Invariants sous l’action d’un groupe fini

La théorie des invariants a joué un rôle central en algèbre et en géométrie au XIX^ème siècle, puis elle a été oubliée pour retrouver une place importante dans le paysage mathématique des années 60-70 grâce au calcul formel (dans l’article [KR84] de Kung et Rota, elle est même comparée au phénix qui renaît de ses cendres !). Dans ce paragraphe de rappels sur la théorie des invariants, nous utilisons essentiellement le livre de Sturmfels [Stu93] (on pourra aussi consulter [Rob02] et [Fer05]).

Considérons un sous-groupe G d’un groupe linéaire GL_nC qui agit (à gauche) sur l’espace vec-toriel Cⁿ. On en déduit une action (à droite) sur l’espace des fonctions polynomiales sur Cⁿ, i. e. sur l’algèbre C[z] = C[z₁, . . . , z_n]. Cette action est définie pour P ∈ S et g ∈ G par

g· P (z) := P   n X j=1 g_1jz_j, . . . , n X j=1 g_njz_j   .

Ainsi, on a h· (g · P ) = (gh) · P , et dans le cas particulier où σ est un élément de Sn, on a σ· P (z) = P (zσ−1(1), . . . , z_σ−1(n)).

On note C[z]^G l’algèbre des polynômes invariants sous l’action du groupe G.

Le prototype des algèbres d’invariants est bien sûr l’algèbre des invariants sous l’action du groupe symétrique, notée C[z]Sn. En effet, C[z]Sn = C[σ₁, . . . , σ_n] est une algèbre de polynômes et tout polynôme symétrique s’écrit de façon unique comme polynôme en les polynômes symétriques élémentaires σ_j. La théorie des invariants vise à généraliser ce type de résultat à d’autres groupes. Un exemple élémentaire d’invariants est le suivant : considérons le sous-groupe G := {I2,−I2}

1.4. Polynômes multivariés 31

de GL2C. Alors on a

C[z₁, z₂]^G = Chz2

1, z₁z₂, z₂²i ≃ C[X, Y, Z] / hXZ − Y2i.

Un autre intérêt de la théorie des invariants réside dans la considération suivante : de nombreux problèmes sont invariants sous certaines transformations géométriques, et, en particulier, les pro-priétés géométriques sont invariantes sous l’action du groupe de transformations sous-jacent. C’est le cas des propriétés de géométrie euclidienne, affine, projective. . ., qui sont respective-ment invariantes sous l’action du groupe orthogonal, affine, projectif. . . L’identification systéma-tique entre géométrie et théorie des invariants provient du programme d’Erlangen de Klein (voir [Kle72]) qui regarde toute géométrie comme l’action d’un groupe.

L’espace Cnse décompose en G−orbites Gv pour v ∈ Cn, et C[z]G est l’ensemble des fonctions f qui sont constantes sur chaque G−orbite. En effet

(∀ v ∈ Cⁿ, ∀ g ∈ G, f(gv) = f(v)) ⇔ (∀ g ∈ G, ∀ v ∈ Cⁿ, (f◦g)(v) = f(v)) ⇔ (∀ g ∈ G, f◦g = f). Ainsi, C[x]Gpeut être vu comme l’algèbre des fonctions polynomiales sur la variété quotient Cn/ G des G−orbites. Si G est fini, C[z]Gest l’algèbre de coordonnées de la variété Cn/ G. En revanche, si G n’est pas fini, Cⁿ/ G n’est pas toujours une variété algébrique dont C[z]^G est l’algèbre de coordonnées : il peut y avoir deux G−orbites telles que l’une est incluse dans la clôture de l’autre. Dans la suite, nous ne considérons que des sous-groupes finis de GL_nC.

Proposition 1.4.6

Soit G un sous-groupe fini de GL_nC. Alors G a n invariants algébriquement indépendants, i. e. le degré de transcendance de C[z]^G sur C est n.

Démonstration : Soit le polynôme

Pi(t) := Y

g∈G

(zi◦ g − t) ∈ (C[z])[t].

Alors P_i(t) est invariant sous l’action de G sur C[z], donc ses coefficients sont dans C[z]^G, de sorte que P_i(t) est dans (C[z]G)[t]. De plus, comme Id∈ G, zi est racine de P_i(t). On en déduit que C[z]^G et C[z] ont le même degré de transcendance sur C. 

