Itérations du type Lyapunov

Dans ce paragraphe, nous détaillons la méthode de calcul d’une paire de solu-tions itératives du système algébrique du type Riccati couplé (3.8)-(3.9). Nous don-nerons également des propriétés de ces solutions ainsi que des conditions suffisantes de convergence de l’algorithme correspondant.

3.3.1 Description de la procédure

La procédure décrivant des itérations du type Lyapunov sera désignée par "Al-gorithme A.L". Les étapes de calcul d’une paire de solutions itératives (Pl, Rl)l≥1

du système algébrique du type Riccati couplé (3.8)-(3.9) sont basées sur les phases suivantes :

Algorithme A.L

62 1. Initialisation

L’initialisation se fait par le choix d’une paire de matrices (P0, R0) ∈ Rn×n× R^n×n telle que A− S11P0− S22R0 soit stable.

2. Evaluation de la solution

Le calcul de la paire de solutions (Pl, Rl)l≥1 se fait de la manière suivante : – (a) on détermine Plcomme l’unique solution de l’équation algébrique du type

Lyapunov

0 = (A− S11Pl−1− S22Rl−1)^TPl

+ Pl(A− S11Pl−1− S22Rl−1)

+ Pl−1S11Pl−1+ Rl−1S12Rl−1+ Q1, (3.13) Rl comme l’unique solution de l’équation algébrique du type Lyapunov

0 = (A− S11Pl−1− S22Rl−1)^TRl

+ Rl(A− S11Pl−1− S22Rl−1)

+ Rl−1S22Rl−1+ Pl−1S21Pl−1+ Q2. (3.14) – (b) A l’étape l≥ 1, on évalue les matrices Al := A− S11Pl− S22Rl.

3. Evaluation de l’erreur

Le calcul de l’erreur se fera à chaque étape l ≥ 1, en évaluant les quantités suivantes : N1(Pl, Rl) = AT l Pl+ PlAl+ PlS11Pl+ RlS12Rl+ Q1, (3.15) N2(Pl, Rl) = A^T_l Rl+ RlAl+ RlS22Rl+ PlS21Pl+ Q2. (3.16) 4. Critère d’arrêt Soit el := max{||N1(Pl, Rl)||∞,||N2(Pl, Rl||∞}. (3.17) Alors le critère d’arrêt pour tout l≥ 1 est tel que el ≤ ǫ.

5. Retour

l→ l + 1, on retourne à la phase de calcul de la paire de solutions c’est à dire à la phase (a) de l’algorithme jusqu’à ce que le critère d’arrêt soit satisfait. Remarque 3.3.1 Afin d’assurer l’unicité de la paire de solutions obtenues au moyen de l’algorithme A.L, il est nécessaire que les matrices (Al)l≥0 demeurent stables. Afin de remedier à cela nous donnerons par la suite un ensemble de conditions pour que les matrices (Al)l≥0 demeurent stables tout au long des executions.

3.3.2 Propriétés des solutions itératives

Dans ce paragraphe, nous donnons des conditions pour que la paire de solutions (Pl, Rl)l≥1 définie par les équations algébriques du type Lyapunov (3.13)-(3.14) soit déterminée de manière unique.

L’initialisation de l’algorithme A.L se fait en considérant la condition suivante : – (C0) : Les paires (A, Bi) et (√

Qi, A), (i = 1, 2) sont stabilisables et détectables respectivement.

La condition (C0) est suffisante pour l’existence d’une paire (P0, R0) rendant la ma-trice A− S11P0 − S22R0 stable. Pour la démonstration de ce résultat, on renvoie à Gajic et Shen [GaSh93].

Afin de guarantir l’existence et l’unicité d’une paire de solutions (Pl, Rl)l≥1 des équa-tions itératives du type Lyapunov (3.13)-(3.14), nous proposons les condiéqua-tions sui-vantes :

– (C1) : Qi ≥ 0 Sii ≥ 0 et Sij ≥ 0 1 ≤ i ≤ j ≤ 2.

