ECOULEMENTS OSCILLANTS
II. 75 avec / ir la température de référence et |epaisseur du canal.
ℎK/é √22í " 1í £ïÖ1 − Öi− Öi¤ i Öiœ j •%&N — |〈‰〉| | q II.73.
Ainsi il est difficile d’établir un coefficient d’échange représentatif des échanges thermiques pour les écoulements oscillants en utilisant une température moyenne sur la section comme température de référence. Plusieurs autres solutions ont été proposées pour définir un nombre de Nusselt adapté permettant de définir un coefficient d’échange thermique pertinent et utilisable dans des modèles monodimensionnels. Néanmoins, la détermination du coefficient d’échange pour les écoulements oscillants n’est pas aisée. En effet, la loi classique de Newton é ℎ Δ/ conduit à un coefficient h local et instantané négatif ou infini durant certaines parties du cycle.
Corrélations du nombre de Nusselt pour les écoulements oscillants
Le nombre de Nusselt représente le rapport entre le transfert thermique convectif les transferts thermiques par convection et le transfert thermique par conduction au sein du fluide à l’interface fluide paroi. Il est défini par :
ú2 ℎ¡GJ II.74.
le nombre de Nusselt local le long de la paroi prend la forme :
ú2 Z, z −
| 67/7}8 H&i‚½ /H− /ir…
II.75. avec /ir… la température de référence et |epaisseur du canal.
Pour les écoulements permanents, la température de référence est définie par la température de mélange donnée par :
/ir… ý 2 & D . Z, }, z /… Z, }, z } ý 2 Z, }, z }&D . II.76.
83 Pour les écoulements oscillants, la vitesse moyenne sur la section devient nulle deux fois par cycle. Ainsi il n’est pas possible d’utiliser la température de mélange dans le cas des écoulements oscillants pour définir un coefficient d’échange. De plus, le modèle développé par Gedeon utilisant la notion de température complexe et de coefficient d’échanges complexe permet de prendre en compte les déphasages présents dans les écoulements oscillants en utilisant une température moyennée sur la section. Par contre cela ne permet pas de retrouver la quantité d’énergie réellement transférée dans la direction axiale. D’autres corrélations du nombre de Nusselt ont été développées à cet effet.
Plusieurs solutions ont été proposées pour pouvoir définir une température de référence afin d’obtenir une corrélation pertinente du nombre de Nusselt.
- Certains auteurs ont pensé à remplacer la température de mélange par la température au centre du canal afin de déterminer un nombre de Nusselt cohérent. Cette définition présente le désavantage de ne pas prendre en compte le profil de vitesse et donc la variation du gradient de vitesse au cours de l’écoulement. De même la variation du gradient normal de température à la paroi n’est pas considérée. Ainsi cette solution représente assez mal le transfert de chaleur entre la paroi et le fluide.
- Tang et Cheng [65] utilisent les températures de mélange en entrée/sortie du tube afin de déterminer une corrélation du nombre de Nusselt moyenné sur une période en fonction du nombre de Reynolds maximum Remax de la fréquence adimensionnelle Reω et de l’amplitude
de déplacement Ad.
ú2%‚„ −0.494 " 0.0777 1 " ••I
I ²™u%&N
.. − 0.00162™u
%&N..Ë ™u¾.. II.77.
Cette corrélation n’est valable que pour de l’air avec les conditions suivantes : ™€&•&~
¡€&•&~ 0.0185 Où ™€&•&~ est le rayon du canal et ¡€&•&~ la longueur du canal
7 Ò ™u%&NÒ 7000 7 Ò ™u¾Ò 180 0.06 Ò •I Ò 2.21
- Zhao [66] réalisa lui aussi une étude numérique sur les écoulement oscillants pour de l’air. Il redéfinit dans ce cadre le nombre de Nusselt en remplaçant la température de référence par la température de mélange en entrée. Il ne définit pas de corrélation pour le nombre de Nusselt local mais considère un Nusselt moyen. Pour cette étude, il impose à la paroi une condition de température fixe. Il en déduit alors la corrélation suivante pour le nombre de Nusselt moyen :
ú2%‚„ 1,99. 10’o•..I ™u¾.. Õ 43.74 V|¡[ B.B
84 Il réalisa ensuite une seconde étude [67] à la fois numérique et expérimentale où il imposa cette fois une condition de flux fixe à la paroi. Il en déduisit la corrélation pour le nombre de
Nusselt moyen par :
ú2%‚„ 8,95. 10’o•I.. Õ™u¾..Õ II.79. Il observe une erreur relative entre les résultats expérimentaux et la corrélation (77) de l’ordre de 12,8%.
Walther [68] réalise une étude analytique de l’influence des écoulements oscillants sur les transferts de chaleur dans un tube. Afin de déterminer un nombre de Nusselt adapté, il définit la température moyenne d’une section comme température de référence. Il reprit la forme complexe de la vitesse définie par Uchida [52] et en déduisit une corrélation pour le nombre de Nusselt moyen intégré sur toute la longueur du tube telle que :
ú2%‚„ 5,78 " 0,238. 10’o™u¾B.o ’..o D" 0.0296 ™u™u %&N
.. .Õ
’.. Õ ™u
¾..Õ II.80.
Cette corrélation est définie pour un nombre de Prandtl égal à 0.7.
Ainsi, toutes ces corrélations sont pour des géométries, fluides et plages de fonctionnement bien spécifiques. Elles ne sont donc pas forcement utilisables pour les échanges thermiques dans un régénérateur magnétocalorique, surtout celles obtenues avec des nombres de Prandtl inférieurs à 1.
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CONCLUSION
Les écoulements oscillants présentent des profils particuliers de vitesse fortement dépendants de la fréquence d’oscillation. En effet, on observe l’apparition d’un effet annulaire pour des nombres de Womersley α>4. Cet effet se traduit par un déphasage de la vitesse à la paroi par rapport à la vitesse au centre du canal, celle-ci s’inversant alors plus rapidement. Ainsi pendant certaines parties du cycle, le fluide au plus près des parois s’écoule dans une direction opposée à celle du fluide au centre du canal. Ce phénomène influence fortement les transferts thermiques à l’interface paroi/fluide. La détermination d’un coefficient d’échange convectif entre la paroi et le fluide dans un écoulement oscillant est loin d’être trivial. La majorité des études réalisées sur ces transferts pour des écoulements oscillants propose des corrélations du coefficient d’échange partiellement exactes. Ces corrélations sont souvent développées pour des fluides avec un nombre de Prandtl Öi ≤ 1, pour des gaz par exemple, afin d’étudier les écoulements alternés dans un moteur à cycle de Stirling à écoulements alternés ou les écoulements pulsés pour la thermo-acoustique. Ces corrélations développées dans des cas particuliers ne sont pas adaptées à notre étude des transferts thermiques dans un régénérateur magnétocalorique. En effet, le fluide utilisé est de l’eau liquide avec un nombre de Prandtl de l’ordre de 6. Cela se traduit par une forte influence du profil des vitesses sur les transferts thermiques. Comme nous le verrons dans le chapitre suivant, le développement d’un modèle en deux dimensions est nécessaire pour pouvoir évaluer plus précisément les transferts thermiques dans notre régénérateur.
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