Inversion et puissance d’excitation

Cette partie présente les résultats de l’inversion du déplacement de la surface sont présentés sous la forme d’images dont l’axe horizontal est la longueur du guide d’onde, et l’axe vertical est le temps d’acquisition (pour rappel, l’acquisition de la matrice de transfert du guide d’onde se fait pendant 5 secondes à une cadence de 100 Hz).

Figure 3.3 – Inversion de la hauteur d’eau ∆h pour l’expérience 5 et à partir des quatres observables extraites : angle d’émission, angle de réception, temps de propagation et amplitude. Le temps d’acquisition t=0 s est le temps du tir laser. Le déplacement ponctuel de la surface de l’eau est localisé en x=0.53 m. La perturbation est à t = 0 est négative car l’onde de choc repousse l’eau vers le bas dans un premier temps, puis le système commence à osciller et crée les vagues se propageant à partir du foyer de l’excitation. L’échelle de couleur est forcée (divisée par 2) pour améliorer le contraste. Les vraies valeurs de l’inversion sont présentées en fig.3.7.

La figure 3.3 montre les résultat de l’inversion de la hauteur d’eau à partir des quatres observables, pour l’expérience 5. Les temps de propagation ont été corrigés avec un délai τp ≈

0.05µs pour les NS en angles et en amplitude, et un délaiτp ≈0.1µs pour les NS en temps de propagation. Ces délais ont été choisis empiriquement de manière à obtenir le meilleur résultat. Le foyer de la perturbation de la surface du guide d’onde est bien visible au temps d’acquisi-tion t=0 s. Les vagues créees se propagent comme une onde circulaire à partir de ce foyer, mais sont vues par le système acoustique comme deux ondes planes s’écartant du centre. Ces deux ondes planes sont alors inversées comme deux groupes de déplacements ∆h, correspondant aux paquets d’onde, se propageant sur la longueur x du guide d’onde et dont l’amplitude décroît avec la distance. Les inversions des quatres observables différentes rendent un déplacement de la surface ∆h maximal du même ordre de grandeur ∆h ≈ 5.10−5 m, environ deux ordres de

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grandeurs en dessous de la longueur d’onde (λ= 1.5mm).

La figure 3.4 montre les résultat de l’inversion de la hauteur d’eau à partir des quatres observables, pour l’expérience 6. On a montré dans le chapitre I, figure 1.18, que les variations des observables étaient environ vingt fois plus élevées pour l’expérience 6 que pour l’expérience 5. Ce facteur 20 est retrouvé ici, avec des estimations de la variation de la surface ∆h environ vingt fois plus grandes que pour l’expérience 5.

Figure 3.4 – Inversion de la hauteur d’eau ∆h pour l’expérience 6 et à partir des quatres observables extraites : angle d’émission, angle de réception, temps de propagation et amplitude. Le temps d’acquisition t=0 s est le temps du tir laser. L’échelle de couleur est forcée (divisée par 2) pour améliorer le contraste. Les vraies valeurs de l’inversion sont présentées en fig.3.7.

De plus, cette expérience présente un phénomène parasite ent= 0, avec une attribution d’un ∆hà toute la longueur du guide d’onde. Ces parasites se retrouvent à chaque expérience un peu "forte", c’est-à-dire dont l’amplitude des variations des observables dépasse environ 5%. Les images de la caméra APX ont montré qu’une partie de l’onde de choc causée par le claquement de l’air traverse le guide d’onde jusqu’à la barre en acier qui en constitue le fond. Cette barre d’acier entre alors en vibration et transmet la perturbation à toute la longueur du guide d’onde presque instantanément (la célérité acoustique dans l’acier étant quatre fois plus grande que dans l’eau). Il est également possible qu’une perturbation trop forte cause en quelque sorte une "fuite" dans l’inversion, due aux rayons tapant la surface plusieurs fois et qui, dans le processus d’inversion, attribuent un déplacement de la surface en plusieurs endroits du guide d’onde alors qu’une seule des réflexions du rayon est réellement affectée. Ce phénomène existerait aussi pour les expériences plus faibles mais serait masqué par le bruit ambiant. D’autres études sont nécessaires pour déterminer l’origine de ces fausses détections.

