Introduction

II.2.1 Transformation du repère lié au support en repère local ... 28 II.2.2 Transformation du repère galiléen en repère lié au support ... 30

II.3 Vecteur rotation instantanée ... 32 II.4 Vecteur position de l’origine du repère lié au support ... 33 II.5 Calcul des énergies et du travail virtuel ... 34

II.5.1 Disque……… ... 34 II.5.2 Arbre……….. ... 39 II.5.2.1 Energie cinétique ... 39 II.5.2.2 Energie de déformation ... 42 II.5.3 Balourd ... 55 II.5.4 Palier hydrodynamique ... 58

II.6 Conclusion ... 61

MODELISATION DES ROTORS EMBARQUES

II.1 Introduction

Depuis les 70 dernières années, de nombreux travaux de recherche ont étudié la dynamique des machines tournantes. Quelques études et ouvrages de référence peuvent être cités ici (TRAN [154], RAO [131],

LALANNE et FERRARIS [99], GENTA [66,67], YAMAMOTO et ISHIDA [159], BACHSCHMID et al. [11]). Au cours du temps, la modélisation des rotors et leurs méthodes d’analyse dynamique ont progressé avec les moyens de calcul.

Le but de ce chapitre est de donner les principales démarches permettant de modéliser un rotor dont le support supposé indéformable est en mouvement déterministe connu. La modélisation conduit à l’établissement des équations différentielles du mouvement du rotor nécessaires à la compréhension et à la prédiction de son comportement dynamique.

D’une manière générale, les composants de base du rotor sont les suivants (voir la figure FIG. II.1) : le disque,

l’arbre, le balourd, le palier, le support.

Le nombre de chacun des composants du rotor peut être supérieur à 1. Cependant, dans le cadre de cette thèse, le rotor contenant un seul arbre sera étudié. Ce type de rotors est appelé « monorotor ».

Le balourd est distribué de manière continue et quelconque sur le rotor et provient des défauts de symétrie qui peuvent avoir plusieurs origines. Une opération appelée « équilibrage de rotors » conduit à minimiser le balourd installé sur le rotor mais ne peut pas complètement l’annuler. Les excitations prises en comptes sont alors dues au balourd inévitable et aux mouvements imposés au support.

Les hypothèses suivantes sont retenues dans le cadre de ce travail : le disque est rigide,

l’arbre est déformable et modélisé par des poutres droites homogènes, isotropes, élastiques linéaires de sections constantes sollicitées en flexion dans deux directions orthogonales (directions horizontale et verticale),

le disque et/ou l’arbre peuvent être dissymétriques,

le balourd est modélisé par des masses concentrées (balourds discrets),

les paliers supportant l’arbre sont flexibles et de type hydrodynamique non linéaire, le support du rotor est infiniment rigide et mobile,

le rotor tourne à une vitesse constante Ω.

FIG. II.1 : Composants mécaniques de base du rotor

Support

Arbre

Palier

Balourd

Disque

La prise en considération du mouvement du support peut modifier significativement la forme des équations du mouvement d’un rotor en flexion par rapport à celles obtenues dans le cas d’un support fixe. Afin d’entreprendre une modélisation la plus simple possible, l’approche présentée par DUCHEMIN [46] est adoptée. Il propose de modéliser un rotor à support mobile en considérant le mouvement du rotor par rapport au support et celui du support par rapport au sol. Il s’agit d’étudier les déflexions transversales de la ligne moyenne de l’arbre du rotor par rapport à un repère lié au support rigide.

Les deux effets secondaires de flexion suivants correspondant à la poutre de TIMOSHENKO sont à prendre en compte lors de la modélisation de l’arbre du rotor :

l’effet d’inertie de rotation des sections droites introduit par RAYLEIGH, l’effet de cisaillement mis en évidence par TIMOSHENKO.

Ces deux considérations rendent le système étudié plus adapté à la réalité et permettent d’obtenir une adéquation satisfaisante entre les résultats numériques et ceux expérimentaux.

Les démarches employées pour l’établissement des équations du mouvement sont inspirées de la théorie décrite par LALANNE et FERRARIS [99] et présentées ci-après. Tout d’abord, les systèmes de référence nécessaires à la description du mouvement d’un rotor embarqué sont définis et les vecteurs exprimant les rotations entre ceux-ci sont calculés. Ensuite, le calcul des différentes énergies et du travail virtuel des composants du rotor étudié est effectué comme suit :

l’énergie cinétique d’un disque,

les énergies cinétique et potentielle de déformation d’un élément d’arbre, l’énergie cinétique d’un balourd discret,

le travail virtuel des forces extérieures dues à un palier.

De plus, une méthode numérique est choisie afin de décrire le mouvement d’un rotor embarqué en fonction des coordonnées généralisées utilisées dans l’étude. C’est pourquoi deux principales approches sont distinguées :

la méthode de RAYLEIGH-RITZ utilisée dans un premier temps pour mettre en place un modèle permettant de traiter des cas simples et d’étudier les phénomènes de base,

la méthode des éléments finis utilisée dans un deuxième temps pour l’étude des systèmes réels et des applications industrielles.

Enfin, les équations différentielles du mouvement en flexion d’un rotor embarqué en régime permanent (ceci est le cas d’un rotor lorsque sa vitesse de rotation est une constante) sont déduites des équations de LAGRANGE appliquées par rapport aux coordonnées généralisées (aux degrés de liberté) q sous la forme _i suivante : i q i i i d T T U F dt q q q ∂ ₋∂ ₊∂ ₌   ∂ ∂ ∂  ɺ  (II.1) où :

• n_ddl est le nombre de degrés de liberté,

• i

(

)

• T et U sont les énergies cinétique et potentielle,

•

i

q

F sont les forces extérieures correspondant à q_i,

• le symbole « i » désigne la dérivée par rapport au temps t.

Des méthodes quasi-analytiques et numériques développées sont mises en place pour la résolution des équations différentielles du mouvement.

L’étude du comportement dynamique d’un rotor embarqué s’effectue généralement avec les deux étapes suivantes :

La vérification de la stabilité du rotor en considérant certains paramètres, comme par exemple la géométrie du rotor, la présence de paliers amortis à comportement linéarisé ou de paliers à comportement non linéaire.

La détermination des fréquences naturelles, des vitesses critiques de rotation, de la réponse forcée du rotor à des excitations extérieures (effet de balourd et/ou mouvement du support) de manière à