Un outil fondamental pour l’étude des invariants sous l’action d’un groupe fini est l’opérateur de Reynolds. C’est l’application linéaire R_n de C[z] vers C[z] définie par

R_n(P ) := ¹ |G|

X

g∈G

g· P.

Cette application est une surjection de C[z] sur C[z]G qui vérifie les propriétés élémentaires de la proposition suivante :

Proposition 1.4.7

• Rn(P ) = P si et seulement si P est G−invariant. • Rn◦ Rn= R_n.

• Si P ∈ C[z]G et Q ∈ C[z], alors Rn(P Q) = P Rn(Q), i. e. Rn est un morphisme de C[z]G−modules.

Le théorème suivant montre que l’algèbre des invariants sous l’action d’un groupe fini est de type fini. Sa démonstration est “constructive”.

Théorème 1.4.8 (Noether, 1916)

L’algèbre C[z]^G admet un système générateur formé d’au plus C_n+|G|ⁿ invariants dont le degré est inférieur ou égal à |G|.

Démonstration :

Pour e∈ Nn, on pose Je(z) = R_n(ze), et on note e :=|e| = e1+· · ·+en. On introduit n nouvelles indéterminées u₁, . . . , u_n et on considère le polynôme

Se(z, u) := Rn((u· z)^e) = Rn((u1z1+· · · + unzn)^e) ,

où l’opérateur de Reynolds est étendu en une application C[u]−linéaire de C[z, u] dans lui-même. Le polynôme S_e(z, u) peut être vu comme un polynôme en u dont les coefficients sont dans C[z]. Le coefficient de ue est alors un multiple non nul de Je(z).

Par ailleurs,|G| Se=P

g∈G(u₁(z₁◦ g) + · · · + un(z_n◦ g))^e est une somme de la forme α^e₁+ . . . α^e_m, où m := |G|. Or tout polynôme symétrique de C[X1, . . . , X_m] peut s’écrire comme polynôme en les éléments N_j := X₁^j +· · · + Xm^j pour j ∈ [[1, m]]. En particulier, Se s’écrit comme un polynôme en les éléments S₁, . . . , S_m. Les coefficients de S_e∈ (C[z])[u] sont alors des polynômes en les coefficients des polynômes S₁, . . . , S_m ∈ (C[z])[u]. Ainsi, tous les invariants Jf sont des polynômes en les Je pour |e| ≤ m, ce qui montre que {Je / |e| ≤ m} est un système générateur de C[z]^G. Son cardinal est|{e ∈ Nⁿ / |e| ≤ m}| = Cn+mⁿ . 

Si A = L_∞

d=0A_d est une C−algèbre associative commutative graduée9, on appelle série de Poincaré (ou encore série de Hilbert) de A la série

P_A(t) :=

∞

X

d=0

dim(A_d) t^d.

En particulier, si A est une algèbre de polynômes invariants sous l’action d’un groupe, la série de Poincaré de C[z]^G est PG(t) = ∞ X d=0 dim(C[z]^G_d)t^d, où C[z]^G_d est l’espace des polynômes invariants de degré d.

Le Théorème de Molien donne un moyen de calculer la série de Poincaré d’une algèbre d’inva-riants à partir des polynômes caractéristiques des éléments du groupe.

1.4. Polynômes multivariés 33

Théorème 1.4.9 (Molien, 1897)

La série de Poincaré de C[z]^G est P_G(t) = ¹ |G| X g∈G 1 det(I_n− tg)^. Démonstration :

• Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur lequel G agit. L’endomorphisme p := _|G|^{1 P}_g∈Gg est alors un projecteur, i. e. p(p− 1) = 0, d’où V = Ker p ⊕ Im p, avec Im p = VG. Donc

dim(V^G) = dim(Im p) = rg(p) = tr(p) = ¹ |G|

X

g∈G

tr(g).