– (C2) : La suite (Xl)l≥1 définie par l’équation algébrique du type Riccati sui-vante :

0 = ATXl+ XlA− Xl(S11+ S22)Xl

64 existe et est définie positive.

– (C3) : La suite de matrices ( ˜Ql)l≥1 définie par : ˜

Ql := Pl−1S₁₁Pl−1− (Xl− Pl−1)S₁₁(Xl− Pl−1) + Rl−1S22Rl−1− (Xl− Rl−1)S22(Xl− Rl−1) + Pl−1S₂₁Pl−1+ Rl−1S₁₂Rl−1+ Q₁+ Q₂, est définie positive.

Nous obtenons des propriétés de la paire de solutions (Pl, Rl)l≥1 des équations (3.13)-(3.14). Celles-ci sont résumées dans le Théorème 3.3.1.

Théorème 3.3.1 On suppose que les conditions (C0) à (C3) sont satisfaites. Alors, les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 possèdent les propriétés suivantes :

1. Les matrices A− S11Pl− S22Rl sont stables, pour tout l≥ 0.

2. La suite (Xl)l≥1 définie par l’équation algébrique du type Riccati (3.18) est telle que :

0 < Xl≤ Pl+ Rl. (3.19) Preuve du Théorème 3.3.1

1. Les conditions (C0), (C2) et (C3) et la Proposition 1.2.3, montrent que les matrices A− S11Pl− S22Rl sont stables pour tout l ≥ 0.

En effet :

– La condition (C0) montre que A− S11P0− S22R0 est stable.

– D’autre part la matrice (Xl)l≥1 définie par l’équation algébrique du type Riccati (3.18) satisfait aussi l’équation du type Lyapunov

0 = (A− S11Pl− S22Rl)TXl+1

Compte tenu des conditions (C2) et (C3), la Proposition 1.2.3 montre que les matrices (A− S11Pl− S22Rl) sont stables pour tout l≥ 1.

2. Pour montrer que Xl ≤ Pl+ Rl, il suffit de remarquer qu’à l’étape l≥ 1 de la procédure, la suite Zl := Pl+ Rl satisfait l’équation du type Lyapunov :

0 = (A− S11Pl−1− S22Rl−1)TZl

+ Zl(A− S11Pl−1− S22Rl−1) + Pl−1S11Pl−1+ Rl−1S12Rl−1

+ Pl−1S21Pl−1+ Rl−1S22Rl−1

+ Q1+ Q2. (3.21)

La suite (Xl)l≥1 est aussi solution de l’équation du type Lyapunov : 0 = (A− S11Pl−1 − S22Rl−1)^TXl

+ Xl(A− S11Pl−1− S22Rl−1) + ˜Ql. (3.22) En retranchant l’équation (3.22) de l’équation (3.21), on obtient :

0 = (A− S11Pl−1− S22Rl−1)T(Zl− Xl) + (Zl− Xl)(A− S11Pl−1− S22Rl−1) + (Xl− Pl−1)S₁₁(Xl− Pl−1)

+ (Xl− Rl−1)S22(Xl− Rl−1). (3.23) En tenant compte de la condition (C1) et de la stabilité des matrices A− S11Pl−1− S22Rl−1 pour tout l ≥ 1, on conclut grâce à la Proposition 1.2.3 que Xl ≤ Zl pour tout l≥ 1.



Dans le cas ou S12 = S21 = 0, nous pouvons obtenir une minoration uniforme de la suite (Zl)l≥1, définie par Zl := Pl+ Rl. En considérant la matrice ˜X solution de l’équation algébrique du type Riccati de la forme :

66 nous obtenons alors le corollaire suivant :

Corollaire 3.3.1 On suppose que les conditions (C0) à (C3) sont satisfaites pour S12 = S21 = 0. Alors, la suite (Zl)l≥1 définie par Zl:= Pl+ Rl satisfait l’inégalité

0 < ˜X ≤ Zl. (3.25)

Proposition 3.3.1 On suppose que les conditions (C0) à (C3) sont satisfaites. Alors, les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 sont définies de manière unique et sont semi-définies positives.