Afin de tirer profit de la qualité des inversions en angle, une inversion jointe sur les deux angles en même temps peut être faite. Dans ce cas, l’équation 3.1 est posée pour les deux

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observables d’angle à la fois, soit

x= [∆θe, ∆θr]′ ,

K_{[θe, θr]}= [Kθe, Kθr]′ , (3.4) c’est à dire que x est un vecteur de taille [2×N_rayons, 1] et K_{[θe, θr]} est une matrice de taille [2×Nrayons, Ncellules]. La taille de la matrice à inverser est alors deux fois plus grande que dans le cas d’une inversion simple, mais les résultats du chapitre précédents montrent que l’inversion jointe des deux angles d’émission et réception améliore le rapport signal sur bruit et donne de très bons résultats sur toute la longueur du guide d’onde. La figure3.5 montre les résultats de l’inversion jointe pour les expériences 5 et 6.

Figure 3.5 – Inversion jointe des angles d’émission et de réception pour l’expérience 5 (a) et pour l’expérience 6 (b). L’échelle de couleur est forcée (divisée par 2) pour améliorer le contraste. Les vraies valeurs de l’inversion sont présentées en fig.3.7.

L’analyse du bruit des inversions permet de quantifier leur qualité en fonction des diffé-rentes observables. La figure 3.6présente l’histogramme du bruit pour une expérience, pour les quatres observables ainsi que l’inversion jointe en angles. Ainsi, l’inversion à partir des temps de propagation est la plus bruitée (par exemple, la variance du bruit pour cette inversion et pour l’expérience 5 est V_t,5 = 1.37e−11 mm2), ce qui s’explique à nouveau par les très faibles variations du temps de propagation. L’inversion à partir des variations d’amplitude présente moins de bruit (VA,5 = 1.16e−11 mm2), mais semble être moins précise spatialement dans l’attribution du déplacement de la surface ∆h. La propagation de la vague n’est notamment pas bien dessinée. Ce sont les inversions à partir des variations des angles d’émission et de réception qui sont le plus satisfaisantes, tant au niveau du rapport signal à bruit (Vθe,5 = 2.28e−12 mm2,

Vθr,5 = 2.05e−12 mm2) que de la précision spatiale. La combinaison des deux observables en une inversion jointe rend une variance du bruit deV_θe,r,5= 1.56e−12 mm2.

Comme montré précédemment par le test du damier sur la figure3.1, il n’y a aucune différence entre les quatre NS dans leur capacité à inverser une perturbation de la surface. Il faut en conclure que la meilleure qualité des inversions basées sur les angles d’émission et de réception n’est pas due à une propriété inhérente aux NS mais vient de la donnée mesurée.

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Figure 3.6 – (a) Histogramme du bruit sur l’expérience 5, pour les quatres observables ainsi que l’inversion jointe. Pour réaliser cet histogramme seuls les valeurs correspondant aux temps inférieurs à t_acq = 0 s (avant le tir laser) sont utilisés. Cela correspond à 10000 cellules. Une régression gaussienne (b) avec un intervalle de confiance de 95% est faite sur chaque histogramme, et sa varianceV est comparée.

Les différences quantitatives entre les différentes inversions sont inattendues. Un facteur 2 environ sépare les valeurs de l’inversion basée sur l’amplitude et les valeurs de l’inversion à partir des angles. De plus, cette différence varie entre les expériences (voir Fig.3.7).

Les raisons de cette forte variabilité ne sont pas clairs. Les noyaux de sensibilité étant les mêmes pour toutes les expériences, la variation est causée soit par les observables extraites, soit par le processus d’inversion. La qualité de l’extraction des observables à partir des données brutes est sujette à des erreurs, notamment en temps de propagation, avec des variations très faibles pouvant être de l’ordre de 0.1µs, c’est-à-dire de l’ordre d’un dixième de la période du signal acoustique. Néanmoins, ces erreurs sont aléatoires et ne peuvent pas causer un biais général sur une observable. La qualité même des données diffère selon les expériences, avec en particulier les défaillances techniques de la machine d’acquisition. Encore une fois, il n’est pas évident qu’un problème technique favorise une observable plutôt qu’une autre. Finalement, le processus d’inversion étant le même pour les quatre observables, un biais en faveur d’une observable en particulier est improbable. Une étude plus profonde est nécessaire pour éclaircir ce point.

