O Retˆangulo
Desejamos fazer o estudo do conceito de ´area de um pol´ıgono e, de modo mais geral, o conceito de ´area de uma “regi˜ao” no plano.
Para tanto, vamos destacar um tipo de pol´ıgono especial, que ´e o retˆangulo. Um lado qualquer do retˆangulo pode ser escolhido e chamado de base e a distˆancia entre as retas paralelas que cont´em a base e o lado oposto a ela ´e chamada de altura do retˆangulo.
Quando os lados de um retˆangulo medem a e b, ele ´e chamado de retˆangulo de dimens˜oes a e b.
Um segmento que liga dois v´ertices de um retˆangulo e que n˜ao est´a contido em qualquer de seus lados ´e chamado de diagonal desse retˆangulo. Observemos que um retˆangulo possui exatamente duas diagonais e elas s˜ao congruentes.
Por fim, j´a vimos que um retˆangulo cujos lados s˜ao congruentes ´e chamado de quadrado, portanto, um pol´ıgono regular.
Para dar prosseguimento ao nosso estudo, precisamos do conceito de “congruˆencia” entre duas regi˜oes no plano. Este, por sua vez, foi introduzido em se¸c˜ao passada a partir do conceito muito ´util em geometria, que ´e o conceito de semelhan¸ca entre duas regi˜oes no plano.
´
Area de Retˆangulo
Medir uma grandeza significa compar´a-la com uma outra de mesma natureza que cor- responde a uma unidade.
Intuitivamente, a ´area de um pol´ıgono, por exemplo, ´e um n´umero (resultante da com- para¸c˜ao acima) associado `a regi˜ao do plano ocupada pelo interior desse pol´ıgono.
Na Geometria Euclidiana Plana, definimos que uma unidade de ´area corresponde `a regi˜ao do plano ocupada por um quadrado de lados unit´arios, chamado de quadrado unit´ario.
1 1
Figura 105: Quadrado unit´ario.
Sendo assim, medir a ´area de um pol´ıgono significa, de forma intuitiva, “verificar quantas
vezes o quadrado unit´ario cabe dentro desse pol´ıgono”. De forma mais precisa, o conceito
de ´area de um pol´ıgono ´e definido de modo a satisfazer:
(i) Pol´ıgonos F e G congruentes possuem a mesma ´area, ou seja, A (F) = A (G).
(ii) Pol´ıgonos F e G cuja intersec¸c˜ao de seus interiores ´e vazia s˜ao tais que A (F ∪ G) = A (F) + A (G).
Naturalmente, estabelecer o “tamanho” de uma unidade de comprimento ´e algo total- mente arbitr´ario. Por exemplo, se o comprimento 1 dos lados do quadrado unit´ario for
convencionado como sendo 1 metro (1 m), ent˜ao dizemos que a ´area do quadrado unit´ario ´e 1 metro quadrado (1 m2).
Com o estabelecimento da unidade de ´area e das condi¸c˜oes acima podemos deduzir a ´area de um retˆangulo. Esta, por sua vez, ser´a ´util na conceitua¸c˜ao precisa de ´area de uma regi˜ao que faremos adiante.
Teorema 2.22 A ´area de um retˆangulo de dimens˜oes a e b ´e A = ab, ou seja, produto do
comprimento da base por sua altura. Demonstra¸c˜ao.
Para fixar as nota¸c˜oes, tomemos a como sendo a vari´avel positiva comprimento (uma grandeza) da base, e b a altura do retˆangulo.
A vari´avel positiva ´area (outra grandeza) do retˆangulo depende de a e b, ou seja, A = A (a, b).
Observemos que, se fixarmos b, a vari´avel ´area A fica em fun¸c˜ao da vari´avel comprimento a, ou seja, f (a) = A (a, b), ou, em linguagem mais familiar, f (x) = A (x, b).
Naturalmente, devido `a condi¸c˜ao (ii) acima, f ´e crescente, pois, com altura fixada, se aumentarmos (ou diminuirmos) o comprimento da base do retˆangulo, ent˜ao sua ´area tamb´em aumenta (ou diminui).
Al´em disso, devido `a condi¸c˜ao (i) acima, com altura fixada, se duplicarmos o comprimento da base, a ´area duplica. Se triplicarmos o comprimento da base, a ´area triplica, e assim, por diante.
b
a a a
Figura 106: Aplicando o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.