• Pour g ∈ G et d ∈ N, soit g(d) l’automorphisme de C[z]_d induit par g. Appliquons la relation précédente à V = C[z]_d : dim C[z]^G_d
= ¹ |G| X g∈G tr(g^(d)). Il reste à calculer tr g^(d)

. Notons λ_g,1, . . . , λ_g,nles valeurs propres de g⁽¹⁾, et L_g,1, . . . , L_g,n∈ C[z]1

les vecteurs propres associés. Alors les vecteurs propres de g(d) sont les polynômes L^d1

g,1. . . Ldn

g,n

avec d1+· · · + dn= d, et les valeurs propres de g^(d) sont les éléments λ^d1

g,1. . . λ^dn g,n. Ainsi, on a tr g^(d) = X d1+···+dn=d λ^d1 g,1. . . λ^dn g,n. Alors P_G(t) = ∞ X d=0 dim C[z]^G_d
t^d = ∞ X d=0 1 |G|  ^X g∈G tr g^(d)^  td = ∞ X d=0 1 |G|  ^X g∈G X |m|=d λ^m1 g,1. . . λ^mn g,n   td = ¹ |G| X g∈G  ^X∞ d=0 X |m|=d (tλ_g,1)^m1. . . (tλ_g,n)^mn   = ¹ |G| X g∈G  ^X∞ d1=0 (tλ_g,1)^m1. . . ∞ X d1=0 (tλ_g,n)^mn   = ¹ |G| X g∈G 1 (1− tλg,1) . . . (1− tλg,n) ⁼ 1 |G| X g∈G 1 det(I_n− tg)^{. }

Le lemme suivant donne une expression de la série de Poincaré dans le cas simple d’une algèbre de polynômes.

Lemme 1.4.10

Si f₁, . . . , f_m sont des éléments de C[z] qui sont algébriquement indépendants et homogènes de degrés d₁, . . . , d_m, alors la série de Poincaré de C[f₁, . . . , f_m] est P_G(t) = ¹

Démonstration :

Posons R := C[f₁, . . . , f_m], et notons R_d l’espace des éléments de R homogènes de degré d. On a alors P_G(t) = ¹ (1− td1) . . . (1− tdm) ⁼  ^X∞ j1=0 t^j1d1   . . .  ^X∞ jm=0 t^jmdm   = ∞ X d=0 |{(j1, . . . , jm)∈ N^m / j1d1+· · · + jmdm = d}| t^d= ∞ X d=0 dim(R_d)t^d.  Soit A = L_∞

d=0A_d une C−algèbre graduée de dimension de Krull n (i. e. le nombre maximal d’éléments de A algébriquement indépendants sur C est n).

Soit H(A₊) l’ensemble des éléments de A homogènes de degré strictement positif. Une suite [θ₁, . . . , θ_n] d’éléments de H(A₊) est un système homogène de paramètres (abrégé en s. h. p.) si A est un module de type fini sur l’anneau C[θ1, . . . , θn]. En particulier, les θ1, . . . , θn sont algébriquement indépendants.

D’après le lemme de normalisation de Noether¹⁰, un système homogène de paramètres existe toujours.

Introduisons maintenant un outil technique qui nous servira implicitement dans les calculs de cohomologie des surfaces de Klein : une suite [θ₁, . . . , θ_n] de n éléments de A est une suite régu-lière si, pour tout j ∈ [[1, n]], θj n’est pas un diviseur de zéro de A /hθ1, . . . , θ_j−1i.

Si les θ₁, . . . , θ_n sont algébriquement indépendants (et c’est le cas en particulier si [θ₁, . . . , θ_n] est un s. h. p.), alors [θ₁, . . . , θ_n] est une suite régulière si et seulement si A est un module libre sur l’algèbre C[θ₁, . . . , θ_n]. On renvoie à [Stu93] pour la démonstration du théorème suivant.

Théorème 1.4.11

Soient A une C−algèbre graduée, et [θ1, . . . , θ_n] un système homogène de paramètres. Il y a équivalence entre

• A est un module libre de type fini sur C[θ1, . . . , θ_n], i. e. A =

m

M

i=1

η_iC[θ1, . . . , θ_n], (1.13)

• Pour tout système homogène de paramètres [φ1, . . . , φ_n], A est un module libre de type fini sur C[φ₁, . . . , φ_n].

Ce théorème signifie encore que dans une C−algèbre graduée, s’il existe un s. h. p. qui est une suite régulière, alors tout s. h. p. est une suite régulière. Nous retrouverons cette situation dans l’étude des surfaces de Klein : soit f ∈ C[z1, z₂, z₃] un polynôme quasi-homogène à singularité isolée en l’origine. Alors [∂₁f, ∂₂f, ∂₃f ] est un s. h. p. De plus, [z₁, z₂, z₃] est un s. h. p. qui est évidemment une suite régulière, donc [∂1f, ∂2f, ∂3f ] est une suite régulière.

