Introduction

5.1.2 Ecriture d’un modèle mathématique ... 165 5.1.3 Méthode des volumes finis ... 165 5.2 Définition du système, hypothèses, choix des variables, équations du modèle . 166 5.2.1 Définition du système ... 166 5.2.2 Equation du modèle ... 167 5.3 Discrétisation des équations de transport ... 170 5.3.1 Discrétisation de l’équation de transfert d’eau liquide ... 172 5.3.2 Discrétisation de l’équation de transfert de la vapeur d’eau ... 174 5.3.3 Discrétisation de l’équation de transfert du TCE en phase aqueuse ... 175 5.3.4 Discrétisation de l’équation de transfert de la vapeur du TCE ... 177 5.3.5 Conditions initiales... 177 5.3.6 Conditions aux limites ... 178 5.4 Résultats expérimentaux et validation du modèle numérique :

cas du transfert d’eau seule... 180 5.4.1 Comparaison des cinétiques expérimentales et simulées... 181 5.4.2 Comparaison entre profils expérimentaux et simulés ... 182 5.5 Simulation numérique des phénomènes d’atténuation naturelle du TCE

dans la couche superficielle d’un sol à faible teneur en eau... 186 5.5.1 Présentation du système et programme de simulation ... 186 5.5.2 Effet de la teneur en eau initiale, w0 ...187 5.5.3 Effet de la concentration initiale en TCE, C_T0...188 5.5.4 Effet de la hauteur de colonne de sol ... 191 5.5.5 Vérification de l’hypothèse de l’équilibre local : étude paramétrée ... 194 5.5.6 Importance de la prise en compte du changement de phase du TCE... 197 5.5.7 Influence de la constante de Henry : application à quelques pesticides ... 198 5.6 Conclusion ... 201

Au cours de ces deux dernières décennies, les travaux de modélisation et de simulation numérique dans le but de comprendre le comportement des systèmes complexes se sont intéressés aux milieux poreux de façon générale. Ce champ d’investigation va immédiatement s’élargir à l’étude des sols quelques années plus tard avec les nouveaux défis d’élaboration et de mise en place de nouvelles perspectives de développement durable et de protection de l’environnement à savoir les problèmes de conservation et de pollutions environnementales des sols. Z ' Z 0 h H Interface sol-air ^V é g é ta ti o n

FIG. 5.1 – Schéma du modèle de simulation

Ce chapitre s’intéresse à l’étude de la zone non saturée, du sol, constituée par la partie superficielle du sol qui interagit avec l’atmosphère (Fig. 5.1). Il s’agira d’étudier les mécanismes d’atténuation naturelle du TCE. Nous montrerons, en prenant en compte dans le modèle tous les paramètres phénoménologiques que nous avons déterminés dans les chapitres précédents, comment les effets hygroscopiques peuvent modifier le comportement d’un composé organique volatil dissout dans la phase aqueuse du sol et peuvent remettre ainsi en question les hypothèses classiques admises jusqu’à ce jour.

5.1 Introduction

5.1.1 But de l’étude de simulation

Après leur utilisation, les polluants organiques volatils se présentent essentiellement sous deux formes (aqueuse et gazeuse) et le passage entre la phase liquide et la phase vapeur est appelé changement de phase. Nous avons montré que les travaux antérieurs consacrés au transfert des pesticides et à l’étude de la pollution des sols par les composés organiques volatils (COV) ont, soit concernés la zone saturée du sol, soit ne tiennent pas compte d’un certain nombre de mécanismes qui, pourtant peuvent avoir un effet non négligeable dans les processus de transfert. Dans cette partie du sol, le caractère libre de l’eau rend possible l’application des lois classiques d’équilibre, entre la phase liquide et la phase gazeuse, connues jusqu’à ce jour. Dans les régions arides en revanche, les faibles teneurs en eau se

traduisent par des effets hygroscopiques ; l’eau se retrouve partiellement adsorbée sur la phase solide ce qui modifie fortement ses propriétés mécaniques et thermodynamiques. Or, des études récentes ont montré que les effets hygroscopiques modifient les lois d’équilibre à l’interface liquide-gaz et les mécanismes de transfert d’eau [Lozano, 2007, Ouédraogo, 2008]

ce qui nous laisse penser qu’il pourrait en être de même pour les composés volatils dissous dans l’eau.