Desta forma, temos A (nx, b) = nA (x, b) para qualquer n ∈ N, ou seja, f (nx) = nf (x) para qualquer n ∈ N.
Pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, temos que f (rx) = rf (x) para qual- quer r ∈ R+, ou seja,
A (rx, b) = rA (x, b) para qualquer r ∈ R+.
Naturamente, racioc´ınio an´alogo pode ser desenvolvido para a vari´avel altura, ou seja, A (a, ry) = rA (a, y) para qualquer r ∈ R+.
Com as considera¸c˜oes acima:
A = A (a, b) = A (a, b.1) = bA (a, 1) = bA (a.1, 1) = abA (1, 1) . Mas A (1, 1) ´e a ´area do retˆangulo unit´ario que, por defini¸c˜ao, ´e 1.
Conclus˜ao:
A = ab,
como quer´ıamos. ¤
´
E importante observar que, se as dimens˜oes de um retˆangulo a e b forem n´umeros naturais ou mesmo racionais positivos, n˜ao ´e necess´ario o uso do Teorema Fundamental da Proporcionalidade para demonstrar que A = ab.
Exerc´ıcio. Demonstre que a ´area do retˆangulo de dimens˜oes racionais positivas a e b ´e A = ab sem usar o Teorema Fundamental da Proporcionalidade.
Como um retˆangulo de dimens˜oes a e b pode ser dividido em dois triˆangulos retˆangulos congruentes com catetos medindo a e b, temos como consequˆencia imediata do teorema acima que a ´area Atr de um tal triˆangulo ´e dada pela metade do produto do comprimento
de sua base por sua altura, ou seja, Atr = ab2 .
O Conceito Geral de ´Area
Vamos definir um pol´ıgono especial, chamado de pol´ıgono retangular , que nada mais ´e do que o pol´ıgono proveniente de uma reuni˜ao finita de retangulos justapostos pelos lados. Essa justaposi¸c˜ao de retˆangulos ´e feita de tal modo que existem duas retas perpendiculares tais que qualquer lado do pol´ıgono retangular ´e paralelo a uma dessas duas retas (15).
Figura 107: Aproximando figuras por pol´ıgonos retangulares.
A ´area de um pol´ıgono retangular ´e, devido `a condi¸c˜ao (ii), a soma das ´areas dos retˆangulos que o constituem.
Como pretendemos conceituar ´area para objetos mais gerais do que pol´ıgonos, vamos utilizar a palavra “regi˜ao” para objetos no plano que sejam pass´ıveis de terem a ´area n˜ao nula univocamente estabelecida conforme defini¸c˜ao abaixo.
Sejam R conjunto limitado de pontos no plano (16) e A (R) n´umero real tal que:
Dados r1, r2 ∈ R quaisquer com r1 < A (R) < r2, existem pol´ıgonos retangulares P1 ⊂
R ⊂ P2 cujas ´areas A (P1) e A (P2) satisfazem r1 < A (P1) ≤ A (R) ≤ A (P2) < r2.
O n´umero real A (R) ´e definido como o ´area de R.
Conjuntos R que possuem ´areas n˜ao nulas definidas conforme acima s˜ao chamados de
regi˜oes.
Em palavras mais simples, a ´area de uma regi˜ao R ´e o n´umero real A (R) cujas apro- xima¸c˜oes por falta s˜ao ´areas de pol´ıgonos retangulares contidos na regi˜ao e cujas aprox- ima¸c˜oes por excesso s˜ao as ´areas de pol´ıgonos retangulares que contˆem a regi˜ao.
Em cursos mais avan¸cados (de An´alise Real ou Teoria da Medida) ´e poss´ıvel mostrar que existem conjuntos limitados de pontos no plano que n˜ao possuem a ´area estabelecida
15Para que respeitemos a defini¸c˜ao de pol´ıgono as intersec¸c˜oes dos lados dos retˆangulos que comp˜oem um
pol´ıgono retangular n˜ao s˜ao considerados como lados do mesmo.
conforme a defini¸c˜ao que demos acima. Al´em disso, ´e poss´ıvel mostrar que a ´area de um conjunto limitado de pontos no plano (quando existe) ´e ´unica.