Preuve de la Proposition 3.3.1

La preuve est une conséquence du Théorème 3.3.1 et de la Proposition 1.2.3. En effet, sous les conditions (C0)-(C2) et (C3), les matrices

Al−1 := A− S11Pl−1 − S22Rl−1 sont stables pour tout l ≥ 1. La Proposition 1.2.3 montre que les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 sont définies de manière unique. Celles-ci sont semi-définies positives sous la condition (C1).



3.3.3 Conditions suffisantes de convergence

Dans ce paragraphe, nous donnons des conditions suffisantes pour que les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 définies par les équations (3.13)-(3.14) soient convergentes. Pour cela nous allons utiliser le Théorème 3.3.1 et la Proposition 3.3.1.

Nous donnons les conditions de monotonicité suivantes : – (C4) : La suite (Γ^p_l)l≥1 définie par :

Γ^p_l := (Rl− Rl−1)TS₂₂Pl+ PlS₂₂(Rl− Rl−1)

+ (Pl−1− Pl)^TS11(Pl−1− Pl), (3.26) est semi-définie positive.

– (C5) : La suite (Γr

l)l≥1 définie par : Γr

l := (Pl− Pl−1)TS11Rl+ RlS11(Pl− Pl−1)

+ (Rl−1− Rl)TS₂₂(Rl−1− Rl), (3.27) est semi-définie positive.

Proposition 3.3.2 On considère le système algébrique du type Riccati (3.8)-(3.9) avec S₁₂ = S₂₁ = 0. On suppose que les conditions (C0) à (C5) sont satisfaites. Alors, les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 définies par les équations (3.13)-(3.14) sont convergentes.

Preuve de la Proposition 3.3.2

1. Les conditions (C0) à (C3) sont satisfaites, la Proposition 3.3.1 montre que les suites (Pl)l≥1et (Rl)l≥1 définies par les équations (3.13)-(3.14) sont déterminées de manière unique et sont semi-définies positives.

2. Nous allons montrer que sous les conditions (C4) et (C5), les suites (Pl)l≥1

(Rl)l≥1 sont décroissantes.

– On considère l’équation du type Lyapunov définie par (3.13) : 0 = (A− S11Pl−1− S22Rl−1)^TPl

+ Pl(A− S11Pl−1− S22Rl−1)

+ Pl−1S11Pl−1+ Q1. (3.28) En tenant compte de la définition de Γ^p_l, on peut réecrire l’équation (3.28) sous la forme

0 = (A− S11Pl− S22Rl)^TPl

+ Pl(A− S11Pl− S22Rl)

68 A l’étape l + 1, nous obtenons dans l’équation (3.28) :

0 = (A− S11Pl− S22Rl)TPl+1

+ P_l+1(A− S11Pl− S22Rl)

+ PlS11Pl+ Q1. (3.30) En retranchant l’équation (3.30) de l’équation (3.29), on obtient :

0 = (A− S11Pl− S22Rl)^T(Pl− Pl+1) + (Pl− Pl+1)(A− S11Pl− S22Rl) + Γ^p_l. Puisque Γ^p_l ≥ 0 et compte tenu de la stabilité des matrices

A− S11Pl− S22Rl pour tout l ≥ 1, on conclut grâce à la Proposition 1.2.3 que Pl ≥ Pl+1, c’est à dire que la suite (Pl)l≥1 est décroissante.

– De la même manière, on montre que la condition Γr

l ≥ 0, permet d’obtenir la décroissance de la suite (Rl)l≥1.

En effet, un calcul semblable à celui éffectué pour la suite (Pl)l≥1, montre que :

0 = (A− S11Pl− S22Rl)^T(Rl− Rl+1) + (Rl− Rl+1)(A− S11Pl− S22Rl) + Γr

l. Puisque Γr

l ≥ 0 et compte tenu de la stabilité des matrices

A− S11Pl− S22Rl pour tout l ≥ 1, on conclut grâce à la Proposition 1.2.3 que Rl ≥ Rl+1, c’est à dire que la suite (Rl)l≥1 est décroissante.