10. Si A est une C−algèbre de type fini, alors il existe des éléments x1, . . . , xn∈ A, algébriquement indépendants sur C, tels que A soit entier sur C[x1, . . . , xn].

1.4. Polynômes multivariés 35

Dans le cas où les conditions du théorème précédent sont vérifiées, on dit que l’algèbre A est une algèbre de Cohen-Macaulay, et la décomposition (1.13) est alors appelée décomposition d’Hironaka (cette décomposition n’est pas unique). Les éléments η₁, . . . , η_m vérifient (1.13) si et seulement s’ils forment une base de l’algèbre quotient R/hθ1, . . . , θni.

Il s’ensuit le corollaire : Corollaire 1.4.12

La série de Poincaré de R est

PR(t) = m X i=1 t^deg(ηi) n Y j=1  1− t^deg(θj)^. Théorème 1.4.13 (Hochster-Eagen)

Si G est un sous-groupe fini de GLnC, alors C[z]G est une algèbre de Cohen-Macaulay. Démonstration :

Considérons P_i(x) :=Q

g∈G(z_i◦ g − x) ∈ (C[z])[x]. Alors Pi(x) est invariant sous l’action de G sur z, donc ses coefficients sont dans C[z]^G, de sorte que P_i(x) appartient à (C[z]^G)[x]. De plus, comme Id∈ G, zi est racine de P_i(x). Cela montre que C[z] est un module de type fini sur C[z]^G. Soit U = Ker R_n, c’est aussi un module de type fini sur C[z]G. On a donc une somme directe de C[z]^G−modules : C[z] = C[z]G⊕ U. D’après le lemme de normalisation de Noether, il existe un s. h. p. [θ₁, . . . , θ_n] de C[z]^G. Comme C[z] est de type fini sur C[z]^G, lui-même de type fini sur C[θ₁, . . . , θ_n], C[z] est de type fini sur C[θ₁, . . . , θ_n], i. e. C[θ₁, . . . , θ_n] est un s. h. p. de C[z]. Or [z₁, . . . , z_n] est un s. h. p. de C[z] tel que C[z] est libre sur C[z₁, . . . , z_n], donc d’après le Théorème 1.4.11, C[z] est un module libre de type fini sur C[θ₁, . . . , θ_n].

De la décomposition C[z] = C[z]G⊕ U, on déduit la décomposition en somme directe d’espaces vectoriels de dimension finie :

C[z] / hθ1, . . . , θni → C[z]G/hθ1, . . . , θni ⊕ U / (θ1U +· · · + θnU ) f +P_n

j=1h_jθ_j 7→ Rn(f ) +P_n

j=1R_n(h_j)θ_j + (f− Rn(f )) +P_n

j=1(h_j− Rn(h_j))θ_j. On prend une base (η₁, . . . , η_s) de C[z] /hθ1, . . . , θ_ni formée d’éléments homogènes et adaptée à la précédente décomposition, i. e. (η₁, . . . , η_x) est une base de C[z]G/hθ1, . . . , θ_ni et (ηx+1, . . . , η_s) est une base de U / (θ₁U +· · · + θnU ). En relevant les η₁, . . . , η_x en des éléments η₁, . . . , η_x de C[z]^G, et les η_x+1, . . . , η_s en des éléments η_x+1, . . . , η_sde U , on a, d’après le Théorème 1.4.11, C[z] =^Ls

i=1η_iC[θ1, . . . , θ_n]. D’où C[z]G=Lx

i=1η_iC[θ1, . . . , θ_n]. Ainsi, C[z]Gest une algèbre de Cohen-Macaulay. 

Ainsi, tout polynôme invariant s’écrit de façon unique sous la forme

t

X

i=1

η_ip_i(θ₁, . . . , θ_n),

où les p_i sont des polynômes, de sorte que {θ1, . . . , θ_n, η₁, . . . , η_n} est un système fondamental d’invariants. Les θ_i (resp. η_j) sont appelés invariants primaires (resp. secondaires) et on note d_i (resp. e_j) leur degré.

