→
γc(M)
' 2→ΩT
→vr(M)→ '
→vr(M)→
6880 s . (3.14)
Pour des mouvements de vitesse relativement faible, suffisament acc´el´er´es, on pourra donc ´ecrire dans le r´ef´erentiel du laboratoire que
m→γr(M) ' →F (3.15)
c’est-`a-dire consid´erer le r´ef´erentiel du laboratoire comme «approximativement galil´een».
3.2 Introduction aux lois globales : cas d’un syst` eme discret
Dans le but d’introduire naturellement les lois de Newton sous forme globales, nous consid´erons mainte-nant le cas«simple»d’un syst`emediscret soumis seulement `a des forces5, pour lequel les lois d’´evolution de la r´esultante, du moment et de l’´energie cin´etique peuvent se d´emontrer `a partir de la loi fondamentale de la dynamique et de la loi de l’action-r´eaction seulement.
Notre syst`eme est donc constitu´e de masses«ponctuelles»rep´er´ees par un indicei, situ´ees aux points Mi(t), de masse individuellemi. Dans le r´ef´erentiel de travail, d’origine O, nous partirons de la loi fonda-mentale de la dynamique ´ecrite pour chaque particule i:
mi
→
γ(Mi) = mi
¨
−−−→
OMi = →Fi (3.16)
La force→Fi exerc´ee sur la particuleidoit ˆetre d´ecompos´ee en
→
Fi = →Fiext+→Fiint (3.17)
o`u →Fiext est la force exerc´ee par l’ext´erieur du syst`eme sur la particule i (plus ´eventuellement des forces d’inertie si le r´ef´erentiel de travail est non galil´een), et
→
Fiint = X
j6=i
→
Fji (3.18)
est la somme des forces int´erieures →Fji exerc´ees par le point mat´erielj sur le point mat´erieli.
4Qui ne pointe donc pas en g´en´eral vers le centre de la terre !
5Par opposition au cas plus g´en´eral de syst`emes pr´esentant des sous-syst`emescontinus, dans lesquels les efforts int´erieurs par exemple ne peuvent ˆetre d´ecrits par une simple densit´e de forces mais demandent l’introduction d’un tenseur des contraintes.
Ce probl`eme de la description correcte des efforts int´erieurs est en fait peu pertinent dans le cas de solides ind´eformables (voir
`
a ce sujet la conclusion de la section 3.3.2). Cependant il nous semble fondamentalement int´eressant d’essayer de comprendre l’origine profonde des lois d’´evolution de la r´esultante et du moment cin´etique, en refusant de les poser a priori.
3.2. Introduction aux lois globales : cas d’un syst`eme discret 41
3.2.1 Loi d’´ evolution de l’´ energie cin´ etique - Notion de puissance d’efforts
Multiplions scalairement l’´equation (3.16) par−−−→˙
OMi. Il vient : mi
−−−→¨ OMi·−−−→˙
OMi = d dt
"
1 2mi
−−−→˙ OMi
!2#
= →Fiext
·−−−→˙
OMi+→Fiint
·−−−→˙ OMi
En sommant ces equations pour tout indice de particulei on aboutit `a la loi d’´evolution de l’´energie cin´etique :
la d´eriv´ee par rapport au temps de l’´energie cin´etique totale du syst`eme est ´egale `a la puissance des efforts ext´erieurs et int´erieurs appliqu´es :
dEc
dt = Pext+Pint = X
i
→Fiext·−−−→˙ OMi+X
i
→Fiint·−−−→˙
OMi . (3.19)
Φ Notons, en sus de l’unit´e SI de puissance, le Watt W (1 W = 1 J/s), l’existence d’unit´es«m´ecaniques» de puissance ou«chevaux»... Un cheval-vapeur europ´een est la puissance fournie (par un cheval `a l’origine) pour entraˆıner un poids de 75 kg `a 1 m/s (i.e. 3,6 km/h) en luttant contre la pesanteur,
1 ch = 75 kg 9,81 m/s21 m/s = 736 W,
tandis qu’un“horse-power”am´ericain est la puissance fournie pour entraˆıner un poids de 550 livres `a 1 pied par seconde,
1 hp = 550 0,454 kg 9,81 m/s2 30,48 cm/s = 746 W ...
Ainsi les chevaux am´ericains sont l´eg`erement plus puissants que les chevaux europ´eens !... Au del`a de l’ane-docte, ces d´efinitions nous donnent une id´ee de la puissance moyenne que peut d´evelopper un ˆetre humain, soit environ deux fois moins qu’un cheval menant la tˆache raisonnable d´efinie plus haut, i.e. approximative-ment 400 W.
