L’utilisation des mat´eriaux ferromagn´etiques dans les revˆetements furtifs est tr`es r´epandue `
a cause de leurs propri´et´es d’absorption vis-`a-vis des ondes ´electromagn´etiques et aussi `a cause de la modification qu’ils engendrent sur le spectre de l’onde diffract´ee (voir chapitre 1). La motivation du pr´esent travail vient du fait, que dans beaucoup de cas, l’´epaisseur du revˆetement est tr`es petite compar´ee `a la longueur de l’onde incidente. Par cons´equent, la discr´etisation des ´equations de Maxwell `a l’int´erieur de ce domaine d’absorption engendre un maillage “trop” fin et peut rendre le probl`eme num´erique difficile (voir impossible) `a r´esoudre. Une alternative bien connue pour contourner cette difficult´e, consiste `a d´eriver des Condi- tions aux Limites Equivalentes (CLE) (Effective Boundary Conditions (EBC’s), qui entrent dans le cadre de : General Impedance Boundary Conditions (GIBC’s)) sur la fronti`ere de l’obstacle, incorporant de mani`ere approximative l’effet de la couche mince. L’int´erˆet de cette approche est bien entendu essentiellement num´erique. De mani`ere sommaire, comme le mod`ele approch´e est pos´e sur le domaine ext´erieur (c.`a.d. sans comprendre la couche mince) nous ´eliminons la contrainte g´eom´etrique sur le maillage. On r´eduit ainsi la taille du probl`eme discret et par cons´equent le coˆut du calcul. Notons ´egalement que cette m´ethode pourrait constituer une alternative plus int´eressante que le raffinement de maillage autour de l’obs- tacle.
Ces CLE g´en`erent des probl`emes aux limites particuliers dans le sens o`u la condition sur le bord fait intervenir des d´eriv´ees tangentielles et des d´eriv´ees en temps d’ordre sup´erieur ou ´egal `a l’ordre de l’op´erateur int´erieur.
La plupart des travaux d´edi´es aux CLE concernent des revˆetements lin´eaires et sont res- treints `a l’´etude du probl`eme harmonique. Il existe une importante litt´erature d’ing´enierie
sur ce domaine (voir [41] ou [25] pour un petit aper¸cu). Afin d’obtenir les CLE, une premi`ere m´ethode, g´en´eralement restreinte `a des g´eom´etries tr`es simples, consiste `a approcher la condi- tion d’imp´edance non locale exacte `a l’aide d’op´erateurs locaux, comme pour les conditions aux limites absorbantes [17]. Une deuxi`eme approche, plus g´en´erale, consiste `a postuler l’exis- tence d’un comportement particulier (typiquement polynˆomial) du champ ´electromagn´etique `
a l’int´erieur de la couche fine (ce qui se justifie formellement par un d´eveloppement de Taylor par exemple). On obtient alors diff´erentes conditions selon le degr´e du polynˆome consid´er´e.
Plus r´ecemment, des math´ematiciens appliqu´es ont d´eriv´e des CLE d’une mani`ere plus rigoureuse appuy´ee par une justification math´ematique, bas´ee essentiellement sur des tech- niques variationnelles. On distingue dans ces travaux deux approches principales afin d’obtenir ces conditions aux limites. L’approche d’Engquist-N´ed´elec [18] proche de la seconde m´ethode qu’on vient d’´evoquer et l’approche Bendali-Lemrabet [7] bas´ee sur un changement d’´echelle des ´equations `a l’int´erieur de la couche mince.
Le cas des mat´eriaux ferromagn´etiques semble ne pas avoir ´et´e trait´e ni par les ing´enieurs ni par les math´ematiciens. Sa principale sp´ecificit´e (et difficult´e) est li´ee au caract`ere non lin´eaire de la loi constitutive du mat´eriau. Ainsi l’´etude harmonique ne peut ˆetre appliqu´ee et le probl`eme doit ˆetre saisi dans le domaine temporel. Les deux aspects : caract`ere non-lin´eaire du mod`ele et ´etude du probl`eme en temps pr´esentent chacun des difficult´es sp´ecifiques. C’est pourquoi nous avons opt´e pour l’organisation suivante de notre travail.
