir clairement ce en quoi consistent ses caractéristiques distinctives, et fournirai une illustration plus particulière de quelques élé-ments qui sont moins présentés dans le travail original. La partie du système à laquelle je cantonnerai mes observations est celle qui traite des propositions catégoriques, et les points que je souhaite illustrer selon cette contrainte sont les suivants :

(1) Je parlerai de logique en tant qu’elle traite des relations entre classes, ainsi que des modes selon lesquels l’esprit voit ces relations.

(2) Précédemment à notre reconnaissance de l’existence de propositions, il y a des lois aux-quelles la conception d’une classe est sujette, lois qui sont dépendantes de la constitution de l’intellect, et qui déterminent le caractère et la forme du processus de raisonnement.

(3) Ces lois peuvent être exprimées mathématiquement, et elles constituent la base d’un cal-cul interprétable.

(4) Ces lois sont de plus telles que toutes les équations qui sont formées contraintes par ces lois, même si elles sont exprimées par des signes fonctionnels, admettent une parfaite solution, de telle façon que tout problème de logique peut être résolu en se référant à un théorème général.

(5) Les formes sous lesquelles les propositions sont habituellement exhibées, en accord avec les principes de ce calcul, sont analogues à celles du langage philosophique.

(6) Bien que les symboles du calcul ne dépendent pas pour leur interprétation de l’idée de quantité, ils nous conduisent cependant, dans leur application particulière au syllogisme aux conditions quantitatives de l’inférence.

C’est en particulier de ces deux derniers points que je souhaite offrir ici une illustration, ceux-ci ayant été partiellement fournis comme exemples dans le travail que j’ai cité.

Les autres points, cependant, seront incidemment sujets de la discussion. Il sera nécessaire de fournir au préalable la notation suivante.

L’univers des objets concevables est représenté par 1 ou par l’unité. C’est la conception primaire. Toutes les conceptions de classes secondaires doivent être comprises comme étant formées à partir de la conception primaire par limitations, selon le schéma suivant.

Supposons que nous concevions un groupe quelconque d’objets constitué deX,Y, et autres, et quex, que nous appellerons symbole électif, représente l’opération de choisir dans ce groupe tous lesXqu’il contient, ou de fixer notre attention sur lesXà l’exclusion de tous ceux qui ne sont pas des X,y l’opération mentale consistant à sélectionner les Y, etc. ; alors, 1 ou l’univers étant la conception sujet, nous aurons

Journal mathématique de Cambridge et Dublin, Vol. III (1848), p. 183-98.

1. L’analyse mathématique de la logique, essai vers un calcul du raisonnement déductif. Cambridge, Mac-millan ; London, G. Bell.

1

x1 oux = la classe desX, y1 ouy = la classe desY,

xy1 ouxy = la classe dont chaque membre est à la foisXetY, et etc..

De la même manière, nous aurons 1−x = la classe des non-X, 1−y = la classe des non-Y,

x(1−y) = la classe dont les membres sont desXmais des non-Y, (1−x)(1−y) = la classe dont les membres ne sont ni desXni desY,

etc.

En outre, de considérations sur la nature des opérations mentales impliquées, il apparaîtra que les lois suivantes sont satisfaites.

En représentant parx, y, z des symboles électifs quels qu’ils soient,

x(y+z) = xy+xz, (1)

xy = yx, etc., (2)

xⁿ = x, etc. (3)

Des premières lignes, on voit que les symboles électifs sont distributifs dans leur opération ; de la seconde, on voit qu’ils sontcommutatifs. J’ai appelé la troisième la loi indexante ; elle est spécifique aux symboles électifs.

La vérité de ces lois ne dépend pas du tout de la nature, ou du nombre, ou des relations mu-tuelles, des individus inclus dans les différentes classes. Il peut y avoir un seul individu dans une classe, ou bien des milliers. Il peut y avoir des individus communs à plusieurs classes, ou les classes peuvent s’exclure mutuellement. Tous les symboles sont distributifs, commutatifs et tous les symboles électifs satisfont la loi exprimée par (3).

Ces lois sont en fait incarnées par tout langage parlé ou écrit. L’équivalence entre les ex-pressions “un homme sage et bon” et “un homme bon et sage”, n’est pas un simple truisme, mais une conséquence de la loi de commutativité exhibée en (2). Et il y a des illustrations similaires des autres lois.

Relié à ces lois, il y a un axiome général. Nous avons vu que les opérations algébriques ef-fectuées avec ces symboles électifs représentent les processus mentaux. Ainsi la connexion de deux symboles par le signe + représente l’agrégation de deux classes en une classe simple, la connexion de deux symbolesxycomme dans la multiplication, représente l’opération mentale de sélectionner dans la classeY ces membres qui appartiennent aussi à une autre classeX, et etc. Par de telles opérations, la conception d’une classe est modifiée. Mais à côté de cela, l’esprit a le pouvoir de percevoir les relations d’égalité entre classes. L’axiome en question, alors, est quesi une relation d’égalité est perçue entre deux classes, cette relation reste non affectée quand les deux sujets sont modifiés de la même façon par les opérations précédem-ment décrites. (A). Cette axiome, et non le “postulat d’Aristote”, est le fondement réel de tout raisonnement, la forme et le caractère du processus étant, cependant, déterminé par les trois lois déjà établies.

Il est non seulement vrai que tout symbole électif représentant une classe satisfait la loi in-dexante (3), mais il peut être démontré rigoureusement que toute combinaison de symboles électifsφ(xyz . . .), qui satisfait la loiφ(xyz . . .)ⁿ=φ(xyz . . .), représente une conception in-telligible, - un groupe ou une classe définis par un nombre plus ou moins grand de propriétés

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constitué d’un nombre plus ou moins grand de parties.

Les quatre propositions catégoriques sur lesquelles la doctrice du syllogisme ordinaire est fondée sont

Tous lesY sont desX. A,

AucunY n’est unX. E,

QuelquesY sont desX, I,

QuelquesY sont des non-X. O.

Nous considèrerons ces propositions en référence aux classes sur lesquelles la relation est ex-primée.

A. L’expression Tous lesY représente la classeY et sera ainsi exprimée pary, les copula par le signe =, le terme indéfini,X, est équivalent à QuelquesX. C’est une convention de langage que le mot Quelques est exprimé dans le sujet, mais non dans le prédicat d’une proposition.

A. L’expression Tous lesY représente la classeY et sera ainsi exprimée pary, les copula par le signe =, le terme indéfini,X, est équivalent à QuelquesX. C’est une convention de langage que le mot Quelques est exprimé dans le sujet, mais non dans le prédicat d’une proposition.

Dans le document Préhistoire de la fonction zeta (Page 96-122)