Introduction et principes

Dans le chapitre précédent une partie des causes de l’instabilité d’un ré-seau électrique DC ont été mises en évidence. Ses propriétés de stabilité dépendent de sa structure, des valeurs de ses paramètres (par exemple celles liées aux filtres d’entrée), du type de charge, de son point de fonctionnement, etc. Afin d’éviter que le système ne rentre dans l’instabilité lors de son uti-lisation, plusieurs approches peuvent être envisagées comme cela a déjà été évoqué dans le premier chapitre. La première, qu’on peut qualifier de « pas-sive » consiste à dimensionner le système de telle sorte qu’il soit stable dans les conditions d’utilisations prévues pour son fonctionnement (par exemple le profil et la puissances de charge maximum). Cette approche se fonde sur une modélisation mathématique du système qui permet de confronter le modèle à des critères de stabilité et d’optimisation des éléments du réseau.

Néanmoins, afin de prendre en compte les incertitudes sur les valeurs des paramètres du système et leurs variations potentielles dans le temps dues aux modifications de l’environnement (température, humidité...) ou au vieillissement, la prise en compte des considérations de marge de sécurité est indispensable. On va de cette manière augmenter le degré de stabilité du système via l’ajout de composants passifs adaptés (par exemple les résistances dans les filtres d’entrée)[18][8] [54] ou l’augmentation de la taille de ceux-ci (par exemple les capacités des filtres d’entrée). Cette approche passive de stabilisation va donc entrainer en général un surdimensionnent des éléments du système et va aussi engendrer un surcout au niveau de la conception du système. Il sera en conséquence plus volumineux, plus lourd et donc, dans le

cas des réseaux embarqués, d’un coût plus élevé.

Afin de remédier aux problèmes d’instabilité des réseaux électriques sans avoir recours à ce type de solution, dans ce chapitre des méthodes de stabilisa-tion « actives » , c’est-à-dire fondées sur la commande du système sont propo-sées. Cette approche, consiste à utiliser des dispositifs de stockage connectés au réseau via des convertisseurs DC-DC. Ce dispositif est le seul degré de liberté accessible pour stabiliser le système, son rôle est de fournir ou absor-ber de l’énergie en régime transitoire par l’intermédiaire d’un convertisseur DC-DC réversible, afin de compenser les pics de puissance générés par les variations brusques de la charge, mais aussi de stocker l’énergie pendant la phase de récupération.

Dans ce chapitre une loi de commande non linéaire synthétisée par une approche backstepping est proposée. Cette approche va permettre d’amor-tir les filtres d’entrée présents dans le réseau étudié et ainsi permettre la stabilisation du réseau.

3.1.1 Présentation de l’approche backstepping

Dans la théorie de la commande, l’approche backstepping est une tech-nique développée dans [43]. Bien que l’idée de l’intégrateur backstepping peut être implicite dans certains travaux antérieurs, son utilisation comme outil de conception a été initiée par Tsinias (1989), [17],[67], [45], et [65]. Toutefois, le développement de cette méthode a donné de nouvelles perspectives à la commande des systèmes non linéaires, qui malgré les importants progrès réa-lisés, manquait d’approches générales. L’approche backstepping se fonde sur la deuxième méthode de Lyapunov, dont elle combine le choix de la fonction de Lyapunov avec celui de la loi de commande. Ceci permet, en plus de la tâche pour laquelle le régulateur est conçu (poursuite et/ou régulation), de garantir, en tout temps, la stabilité globale du système compensé [10].

Dans la synthèse par backstepping, la dérivabilité est la seule contrainte imposée à la caractéristique non linéaire du système. Ce dernier doit, cepen-dant, se présenter sous forme triangulaire inférieur (cascade). La synthèse se fait étape par étape où une entrée de commande fictive est générée pour assu-rer la convergence de chaque sous système d’ordre 1 caractérisant le suivi des trajectoires vers leurs états d’équilibre. Cette approche assure une stabilité asymptotique globale du système en boucle fermée.

Le choix de l’utilisation d’une telle approche pour stabiliser le réseau est motivé par deux intérêts :

– son application aux systèmes non linéaires ce qui nous permet de conser-ver les caractéristiques dynamiques du système ;

– sa méthode de synthèse récursive. Elle se fait étape par étape et permet d’imposer la dynamique en boucle fermée pour chaque sous-système,ce qui assure la stabilité asymptotique globale.

Exemple

Soit le système Σ à stabiliser autour de l’origine [44] ( ˙η = −η + η2ξ Σ1

˙ξ = u Σ2

(3.1)

– Étape : 1

Le sous-système Σ1 est considéré en premier lieu. Étant donné qu’on stabilise autour de l’origine ((η0, ξ0)T = (0, 0)T), on prend comme fonction de Lyapunov

V1(η) = ¹ 2^η

2 (3.2)

Sa dérivée au long de la trajectoire de Σ1 est donnée par ˙

V1 = η(−η + η2ξ) (3.3)

Avec le choix de ξ comme grandeur de commande de (Σ1), on doit rendre ˙

V1(η) négative et assurer ainsi la stabilité de l’origine du sous-système décrit par (Σ1). Prenons comme valeur de ξ, la fonction α telle que

(ξ)d, α =−k1η (3.4)

oùk1 > 0 est un paramètre de réglage. Cela conduit à −η + η2ξ =−η − k1η3

(3.5) et la dérivée de la fonction de Lyapunov V1(η) s’écrit :

˙

V1 =−η2− k1η4 (3.6)

Ce qui implique que l’origine du sous système (Σ1) est globalement asymp-totiquement stable.

– Étape : 2

Cette fois le système global (Σ) est considéré et l’on définit la nouvelle va-riable

qui représente l’écart entre la variableξ et sa variable désirée α. V2 = V1+¹

2^e

2 (3.8)

Sa dérivée au long de la trajectoire de Σ est donnée par ˙ V2 = η(−η + η2ξ) + e( ˙ξ− ˙α) = η(−η + η2ξ) + e(u− ˙α) = η(−η + η2ξ + η2α− η2α) + e(u− ˙α) = η(−η + η2α + η2(ξ − α)) + e(u − ˙α) = η(−η + η2α) + η3e + e(u− ˙α) = ˙V1+ e(u− ˙α + η3) (3.9)

Le choix de la commande deu est fait comme l’étape précédente, on choisi u =−k2e + ˙α− η3

=−k2 ξ + k1η− k1(−η + η2ξ)− η3
(3.10) oùk2 > 0 est un paramètre de réglage. Avec l’expression choisie de u donné dans (3.10), la dérivée de la fonction de Lyapunov est

˙

V2 =− ˙V1− k2e2

=−η2

− k1η4

− k2(ξ + k1η)2 (3.11)

De cette expression, on conclue que l’origine du système (Σ) est globalement asymptotiquement stable.