Os leitores que possuem familiaridade com integrais de fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real (integrais simples) devem se recordar que a ´area da regi˜ao plana delimitada pelo eixo das abscissas, pelo gr´afico de uma fun¸c˜ao positiva e limitada e por duas retas paralelas ao eixo das ordenadas ´e feita via o limite de uma Soma de Riemann, que est´a relacionada com um pol´ıgono retangular especial, obtido pela justaposi¸c˜ao de v´arios retˆangulos todos com bases sobre o eixo das abscissas.
A conceitua¸c˜ao de ´area que demos acima est´a bem definida do ponto de vista matem´atico, mas ´e bastante inconveniente para usos pr´aticos. Precisamos de teoremas que facilitem os c´alculos de ´areas para as principais regi˜oes do plano.
´
Areas de Figuras Poligonais
Lema 2.3 Num triˆangulo, o produto de cada um de seus lados pela altura relativa a esse
lado ´e constante. Demonstra¸c˜ao.
Seja ABC um triˆangulo com alturas AHA e BHB relativas aos lados BC e AC, respecti-
vamente. Suponhamos que o ortocentro do triˆangulo esteja em seu interior conforme figura abaixo. B C A HB HA O
Figura 108: Figura auxiliar.
Os triˆangulos AHAC e BHBC s˜ao semelhantes pelo caso AA pois os ˆangulos HA e HB
s˜ao retˆangulos e o ˆangulo C ´e comum aos dois triˆangulos.
Logo, existe um n´umero real k > 0 tal que AHA = k.BHB e AC = k.BC. Portanto,
AHA.BC = BHB.AC.
De maneira an´aloga, mostramos que AHA.BC = CHC.AB.
O caso em que o ortocentro do triˆangulo est´a no exterior do triˆangulo ser´a deixado como
exerc´ıcio. ¤
Teorema 2.23 A ´area de um triˆangulo ´e dada pela metade do produto do comprimento de
um de seus lados pela altura relativa a este lado. Demonstra¸c˜ao.
A B b1 b2 C HA h A B C HA b h b2 b1 b
Figura 109: Figura auxiliar.
Denotemos por b e h as medidas do lado BC e da altura AHA, respectivamente.
Pelo lema anterior, basta mostrar que a ´area do triˆangulo ABC ´e 1 2bh.
Suponhamos, primeiramente, que HA est´a entre B e C, como na figura acima `a esquerda.
Da´ı os triˆangulos ABHA e ACHA s˜ao retˆangulos e comp˜oem o triˆangulo ABC.
Por 2.5 a ´area de ABHA ´e 12hb1 e a ´area de ACHA ´e 12hb2. Logo, a ´area do triˆangulo
ABC ´e 1
2hb1 +12hb2.
Observando que b1 + b2 = b temos que a ´area do triˆangulo ABC ´e 12bh.
Caso HA coincida com B ou C o triˆangulo ABC ´e retˆangulo e o resultado decorre direta-
mente de 2.5.
Se C estiver entre B e HA, como na figura acima `a direita, ent˜ao os triˆangulos ACHA e
ABHA s˜ao retˆangulos e a ´area do triˆangulo ABC ´e a ´area do triˆangulo ABHA subtra´ıda da
´area do triˆangulo ACHA.
Logo, a ´area do triˆangulo ABC ´e 1 2hb1−
1
2hb2 = 1
2bh pois, b1 = b + b2. ¤
Como consequˆencia do teorema acima, temos o seguinte resultado: sejam ABC um triˆangulo e r reta passando por A e paralela ao lado BC. Ent˜ao, qualquer triˆangulo A0BC
com A0 ∈ r possui a mesma ´area do triˆangulo ABC.
A
B C
A‛ r
Figura 110: Uma propriedade relativa `a ´area de triˆangulos.
Tamb´em ´e consequˆencia imediata do teorema acima que a ´area de um losango ´e dada pela metade do produto do comprimento de suas diagonais.
A B D C d1 d2 A D D B B C d2 d2 d1 2 d1 2
Embora a palavra base seja utilizada em v´arios contextos na Matem´atica (e em especial na Geometria), ´e comum dizer que a ´area de um triˆangulo ´e metade do produto da base pela
altura, significando, com isto, que estamos escolhendo um lado do triˆangulo como base, e a
altura em quest˜ao ´e a altura relativa a este lado. Naturalmente, quando dizemos “produto da base pela altura”, estamos cometendo um abuso de linguagem, confundindo base (que ´e um segmento) com o comprimento da base. Este tipo de abuso n˜ao causa transtornos pois o contexto sempre estar´a claro. Continuaremos a fazˆe-lo abaixo com paralelogramos e trap´ezios.
