Inversion d’interpolation

Une fois le pinceau recouvrant un échantillon de coordonnées locales au capteur

M = (x, y) identifié, nous cherchons à déterminer les coordonnées locales au pin-ceau(u, v) telles que l’interpolateur de position du pinceau recouvrant coïncide avec l’échantillon. Notons :

— P_x⁽³⁾(X , Y ), P(3)

y (X , Y ) et P(3)

z (X , Y ) les interpolateurs des trois coordonnées des points d’arrivée des rayons ultrasonores pour le pinceau recouvrant, — pro jec t ion(x, y, z) la projection du point (x, y, z) de l’espace dans le repère

local au traducteur,

— P_{t r ad} le plan du traducteur.

L’équation vérifiée par les coordonnées locales recherchées s’écrit alors :

pr o jec t ion(P(3)

x (u, v), P(3)

y (u, v), P(3)

z (u, v)) = (x, y)

Si l’on considère cette fois l’interpolateur P⁽²⁾des projections des points d’arrivée des rayons ultrasonores sur le traducteur, on a :

)

P_x⁽²⁾(u, v) = x

P_y⁽²⁾(u, v) = y

Puisqu’il n’existe, à notre connaissance, pas de méthode analytique permettant de déterminer la solution d’un système de deux équations à deux inconnues faisant intervenir des polynômes de degré 3, nous utilisons une méthode numérique.

Comme nous disposons d’un encadrement de la valeur du couple de coordonnées solution (0≤ x, y ≤ 1 en principe), la méthode de Newton-Raphson fournit une

convergence rapide vers la solution lorsque celle-ci existe.Broyden(1965) détaille le principe de cette méthode basée sur une extrapolation de premier ordre à l’aide du jacobien de la fonction dont on recherche les zéros.

Partant d’une valeur initiale donnée, l’algorithme répète l’itération suivante jus-qu’à convergence :  u_k+1 v_k+1  =^uk v_k  − J−1 P⁽²⁾(uk, v_k)^uk v_k 

avec J_P⁻¹₍₂₎le jacobien de P⁽²⁾. La convergence de cette méthode est quadratique. En plus de fournir une estimation de solution(u, v) pour le système d’équations d’inversion d’interpolation, la méthode de Newton-Raphson donne la valeur de l’er-reur commise :

P_x⁽²⁾(u, v) − x

P_y⁽²⁾(u, v) − y 

En pratique, nous initialisons la recherche de zéro au centre du domaine de re-cherche, à savoir le point de coordonnées(0.5, 0.5). À chaque itération, nous contrô-lons la variation de l’estimation de la solution, notée δn.

Nous utilisons les critères d’arrêt suivants :

— δn < ε avec ε une tolérance (que nous fixons à 10−4),

— Le nombre d’itérations n dépasse une valeur fixée. En pratique, pour notre cas d’utilisation et sur des flottants à simple précision (32 bits selon la norme

IEEE 754), une valeur raisonnable pour ce seuil est 6.

Enfin, une fois le critère d’arrêt atteint, on peut vérifier d’une part que l’erreur qu’il renvoie est inférieure au plafondε et d’autre part qu’il est, à une tolérance près,

dans le domaine(0, 1) × (0, 1) de validité de l’interpolation polynomiale.

5.3.4 Construction des réponses impulsionnelles

Interpolation des échantillons

Nous pouvons utiliser les coordonnées obtenues à l’aide de la méthode décrite dans le paragraphe précédent pour déterminer les valeurs des grandeurs de rayons telles que le temps de vol, l’amplitude, la direction initiale de rayon ultrasonore... Ces grandeurs permettent la construction de réponses impulsionnelles élémentaires pour chaque sous-pinceau de l’échantillonnage du traducteur.

Nous distinguons deux types d’échantillons sur le traducteur :

Les échantillons centraux au centre des sous-pinceaux, pour lesquels on déter-mine l’amplitude, la lenteur initiale, la polarisation et le temps de vol. Les échantillons de coin délimitant les sous-pinceaux, pour lesquels on

déter-mine le temps de vol et la direction initiale. Détail des interpolateurs par grandeur interpolée

Ainsi, pour chaque pinceau, nous devons construire un interpolateur pour les grandeurs mentionnées. Ces grandeurs ne présentent pas le même impact sur le ré-sultat du calcul. En effet, comme nous l’avons expliqué dans le chapitre4, la précision de l’estimation des temps de vol et positions d’arrivée des rayons est déterminante pour la forme de la réponse impulsionnelle construite. C’est la raison pour laquelle nous utilisons des interpolateurs de degré 3 pour ces grandeurs.