Ainsi, après avoir étudié les mécanismes de retour à l’équilibre du TCE ainsi que d’autres paramètres physiques du TCE au chapitre 4, nous allons à présent utiliser tous ces paramètres dans un modèle numérique qui va nous permettre de décrire les processus de transfert lors de l’atténuation naturelle du TCE dans un sol aride.

5.1.2 Ecriture d’un modèle mathématique

L‘objectif d’un modèle numérique est de simuler le comportement d’un système physique. La description correcte d’un système physique constitue un préalable à toute modélisation numérique. Il est donc essentiel d’identifier avec soin et précision les différentes composantes caractérisant le comportement d’un système afin de pouvoir décrire correctement le problème physique à étudier. Les points suivants sont essentiels pour aider à la préparation d’un modèle

[Dhatt et Sergent, 2005]:

- Choix des phénomènes : pour chaque type de problème, il faut identifier les

phénomènes physiques élémentaires essentiels mis en jeux,

- Choix des variables de description u(x, y, z, t) : il faut identifier les variables qui

caractérisent le comportement du système. Par exemple, pour un problème d’élasticité, on choisit les déplacements et les contraintes. Pour les milieux complexes, ce choix ce complique,

- Choix de la géométrie : pour certains problèmes, la géométrie est bien définie à priori,

ce qui n’est pas le cas pour la simulation des systèmes réels. Il est possible aussi que la géométrie soit variable à différents instants. En plus, il faut choisir si le comportement est uni-, bi- ou tri- dimensionnel, soit : u(x,y,z,t)=u(x,t), u(x,y,t) ou u(x,y,z,t),

- Loi de conservation : la plupart du temps, le comportement est régi par des lois

universelles de conservation qui peuvent être de plusieurs ordres : conservation des efforts (équilibre), conservation de la quantité de mouvement, conservation de la masse, conservation de l’énergie, etc.,

- Loi de comportement : il est important de choisir correctement les lois de

comportement relatives aux différents phénomènes élémentaires. Dans le cas des sols, ces lois de comportement concernent le mouvement des phases et des constituants, le changement de phase, la diffusion et la relation contrainte-déformation si on prend en compte la déformation du sol

- Conditions aux limites et conditions initiales : Un choix correct des conditions aux

limites et des conditions initiales est déterminant pour la convergence vers la solution du problème réel.

5.1.3 Méthode des volumes finis

Trois grandes familles de méthodes sont souvent utilisées dans la littérature pour la résolution numérique des problèmes ; on peut citer :

- la méthode des Différences Fines (DF) ; - la méthode des Volumes Finis (VF) ; - la méthode des Eléments Finis (EF).

La méthode des volumes finis que nous allons utiliser par la suite s’inscrit dans la lignée des méthodes développées au cours des dernières décennies pour la résolution des problèmes complexes notamment dans les sciences de l’ingénieur. Elle est reconnue comme étant une méthode efficace pour la résolution des équations de conservation non linéaires. En revanche la méthode des éléments finis, elle, s’appui toujours sur une formulation variationnelle de l’équation aux dérivées partielles. Le principe consiste à remplacer l’équation aux dérivées partielles par une formulation équivalente, dite variationnelle, obtenue en intégrant l’équation multipliée par une fonction quelconque, dite « fonction test ». Sachant donc qu’il n’existe pas de formulation variationnelle pour toutes les équations aux dérivées partielles, nous n’avons pas estimé opportun d’utiliser cette méthode pour la résolution de notre problème. En outre, la méthode des volumes finis s’appui sur la notion de conservation des flux. On dit pour cela que c’est une méthode conservative ; ce qui nous paraît intéressant pour résoudre un problème basé sur les transferts de matière où les phénomènes de transport sont exprimés sous forme de flux.

Retenons, pour terminer, que la validité d’une méthode de résolution repose sur trois fondements essentiels : la consistance, la stabilité et la convergence. Pour notre part, nous jugerons de la validité des méthodes numériques sur ces trois critères mais également en comparant les solutions obtenues à des résultats expérimentaux.

5.2 Définition du système, hypothèses, choix des variables,