A distˆancia entre lados opostos, que chamaremos de bases, de um paralelogramo ´e chamada de altura do paralelogramo relativa a este par de lados. Naturalmente, h´a duas alturas em um paralelogramo. h h base base base base
Figura 112: Estabelecendo bases e altura em paralelogramo.
Teorema 2.24 A ´area de um paralelogramo ´e dada pelo produto do comprimento de uma
base pela altura correspondente. Demonstra¸c˜ao.
Seja ABCD um paralelogramo e escolhamos a base b = BC e altura h = AH.
A
B H C
D
Figura 113: Figura auxiliar.
A diagonal AC divide o paralelogramo em dois triˆangulos congruentes pelo caso LLL, logo, os triˆangulos possuem a mesma ´area que ´e 1
2bh. Assim, a ´area do paralelogramo ´e 1
2bh + 12bh = bh. ¤
Observemos que a f´ormula da ´area de um retˆangulo ´e um caso particular do teorema acima.
A distˆancia entre lados opostos e paralelos de um trap´ezio, que chamaremos de bases
menor e maior, ´e chamado de altura do trap´ezio.
h base menor
base maior
Teorema 2.25 A ´area de um trap´ezio ´e dada pela metade do produto de sua altura pela
soma dos comprimentos de suas bases. Demonstra¸c˜ao.
Seja ABCD um trap´ezio.
h A b1
b2
B
C D
Figura 115: Figura auxiliar.
Denotemos AB = b1, CD = b2 as bases do trap´ezio e h sua altura.
Consideremos os triˆangulos ACD e ADB. Ent˜ao, pelo Teorema 2.23 a ´area do triˆangulo ACD ´e 1
2hb2 e a ´area do triˆangulo ABD ´e 12hb1.
Logo, utilizando a defini¸c˜ao de pol´ıgono, temos que a ´area do trap´ezio ´e 1
2hb2+ 12hb1,
ou seja, 1
2h (b1 + b2) . ¤
Observemos que as demonstra¸c˜oes que fizemos nos dois teoremas acima consistem em dividir figuras em triˆangulos. Essa ideia pode ser generalizada para pol´ıgonos quaisquer. A ´area de um pol´ıgono pode ser obtida particionando-se o pol´ıgono em triˆangulos e calculando a soma das ´areas desses triˆangulos.
Neste ponto, uma quest˜ao se coloca de modo natural: sempre ´e poss´ıvel particionar um
pol´ıgono em triˆangulos? A resposta ´e ´obvia quando o pol´ıgono ´e convexo, pois ele pode ser
particionado em triˆangulos a partir de um ´unico v´ertice. Neste caso, um pol´ıgono convexo de n lados pode ser particionado em n − 2 triˆangulos.
Figura 116: Dividindo um pol´ıgono em triˆangulos.
O curioso ´e que a divis˜ao de um pol´ıgono de n lados em n − 2 triˆangulos tamb´em ´e v´alida para pol´ıgonos n˜ao convexos.
Como consequˆencia, este resultado leva-nos imediatamente ao teorema:
Um pol´ıgono de n lados possui ˆangulos internos cuja soma ´e dada por (n − 2) .180◦.
´
Area de Disco e Setor Circular
A ´area de um disco pode ser obtida de forma an´aloga `aquela que fizemos para calcular o comprimento de uma circunferˆencia. Por meio de pol´ıgonos regulares inscritos e circunscritos
ao disco. Para tanto, precisamos das rela¸c˜oes trigonom´etricas b´asicas do triˆangulo retˆangulo ABC com ˆangulo reto em B:
sen ³ b A ´ = BC AC; cos ³ b A ´ = AB AC; tg³Ab´= BC AB A B C
Figura 117: Estabelecendo raz˜oes entre os comprimentos dos lados de um triˆangulo
retˆangulo.
Exerc´ıcios. (i) Mostre que a ´area de um pol´ıgono regular de n lados inscrito em um disco de raio r ´e dada por 1
2r2n sen
¡2π
n
¢ .
(ii) Mostre que a ´area de um pol´ıgono regular de n lados circunscrito em um disco de raio r ´e dada por r2n tg¡π
n
¢ .
(iii) Mostre que o per´ımetro de um pol´ıgono regular de n lados inscrito em uma circun- ferˆencia de raio r ´e dado por 2rn sen¡π
n
¢ .