De fa¸con un petit peu paradoxale, l’unit´e SI de puissance sert `a d´efinir une unit´e non SI d’´energie, `a savoir le kiloWatt-heure :
1 kWh = 1000 J/s 3600 s = 3,6 MJ.
La table suivante indique l’´evolution r´ecente du prix du kiloWatt-Heure factur´e par EDF `a un particulier
«consommateur standard», i.e. se satisfaisant d’une puissance d´elivr´ee de l’ordre de 20 kiloWatt : Ann´ee Prix du kWh
2004 0,1058=C 2005 0,1057=C 2006 0,1057=C 2007 0,1085=C
Ces prix sont extrˆemement comp´etitifs par rapport au tarif de location d’un cheval qui fournirait le mˆeme travail. Cette constatation illustre la situation d’abondance ´energ´etique dans laquelle nous vivons, en oc-cident et plus particuli`erement en France, grˆace au progr`es technique... et `a la comp´etence des ing´enieurs d’EDF et du CEA !... Ainsi les « meilleurs » des r´eacteurs nucl´eaires des centrales fran¸caises produisent 1,45 GW d’´energie ´electrique, `a comparer par exemple aux 3 MW des meilleurs ´eoliennes un jour de grand vent. Attention toutefois : ces questions ´energ´etiques sont subtiles, et l’´energie nucl´eaire n’est pas une so-lution miracle du fait du probl`eme des d´echets radioactifs. Une seule chose est sˆure : dans les th´ematiques li´ees `a l’´energ´etique, il y a du pain sur la planche pour beaucoup d’ensemiens !...
Φ
42 Chapitre 3. Dynamique newtonienne
3.2.2 Loi de l’action-r´ eaction - Notion de r´ esultante et moment d’efforts
En suivant la d´emarche de Truesdell (1991), nous pr´ef´erons poser pour commencer une loi ´equivalente mais qui nous semble plus intuitive, laloi d’invariance6 de la puissance des efforts int´erieurs :
la puissance des efforts int´erieurs, qui mesure physiquement la variation d’´energie interne du syst`eme due aux interactions m´ecaniques internes au syst`eme, ne doit pas d´ependre de l’observateur, c’est-` a-dire du r´ef´erentiel (mˆeme non galil´een) consid´er´e.
Traduisons cette loi en faisant la diff´erence entre la puissance des efforts int´erieurs calcul´ee dans un premier r´ef´erentiel«absolu» R0 et celle calcul´ee dans un deuxi`eme r´ef´erentiel«relatif»R. On demande que :
PRint0 −PRint = X
La diff´erence des vitesses qui apparaˆıt est la vitesse d’entrainement du point Mi dans le r´ef´erentiel R, donn´ee par l’´equation (1.65). La loi se traduit donc, A ´etant un point quelconque de R, comme les vitesses de translation →vR0(A) et de rotation →ΩdeRpar rapport `aR0 sont quelconques, par : Ceci a lieu si et seulement si lar´esultante des efforts int´erieurs s’annule :
−→
Rint = X
i
→
Fiint = 0, (3.20)
de mˆeme que lemoment des efforts int´erieurs en tout point A :
→
Γint(A) = X
i
−−→
AMi∧→Fiint = 0. (3.21)
On peut donc donner une loi ´equivalente `a celle d’invariance de la puissance des efforts int´erieurs, laloi de l’action-r´eaction7:
la r´esultante et le moment des efforts int´erieurs `a un syst`eme sont toujours nuls.
En consid´erant comme syst`eme particulier8le syst`eme constitu´e de deux points mat´erielsiet j, on obtient imm´ediatement la loi de l’action-r´eaction sous la forme plus classique :
les forces d’interaction mutuelles entre deux objets i et j sont oppos´ees :
→
Fij = −→Fji ,
et dirig´ees suivant le vecteur qui relie les deux particules9, soit −−−−−→MiMj :
−−−−−→
MiMj∧→Fij = →0 .
6Certains m´ecaniciens pr´ef`erent parler d’objectivit´e.
7En termes de torseurs, letorseur des efforts int´erieursdoit ˆetre nul :
{Tefforts int´erieurs(A)}:=
8
8De mani`ere g´en´erale le mod´elisateur a toute latitude pour d´ecouper (par la pens´ee !) un syst`eme donn´e en diff´erents sous-syst`emes, et cette d´emarche est souvent fructueuse.
9Certains auteurs parlent `a ce sujet de forces d’interaction mutuellecentrales.