Les différences quantitatives des résultats entre différentes expériences se retrouvent quant à elles dans les observables extraites. En effet, on a montré plus haut que le rapport quantitatif entre les expériences 5 et 6 se trouve aussi bien dans les résultats de l’inversion que dans les données. La figure3.8généralise cette comparaison et présente les maxima des déplacements de la surface attribués par l’inversion en fonction de la variation des observables pour toutes les expériences.

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Figure 3.7 – Maxima des inversions pour chaque observable, ainsi que l’inversion jointe des deux angles, pour toutes les expériences. Les expériences manquantes présentent des données de trop mauvaise qualité (défaillance de la machine d’acquisition) pour avoir un sens physique. Les différentes observables rendent un résultat d’inversion différent d’un facteur 2 maximum pour la même expérience. De plus, le rapport entre les valeurs de l’inversion d’une observable et une autre observable varie avec les expériences.

l’estimation du déplacement de la surface du guide d’onde. Cette linéarité est présupposée par l’utilisation des noyaux de sensibilité qui sont un modèle linéaire entre la perturbation d’une grandeur physique et la variation d’une observable. Ce qui est plus étonnant est la validité de cette linéarité pour des déplacements de la surface de l’eau sur tout l’intervalle d’excitation disponible, c’est à dire du centième de millimètre pour l’expérience 5, et allant jusqu’au mil-limètre pour l’expérience 20, soit l’ordre de grandeur de la longueur d’onde du signal utilisé (λ= 1.5 mm).

Finalement, l’estimation quantitative du déplacement local de la surface ∆hest comparé à la puissance de l’excitation de la surface à travers le tir laser. Les paramètres connus de l’expérience, l’énergie du tir laser E et la hauteur de claquage au dessus de la surface z_l, sont mis en une seule variable ξ représentant l’énergie transmise à la surface de l’eau par la relation

ξ = ^E

z2 l

. (3.5)

Le claquage de l’air provoqué par le laser crée une onde de choc qui se propage à travers l’air et vient heurter la surface de l’eau. Comme toute propagation en 3 dimensions, l’énergie du claquage est répartie sur une sphère dont le rayon augmente à la vitesse de l’onde. La densité surfacique d’énergie est une fonction du rayon de la sphère, i.e., la distance de propagation,

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Figure3.8 – Maxima des inversions pour chaque observable en fonction des maxima des varia-tions des observables telles que présentées dans le chapitre I, pour chaque expérience.

élevé au carré ; Ce modèle simpliste néglige, entre autres, les effets de dissipation, mais permet de comparer les expériences entre elles. On trace donc le maximum du résultat de l’inversion en fonction de l’énergie du tir laser divisée par la hauteur du claquage au dessus de l’eau au carré (fig. 3.9). Pour ce calcul, la hauteur estimée grâce à la caméra latérale SA-X2 est utilisée, avec les barres d’erreurs correspondantes.

La figure 3.9montre une relation linéaire entre le ∆h inversé et l’énergie surfacique libérée par le claquage de l’air causé par le tir laser. L’estimation de la hauteur de claquage laisse à désirer (surtout pour les claquages juste au dessus de la surface qui causent des barres d’erreurs démesurées - cf. expériences 8, 9, 20).

Les calculs à partir de l’énergie du tir et de la hauteur du claquage permettent de comparer les expériences entre elles, mais n’apportent pas d’information quantitative exploitable pour vérifier la hauteur d’eau inversée.

Il serait intéressant d’avoir une mesure indépendante de l’énergie libérée lors du claquage de l’air, voire directement une mesure de l’énergie transmise à la surface de l’eau. On peut imaginer un dispositif mesurant la pression acoustique à la surface du guide d’onde, permettant de quantifier précisément l’énergie de l’onde de choc lorsqu’elle interagit avec le dioptre.