Proposition 1.4.14

• Le nombre d’invariants secondaires est m = d1...dn

|G| . • On a PG(t)Qn i=1 1− tdi
=Pm i=1t^ei. Démonstration :

On écrit l’égalité entre les formules du Corollaire 1.4.12 et du Théorème 1.4.9 :

m X i=1 t^ei. Yn j=1 (1− t^dj) = ¹ |G| X g∈G 1 det(In− tg)^.

Le second point de la proposition est démontré. En multipliant par (1− t)n, on a la relation

m X i=1 t^ei . Yn j=1 (1 + t + t²+· · · + t^dj−1) = ¹ |G| X g∈G (1− t)n det(I_n− tg)^. Quand t tend vers 1, alors m /Q_n

j=1d_j = _|G|¹ et la proposition est démontrée. 

Un élément g∈ GLnC différent de l’identité est appelé pseudo-réflexion si l’ensemble de ses points fixes est un hyperplan. Un tel élément est alors diagonalisable et toutes ses valeurs propres valent 1 sauf une qui est une racine de l’unité.

Le théorème suivant montre que les algèbres d’invariants les plus “simples” sont obtenues quand le groupe fini G est engendré par des pseudo-réflexions.

Théorème 1.4.15 (Shephard-Todd-Chevalley, 1954)

Soit G un sous-groupe fini de GL_nC. Alors C[z]G est engendré par n invariants homogènes al-gébriquement indépendants si et seulement si G est engendré par des pseudo-réflexions.

Corollaire 1.4.16

Soit G un sous-groupe fini de GL_nC, engendré par n invariants homogènes algébriquement in-dépendants θ₁, . . . , θ_n. Soient d_i := deg(θ_i) et r le nombre de réflexions contenues dans G. Alors on a |G| = d1. . . dn et r = d₁+· · · + dn− n.

CHAPITRE 2

Homologie et cohomologie de Hochschild

des surfaces de Klein

D

de déterminer l’homologie et la cohomologie de Hochschild dans deux cas de variétés algébriques : le cas des courbes singulières du plan, où, par une méthode différente, nous retrouvons puis préci-sons un résultat prouvé par Fronsdal ; et le cas des surfaces de Klein. L’utilisation d’un complexe suggéré par Kontsevich et l’aide des bases de Gröbner permettent de résoudre le problème. La citation suivante est un clin d’oeil aux célèbres “ancêtres” des surfaces de Klein !

L

est composée des éléments les plus petits. Elle a pour élément le triangle dont l’hypoténuse est deux fois plus longue que le plus petit côté. Si l’on accouple une paire de ces triangles par la diagonale et qu’on fasse trois fois cette opération, de manière que les diagonales et les petits côtés coïncident en un même point comme centre, ces triangles, qui sont au nombre de six, donnent naissance à un seul triangle, qui est équilatéral. Quatre de ces triangles équila-téraux réunis selon trois angles plans forment un seul angle solide, qui vient immédiatement après le plus obtus des angles plans. Si l’on compose quatre angles solides, on a la première

forme de solide, qui a la propriété de diviser la sphère dans laquelle il est inscrit en parties égales et semblables. La seconde espèce est composée des mêmes triangles. Quand ils ont été combinés pour former huit triangles équilatéraux, ils composent un angle solide unique, fait de quatre angles plans. Quand on a construit six de ces angles solides, le deuxième corps se trouve achevé. Le troisième est formé de la combinaison de deux fois soixante triangles élé-mentaires, c’est-à-dire de douze angles solides, dont chacun est enclos par cinq triangles plans équilatéraux, et il y a vingt faces qui sont des triangles équilatéraux. Après avoir engendré ces solides, l’un des triangles élémentaires a été déchargé de sa fonction, et c’est le triangle isocèle qui a engendré la nature du quatrième corps. Groupés par quatre, avec leurs angles droits se rencontrant au centre, ces isocèles ont formé un quadrangle unique équilatéral. Six de ces quadrangles, en s’accolant, ont donné naissance à huit angles solides, composés chacun de trois angles plans droits, et la figure obtenue par cet assemblage est le cube, qui a pour faces six tétragones de côtés égaux. Il restait encore une cinquième combinaison. Dieu s’en est servi pour achever le dessin de l’univers. [ . . .] Donnons à la terre la forme cubique. [ . . .] Le solide qui a pris la forme de la pyramide est l’élément et le germe du feu, celui que nous avons construit en second lieu est l’élément de l’air, et le troisième, celui de l’eau.

Platon, Timée.

E6 E7 E8