(iv) Mostre que o per´ımetro de um pol´ıgono regular de n lados circunscrito em uma circunferˆencia de raio r ´e dado por 2rn tg¡π
n
¢ .
Para o pr´oximo teorema, que usa os dois primeitos itens do exerc´ıcio acima, o leitor notar´a que utilizamos de forma expl´ıcita alguns limites. Optamos por essa abordagem devido ao fato de que tal conceito geralmente j´a ´e de dom´ınio do leitor a esta altura dos estudos. Al´em disso, a no¸c˜ao de limite j´a apareceu de forma velada em alguns resultados deste pr´oprio texto como, por exemplo, na dedu¸c˜ao da f´ormula do comprimento de circunferˆencia e no Teorema de Tales.
Teorema 2.26 A ´area de um disco de raio r ´e πr2.
Demonstra¸c˜ao.
Denotemos por A a ´area do disco. Conforme o Teorema 2.20 podemos inscrever e circun- screver pol´ıgonos regulares de qualquer n´umero de lados na circunferˆencia delimitada pelo disco.
Consideremos um pol´ıgono P1 de n lados inscrito no disco. Pelo exerc´ıcio anterior sua
´area ´e 1 2r2n sen ¡2π n ¢ .
Consideremos agora um pol´ıgono P2 de n lados circunscrito no disco. Novamente, pelo
exerc´ıcio anterior, sua ´area ´e r2n tg¡π n
¢ .
Agora, pela defini¸c˜ao de ´area, a ´area do disco ´e maior do que a do pol´ıgono P1 e menor
do que a do pol´ıgono P2, ou seja,
1 2r 2n sen µ 2π n ¶ < A < r2n tg³ π n ´ .
Aumentando indefinidamente o n´umero de lados dos pol´ıgonos P1 e P2 a rela¸c˜ao permanece.
Da´ı, utilizando o limite fundamental limx→0
sen(x)
x = 1 e propriedades de limites, temos que lim n→+∞ 1 2r 2n sen µ 2π n ¶ = r2 lim n→+∞π sen¡2π n ¢ 2π n = πr2. lim n→+∞r 2n tg³ π n ´ = r2 lim n→+∞n sen¡π n ¢ cos¡π n ¢ = r2 lim n→+∞π sen¡π n ¢ π n lim n→+∞ 1 cos¡π n ¢ = πr2.
Portanto, pelo Teorema do Sandu´ıche (ou do Confronto) temos que A = πr2. ¤
SejaBXC um arco de circunferˆencia de centro A e extremos B e C. O conjunto de todos_ os segmentos com extremos em A e em um ponto do arcoBXC ´e chamado de setor circular_ de centro A e raio r = AB = AC.
A B C X r r
Figura 118: Setor circular.
O procedimento para o c´alculo da ´area de um setor circular ´e an´alogo ao que fizemos para o c´alculo do comprimento de um arco de circunferˆencia. Vamos repeti-lo abaixo.
Consideremos uma fun¸c˜ao f que associa os ˆangulos de medida θ dos setores circulares de raio r (fixo) `as suas ´areas, ou seja, Aθ = f (θ) ´e a ´area do setor circular de raio r e ˆangulo
de medida θ.
A fun¸c˜ao f ´e, obviamente crescente (decorre das propriedades de ´area) e, al´em disso, se duplicarmos o ˆangulo do setor, a ´area duplica. Se triplicarmos o ˆangulo do setor, a ´area triplica, e assim por diante. Logo, estamos nas hip´oteses do Teorema Fundamental da
Proporcionalidade. Isso significa que a medida do ˆangulo de um setor circular ´e diretamente
proporcional a sua ´area. Assim, Aθ = f (θ) = kθ, sendo k = f (1) a ´area do setor circular
de ˆangulo 1. Se adotarmos a unidade de medida radianos, a ´area de um setor circular de ˆangulo medindo 1 radiano ´e πr2
2π = r 2 2 . Assim Aθ = r2 2θ
´e a ´area de um setor circular de raio r e ˆangulo de medida θ radianos.
q r
Aq
Se utilizarmos a unidade de medida graus temos k = f (1) = πr2
360◦, ou seja, Aθ = πr
2
360◦θ
sendo θ dado em graus.