À l’inverse, l’impact des variations des coefficients d’amplitude des rayons ultra-sonores et de leurs polarisations sur les résultats de simulation de champ ultrasonore est moindre. En effet, à l’échelle d’un pinceau, les variations de ces grandeurs sont suffisamment faibles pour qu’une interpolation linéaire à l’échelle du pinceau suffise à les modéliser efficacement.

Le calcul des coefficients de divergence, tel que détaillé en section4.2.3, requiert les valeurs de lenteur et de direction initiale des rayons. L’incertitude sur la valeur de lenteur initiale et sur les directions initiales de rayons ultrasonores se propage linéairement sur la valeur du coefficient de divergence DF .

En milieux isotropes, la variation de lenteur initiale étant nulle, aucune interpo-lation n’est requise pour déterminer s₀ quel que soit l’échantillon du traducteur. En milieux anisotropes, pour un pinceau arrivé sur le traducteur, la variation de lenteur

initiale est suffisamment faible pour que l’utilisation d’un interpolateur linéaire pour cette grandeur suffise.

Enfin, le même argument est applicable aux directions initiales des rayons qui, dans le cas des pinceaux d’angle solide initial relativement faibles recouvrant le tra-ducteur, varient peu d’une extrémité à l’autre du pinceau et peuvent donc être inter-polées linéairement.

Finalement, on utilise pour chaque pinceau les interpolateurs suivants : Temps de vol Interpolateur d’Hermite de degré 3 à deux variables.

Projection de la position d’arrivée Interpolateur d’Hermite de degré 3 à deux variables.

Direction initiale de rayon Interpolateur bilinéaire. Lenteur initiale Interpolateur bilinéaire.

Coefficient de transmission en amplitude Interpolateur bilinéaire. Constitution des réponses impulsionnelles élémentaires

En résumé, le processus de constitution des réponses impulsionnelles élémen-taires par la méthode d’inversion d’interpolation se compose des étapes suivantes :

1. Pour chaque échantillon du traducteur, qu’il soit central ou de coin, détermi-nation du pinceau recouvrant.

2. Pour chaque échantillon du traducteur, qu’il soit central ou de coin, déter-mination des coordonnées locales dans le repère du pinceau recouvrant, par inversion d’interpolation.

3. Pour chaque échantillon de coin, calcul du temps de vol et de la direction initiale en utilisant les interpolateurs du pinceau recouvrant.

4. Pour chaque échantillon central, calcul de l’amplitude, de la polarisation, de la lenteur initiale et du temps de vol à l’aide des interpolateurs du pinceau recouvrant.

Puis, pour chaque sous-pinceau (composé d’un échantillon central et de 4 échan-tillons de coin), on détermine les valeurs d’amplitude et d’étalement temporel du créneau modélisant la réponse impulsionnelle élémentaire :

— Le temps minimal du créneau t_minest le minimum des temps de vol interpolés sur les échantillons du sous-pinceau, auquel on ajoute le retardτi appliqué à l’élément i du traducteur auquel appartient le sous-pinceau :

t_min= min({temps des échantillons}) + τi

— Le temps maximal du créneau t_{ma x} est le maximum des temps de vol interpo-lés sur les échantillons du sous-pinceau, auquel on ajoute le retard appliqué à l’élément du traducteur auquel appartient le sous-pinceau :

t_{ma x} = max({temps des échantillons}) + τi — Le coefficient de divergence DF est calculé comme suit :

DF= ^s0

2π^&dS dΩ

avec s₀la lenteur initiale interpolée de l’échantillon central, dS l’aire du sous-pinceau sur la surface du traducteur et dΩ l’angle solide, calculé comme la

surface décrite par les directions initiales interpolées des quatre échantillons de coin du sous-pinceau.

— Le coefficient de transmission T_Aest la valeur interpolée pour l’échantillon central du sous-pinceau.

L’amplitude du créneau est multipliée par A_0,i, la valeur d’amplitude appliquée sur l’élément i du traducteur auquel appartient le sous-pinceau. On a donc comme valeur finale d’amplitude pour le créneau :

A₀× DF × TA× dS

t_{ma x}− tmin