Nous commen¸cons par ´etudier le cas d’un revˆetement lin´eaire : chapitre 4. L’objectif vis´e est double. Premi`erement, ce cas simplifi´e (qui rappelons le, est un cas particulier du cas non- lin´eaire) nous permet de pr´esenter la technique adopt´ee pour la d´erivation des CLE, qui est similaire `a la m´ethode de “scaling” utilis´ee dans [7]. Deuxi`emement, il nous permet d’´etudier les probl`emes d’instabilit´e sp´ecifiques aux probl`emes en r´egime transitoire, qui peuvent ap- paraˆıtre dans le cas de CLE d’ordre ´elev´e. Nous ´etudions ´egalement l’obtention d’estimations d’erreur via une technique ´energ´etique (au moins dans le cas d’une fronti`ere plane).
Au chapitre 5, nous proposons une g´en´eralisation au cas des mat´eriaux ferromagn´etiques, faite de mani`ere progressive. Nous consid´erons d’abord le probl`eme 1D (les probl`emes li´es `
a la g´eom´etrie sont par cons´equent ´evacu´es). Ce cas simplifi´e nous permettra en particulier d’aborder les ph´enom`enes d’instabilit´e qui apparaissent pour les conditions d’ordre ´elev´e. On discutera alors dans quelles mesures est-t-il possible d’appliquer le proc´ed´e de stabilisation, entrepris auparavant pour le cas lin´eaire. Dans ce cas 1D nous travaillerons avec une forme explicite de la loi ferromagn´etique afin de donner un aper¸cu concret des consid´erations abs- traites de la deuxi`eme ´etape : g´en´eralisation de la construction au cas courbe avec une loi ferromagn´etique non lin´eaire g´en´erale.
Dans le chapitre 6, nous donnons la justification rigoureuse de la d´erivation des conditions ´equivalentes dans le cas monodimensionnel. Malgr´e son caract`ere 1D, cette justification n’est pas aussi ´evidente que dans le cas lin´eaire `a cause du couplage avec la loi ferromagn´etique. Pour justifier l’existence d’un d´eveloppement asymptotique, nous utilisons une technique r´ecursive (boot-strap) bas´ee sur un argument de “trace-´epaisse”... Nous montrons par la mˆeme occasion l’existence et l’unicit´e de solutions au probl`eme coupl´e Maxwell-CLE d’ordre inf´erieur ou ´egal `
a 3. La g´en´eralisation de ces r´esultats aux dimensions 2 et 3 reste encore un probl`eme ouvert. Les chapitres 7 et 8 s’int´eressent `a la mise en øeuvre num´erique des conditions ´equivalentes dans le cas des mat´eriaux ferromagn´etiques uniaxiaux. On traite dans le chapitre 7 le probl`eme
1D afin d’´evacuer dans un premier temps les difficult´es li´ees `a la discr´etisation surfacique et se concentrer sur les sch´emas en temps. On y montre alors que l’utilisation d’un sch´ema dit explicite sur le bord, n´ecessite une condition de stabilit´e (condition CFL) qui se comporte asymptotiquement comme c∆t ≤ √2hη, o`u c, ∆t, h et η sont respectivement la c´el´erit´e des ondes dans le vide, le pas de temps, le pas d’espace et l’´epaisseur de la couche ferro- magn´etique. Ce sch´ema se trouve par cons´equent inadapt´e aux applications pratiques o`u η → 0. D’autre part une discr´etisation dite implicite sur le bord, admet une condition de sta- bilit´e ind´ependante de η, qui co¨ıncide avec la CFL classique pour le sch´ema num´erique utilis´e en dehors de la fronti`ere. Ce sch´ema constitue par cons´equent une meilleure alternative et sera repris dans le chapitre 8 pour traiter les probl`emes 2D et 3D. Le gros de l’effort dans ces derniers cas est de pr´eciser la discr´etisation spatiale ad´equate de la fronti`ere et du domaine ferromagn´etique adimensionnalis´e. La m´ethode utilis´ee est bas´ee sur une technique variation- nelle. Bien que seul le cas d’une fronti`ere droite soit consid´er´e (pour le probl`eme discret), la m´ethode utilis´ee est tout `a fait g´en´erale et s’adapte aux cas de g´eom´etries courbes. Chaque chapitre est couronn´e par des exp´eriences num´eriques mettant en valeur l’int´erˆet que pr´esente l’utilisation des conditions ´equivalentes. Seul le sch´ema 2D est test´e dans le chapitre 8.