GENERALISATION DU MODELE ET PHENOMENES CONNEXES
Chapitre 1. Résolution numérique du procédé de découpe laser
2.6. Inversion du problème : méthode des simplexes
Dans sa configuration initiale, le programme de simulation calcule le profil complet de la saignée de découpe et déduit la profondeur maximale atteinte pour un jeu de paramètres opératoires d’entrée fixés. Dans une situation de découpe laser réelle, l’utilisateur potentiel d’un logiciel prédictif pose le problème suivant : « Connaissant l’épaisseur du matériau à découper, je veux accéder aux jeux de paramètres opératoires qui rendent la découpe possible ». La nature du problème posé change, a priori, radicalement la façon de l’appréhender.
Concrètement, il s’agit, pour nous, de procéder à une inversion du problème, en considérant le paramètre de sortie, l’épaisseur découpée, comme étant désormais un paramètre d’entrée de la simulation. Ensuite, il faut généraliser cette inversion pour accéder à l’ensemble des jeux de paramètres qui permettent, par exemple, de découper 3mm d’acier inoxydable.
Nous avons décidé d’employer la méthode des simplexes [Walters 1993]. Son champ d’application est originellement, l’optimisation d’expériences. Nous avons conservé la philosophie de cette méthode, consistant à converger vers une solution définie au préalable par l’utilisateur, et l’avons adapter à notre programme de simulation. En quelques mots, la méthode des simplexes fonctionne de la façon suivante. L’objectif est fixé au départ (par exemple, découper 3mm), l’espace paramétrique est défini relativement aux variables influant sur la réponse du système (vitesse de découpe, puissance laser, position du plan de focalisation). Nous générons aléatoirement les valeurs d’entrée des vitesses de découpe, puissances laser et positions du plan de focalisation pour un nombre de vertex (nom d’un point dans l’espace paramétrique initial) fixé. Les réponses (épaisseurs découpées) sont évaluées et classées par ordre décroissant de « pertinence », relativement à l’épaisseur désirée (3mm). A partir de simples opérations géométriques sur les vertex initiaux, nous obtenons les valeurs de vitesse de découpe, puissance laser et position du plan de focalisation pour un nouveau vertex, que nous évaluons et comparons aux anciens. Le moins bon vertex de la série (donnant la réponse la plus éloignée de l’objectif) est écarté et un nouveau est construit géométriquement. C’est ainsi que, progressivement, la réponse des nouveaux vertex tend vers l’objectif initial (épaisseur découpée=3mm). Lorsque la convergence est atteinte, nous
extrayons les paramètres, vitesse de découpe, puissance laser et position du plan de focalisation qui permettent de découper 3mm.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 20 40 60 80 100 120 vd (mm/s) P0 (W) 6mm 4mm 2mm Matériau : inox 304L Epaisseur : variable Laser CO2 Mode : TEM 00 M2=1,75 P0: variable wL=10mm
ZnSe plan convexe f = 127mm
ppf = -1,5mm
p0 = 13bars
vd : variable
Figure II-22 : Couple vitesse-puissance associé à une épaisseur découpée donnée, résultant de l’application de la méthode des simplexes à la simulation.
L’intérêt de cette méthode est la vitesse de convergence. En effet, étant donné que l’ensemble des variables est modifiée simultanément, on ignore un grand nombre de possibilités qui ne fourniraient que des réponses intermédiaires. Il faut également noter que la solution de cette méthode dépend fortement des vertex initiaux. Etant donné que nous utilisons un mode de génération aléatoire des variables qui les composent, chaque solution sera différente de la précédente. D’où la possibilité de générer des triplets (vd, P0, ppf) permettant de découper une épaisseur déterminée. Par ailleurs, en imposant un critère de satisfaction de l’objectif (par exemple l’épaisseur découpée simulée doit être égale à (3±0.1)mm), il est possible de définir des zones de stabilité de la découpe. La grande difficulté est de relier cette zone de stabilité simulée avec la réalité expérimentale.
Les Figure II-22 et Figure II-23 fournissent la gamme des doublets (vitesse-puissance), qui permettent la découpe d’échantillon de 2 et 4mm d’acier inox. Nous avons placé le plan de focalisation du laser au milieu de l’échantillon.
Il est possible d’obtenir des représentations 3D, en ajoutant comme paramètre variable, la position du plan de focalisation. Simplement, les graphiques obtenus sont assez confus.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 20 40 60 80 100 vd (mm/s) P0 (W ) F = 12.7 F = 9.5 F = 6.35 Matériau : inox 304L Epaisseur = 4mm Laser CO2 Mode : TEM 00 M2=1,75 P0: variable wL=10mm
ZnSe plan convexe f : variable
ppf = -1,5mm
p0 = 13bars
vd : variable
Figure II-23 : Evolution du doublet vitesse-puissance en fonction de l’ouverture numérique. L’intérêt de l’utilisation de la méthode des simplexes peut être de générer des abaques (vitesse-puissance), qui seront ensuite comparées à des données expérimentales. Il est également possible, après avoir défini un ou des critères relatifs à la qualité de la découpe de tracer des zones théoriques dans lesquelles la découpe serait considérée comme « qualitativement acceptable ».
2.7. En résumé
De nombreux résultats de simulation ont été présenté dans ce chapitre. Tout d’abord, nous avons étudié l’influence d’une variation dans les paramètres lasers et optiques sur l’épaisseur maximum découpée. Nous avons montré qu’un choix judicieux dans les paramètres comme la distance focale, la dimension du faisceau laser en entrée sur la lentille ou plus globalement l’ouverture numérique du système optique permettait d’optimiser une découpe, connaissant l’épaisseur de l’échantillon. Typiquement, pour les faibles épaisseurs, on a intérêt à maximiser les densités de puissance sur une zone spatiale réduite, en diminuant la distance focale ou en augmentant la dimension du faisceau sur la lentille. Et inversement, la découpe de matériaux plus épais nécessite une distance de Rayleigh plus importante (présentant donc des densités de puissance crêtes plus faibles, mais avec des gradients d’intensité moins abruptes). La vitesse de découpe est grandement réduite, mais l’épaisseur découpée bien plus grande.
Nous nous sommes ensuite intéressés à la variation des paramètres opératoires d’entrée sur la vitesse maximale de découpe atteinte pour une épaisseur à couper fixée. Comme précédemment, il a été montré qu’un paramètre comme la position du plan de focalisation par rapport à la surface de l’échantillon, jouait un rôle très important dans le procédé global de découpe. La symétrisation du contour d’iso-intensité du seuil de perçage par rapport à l’échantillon fournit les meilleurs résultats. En d’autres termes, en théorie, il s’agit de positionner le plan de focalisation du laser au milieu de l’échantillon d’obtenir une efficacité maximum en terme de découpe.
L’influence des paramètres physiques du matériau sur l’épaisseur découpée a montré que dans les conditions de simulation, aucun de ces paramètres ne présente un comportement sur-critique. Nous avons distingué les paramètres contra-évolutifs des paramètres co-évolutifs et il est ressorti, que la masse volumique à l’état solide d’un côté et l’absorptivité de l’autre avaient les rôles les plus importants.
Nous avons clos cette étude par la prise en compte de l’inversion du problème global par le biais de l’application de la méthode des simplexes à notre modèle numérique. Il nous est ainsi possible de générer des couples (vitesse de découpe-puissance laser) permettant de couper une épaisseur définie au préalable. Ce modèle peut être, sans problème, généralisé à n dimension, l’important dans cette démarche étant de repérer les paramètres de découpe les plus influents.