O racic´ınio desenvolvido acima pode ser colocado em um dispositivo pr´atico bastante interessante, conhecido como “regra de trˆes”:
↑ ˆ
Angulo (rad) Area Setor´
2π πr2
θ Aθ
↑ =⇒ 2πAθ = θπr2 ⇒ Aθ=
r2
2θ.
O mesmo desenvolvimento acima pode ser feito relacionando as grandezas comprimento de arco l do setor circular de raio r e sua ´area Al, chegando a
Al = r
2l. O dispositivo pr´atico, neste caso fica do seguinte modo:
↑
Comprimento Arco Area Setor´
2πr πr2 l Al ↑ =⇒ 2πrAl= lπr2 ⇒ Al = r 2l. r r Al l
Figura 120: Estabelecendo a ´area de um setor circular em fun¸c˜ao de seu arco.
Essa mesma f´ormula pode ser obtida de Aθ = r
2
2θ apenas lembrando da defini¸c˜ao de
radiano: θ = l r.
Semelhan¸ca e ´Areas
Definimos figuras semelhantes em se¸c˜ao anterior. ´E poss´ıvel mostrar uma curiosa rela¸c˜ao entre semelhan¸ca e ´area dada pelo seguinte teorema.
Teorema 2.27 Sejam F e G figuras planas semelhantes cuja raz˜ao de semelhan¸ca de F para
G seja k. Ent˜ao, A (F) = k2A (G), sendo A (F) e A (G) as ´areas de F e G, respectivamente.
A demonstra¸c˜ao deste teorema faz uso de homotetia e ´e deixada como desafio para o leitor. Casos especiais em que F e G s˜ao pol´ıgonos s˜ao bastante f´aceis de serem demonstrados.
Todas as f´ormulas de ´areas de Geometria Euclidiana Plana que estudamos s˜ao concebidas tomando-se o quadrado unit´ario como unidade de ´area. Uma pergunta bastante natural que pode ser feita ´e a seguinte: como ficam essas f´ormulas se a unidade de ´area fosse
convencionada como sendo uma figura diferente do quadrado unit´ario? A resposta n˜ao ´e
dif´ıcil de ser concebida. As f´ormulas mudam, mas n˜ao muito. Na verdade, as novas f´ormulas diferir˜ao das “originais” apenas por um fator constante (que depender´a apenas da figura tomada como unidade de ´area). Neste sentido, o conceito de ´area ´e universal.
Apˆendice
Equivalentes ao Quinto Postulado de Euclides
Conforme comentamos na parte hist´orica do in´ıcio do cap´ıtulo sobre Geometria Euclidi- ana, v´arias tentativas de demonstra¸c˜ao do Quinto Postulado de Euclides fracassaram devido ao uso de proposi¸c˜oes equivalentes ao pr´oprio postulado que se pretendia demonstrar. Essas proposi¸c˜oes s˜ao bastante curiosas devido ao fato de que s´o valem na Geometria Euclidiana. O leitor n˜ao ter´a dificuldades em reconhecer v´arias dessas proposi¸c˜oes, algumas das quais est˜ao demonstradas nesse texto.
Quinto Postulado de Euclides - Se uma reta corta duas outras retas formando um par de ˆangulos colaterais internos cuja soma ´e menor do que dois retos, ent˜ao as duas retas, se continuadas infinitamente, encontram-se no lado onde est˜ao os ˆangulos cuja soma ´e menor do que dois retos.
a b
r s t
Figura 121: α + β < 180◦ =⇒ r n˜ao ´e paralela a s.
(i) (John Playfair, 1748 − 1819) - Por um ponto fora de uma reta pode-se tra¸car uma ´unica reta paralela `a reta dada.
Observa¸c˜ao: esse ´e o enunciado que adotamos como “Axioma das Paralelas” desse texto.
(ii) A soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e sempre igual a dois ˆangulos retos.
Observa¸c˜ao: na Geometria Hiperb´olica, essa soma ´e menor do que dois ˆangulos retos, en-
quanto, na Geometria El´ıptica, ´e maior.
(iii) Existe um par de triˆangulos semelhantes e n˜ao congruentes.
Observa¸c˜ao: semelhan¸ca ´e conceito exclusivo da Geometria Euclidiana!
(iv) Existe um par de retas equidistantes. (v) Se r //s e s // t, ent˜ao r // t.
a b r s g d m n t Figura 122 Se α + β = γ + δ = 180◦, ent˜ao m = n.
(vii) A soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e sempre a mesma.