3. Les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 sont semi-définies positives. Compte tenu du fait qu’elles soient décroissantes ; nous obtenons la convergence de celles-ci. Les limites ainsi obtenues sont également semi-définies positives.

 Lorsque les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 définies par les équations algébriques du type

Lyapunov (3.13)-(3.14) sont convergentes, il est possible de définir une paire de so-lutions stabilisantes du système algébrique du type Riccati couplé (3.8)-(3.9). En effet, en posant P := liml→∞Pl et R := liml→∞Rl, on vérifie que la paire de solutions (P, R) est stabilisante pour ce système.

Nous proposons une condition pour que la matrice A− S11P − S22R soit stable : – (C6) : Les matrices ( ˜Ql)l≥1 et (Qi)1≤i≤2 sont telles que

˜

Ql ≥ Q1 > 0, ou Q^˜l ≥ Q2 > 0. (3.31) Dans la Proposition 3.3.3 suivante, nous donnons la preuve de l’existence d’une paire de solutions stabilisantes du système algébrique du type Riccati couplé (3.8)-(3.9).

Proposition 3.3.3 On suppose que les conditions (C0) à (C6) sont satisfaites pour S₁₂ = S₂₁ = 0. Alors, les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 définies par les équations (3.13)-(3.14) convergent vers P et R respectivement telles que les conditions suivantes soient vérifiées.

1. La matrice (A− S11P − S22R) est stable.

2. La paire de solutions (P, R) satisfait le système algébrique du type Riccati couplé (3.8)-(3.9).

Preuve de la Proposition 3.3.3

1. Sous les conditions (C0)-(C2) et (C3), les matrices A − S11Pl − S22Rl sont stables pour tout l≥ 0.

– Soit (vl)l≥1 un vecteur propre de A− S11Pl− S22Rl associé à la valeur propre (λl)l≥1, avec ||vl|| = 1. Posons λl = al+ ibl avec al < 0.

70 – Soit ˜X, la solution définie positive de l’équation du type Lyapunov suivante :

0 = (A− S11Pl−1− S22Rl−1)T_X˜ + X(A^˜ − S11Pl−1− S22Rl−1)

+ Q^˜l. (3.32)

En multiplipliant l’équation (3.32) par v_l−1^∗ à gauche et par vl−1 à droite, on obtient :

0 = ¯λl−1v_l−1^∗ Xv^˜ l−1+ λl−1v_l−1^∗ Xv^˜ l−1+ v^∗_l−1Q^˜lvl−1, (3.33) ou encore :

0 = 2al−1v_l−1^∗ Xv^˜ l−1+ v_l−1^∗ Q^˜lvl−1. (3.34) Sous la condition (C3) et (C6), ˜Ql ≥ Q1 > 0 ou ˜Ql ≥ Q2 > 0 pour tout l ≥ 1. Nous obtenons par exemple pour ˜Ql ≥ Q1 > 0 :

v_l−1^∗ Q^˜lvl−1 ≥ λmin( ˜Ql)≥ λmin(Q1) > 0. (3.35) Comme ˜X > 0 et Q1 > 0, on obtient à partir de l’équation (3.35)

∃α ∈ R+∗, ∀l ≥ 1, Re(λl−1)≤ −α < 0, (3.36) c-à-d que liml→∞Re(λl) < 0. Nous obtenons donc la stabilité de la matrice (A− S11P − S22R).

2. Puisque les suites (Pl)l≥1 et (Rl)l≥1 sont convergentes, par passage à la limite dans les équations (3.13)-(3.14) ; la paire de matrices (P, R) satisfait le système algébrique du type Riccati couplé (3.8)-(3.9). La stabilité de la matrice (A− S11P − S22R) étant vérifiée, la paire de solutions (P, R) est aussi stabilisante pour le système (3.8)-(3.9).