Introduction et r´ esultats principaux

Introduction

On consid`ere un mod`ele stochastique de croissance (Xn)n∈N, `a valeurs dans X ,

un sous-ensemble non born´_{e de R}+, satisfaisant une ´equation de r´ecurrence de la

forme :

Xn+1= Xn+ g (Xn) + ξn, (4.1)

o`<sub>u g est une fonction de X dans R</sub>+ et o`u on a presque-sˆurement,

E ξn  Fn
= 0 E ξn2  Fn
= σ2(Xn) < ∞,

o`u σ2 _{est une fonction positive et {F}

n, n ∈ N} est la filtration `a laquelle (Xn)n∈N

est adapt´ee.

Si la limite suivante existe

θ = lim

x→∞

2xg (x) σ2_(x) ,

et appartient `a (−∞, 1), alors Kersting a prouv´_{e dans [36] que P({X}n −→

n→∞∞}) = 0.

On dit alors que (Xn)_n∈N est r´ecurrente, en adoptant la terminologie des chaˆınes de

Markov, tandis que si θ ∈ (1, ∞) alors P({Xn −→

n→∞∞}) > 0.

Le but de cette partie est de d´eterminer `a quelle vitesse le processus (Xn)_n∈N

entre dans l’intervalle [0, A], lorsque X0 = x > A > 0 presque-sˆurement. Si (Xn)_n∈N

est une chaˆıne de Markov irr´eductible et ap´eriodique, on en d´eduit alors un crit`ere de r´ecurrence nulle ou de r´ecurrence positive et dans ce cas on donne la vitesse de convergence de (Xn)_n∈Nvers sa mesure de probabilit´e invariante. De plus, si on a en

tˆete des mod`eles de population, o`u on a comme hypoth`ese naturelle une propri´et´e de dichotomie, i.e., P n Xn −→ n→∞∞ o + P ({∃n tel que Xn = 0}) = 1,

on obtient une estimation pr´ecise, quasiment optimale, de la queue du temps d’ex- tinction.

La premi`ere id´ee cl´e de cette partie est de consid´erer les fonctions puissances comme fonctions de Lyapounov. Kersting [36] a prouv´e la r´ecurrence et la transience en utilisant le logarithme comme fonction de Lyapounov. N´eanmoins, on ne peut pas obtenir plus d’informations sur le comportement de (Xn)_n∈N avec la fonction

logarithme. En consid´erant les fonctions puissances, on obtient une in´egalit´e de la forme E Xn+1α  Fn
− Xnα ≤ −CX α−1 n g(Xn) + b1{Xn≤A}, 104

pour tout n ∈ N, o`u α ∈ (0, 1), A, C et b sont des constantes positives. De cette ´equation, on en d´eduit que

E f (Yn+1)

Fn
− f (Yn) ≤ −C0f0(Yn) + b01{Yn≤A0}, (4.2)

o`u Yn est une transform´ee de Xn, f est une fonction croissante, A0, C0 et b0 des

constantes positives. Cette in´egalit´e (4.2) nous permet de donner tous les compor- tements possibles d’une classe de mod`eles de croissance r´ecurrents. Dans une s´erie d’articles [5, 6, 7], Aspandiiarov et al. ont ´etabli une borne sup´erieure et inf´erieure `

a la queue du temps d’atteinte d’un certain compact, pour une certaine classe de processus, am´eliorant les r´esultats ant´erieurs de Lamperti [51]. Le deuxi`eme point cl´e de cette partie est d’appliquer ces r´esultats sur la transform´ee Yn = G(Xn)

de notre processus afin d’obtenir ce type de bornes. Si (Xn)n∈N est une chaˆıne de

Markov irr´eductible et ap´eriodique, on donne un crit`ere de r´ecurrence nulle ou de r´ecurrence positive. De plus, si (Xn)n∈N est r´ecurrente positive, on obtient de [6]

dans le cas d’un espace d’´etats d´enombrable, de [13] dans le cas d’un espace d’´etats g´en´eral, un taux de convergence sous-g´eom´etrique vers sa mesure de probabilit´e in- variante. Ainsi, on donne une compl`ete classification des comportements possibles des mod`eles de croissance r´ecurrents. En particulier, on obtient en appliquant nos r´esultats un tr`es bon encadrement de la queue du temps d’extinction d’un processus de Galton-Watson ´etat-d´ependant, ce qui, `a notre connaissance, ne semble n’avoir jamais ´et´e ´etudi´e auparavant. On retrouve aussi une version faible des r´esultats de Zubkov [65] sur le temps de retour en z´ero d’un processus de Galton-Watson cri- tique avec immigration, ceci sans utiliser la propri´et´e de branchement et donc les fonctions g´en´eratrices.

Cette partie est organis´ee comme suit : dans la prochaine sous-partie, nous ´enoncerons nos r´esultats principaux `a savoir le Th´eor`eme 4.1 et le Th´eor`eme 4.2. En- suite, dans la section 2, on ´enoncera et prouvera deux lemmes relativement simples mais primordiaux pour la preuve des th´eor`emes. La section 3 est consacr´ee `a la preuve du Th´eor`eme 4.1. Dans la section 4, on consid`ere dor´enavant que (Xn)n∈N

est une chaˆıne de Markov irr´eductible et ap´eriodique et on prouve le Th´eor`eme 4.2. Dans la section 5, on donne de nombreux exemples, en particulier sur le temps d’ex- tinction d’un processus de Galton-Watson ´etat-d´ependant. Dans les deux derni`eres sections, nous prouvons un lemme cl´e pour la borne inf´erieure du Th´eor`eme 4.1 et nous rappelons quelques r´esultats de [6] que nous utilisons tout au long de ce chapitre.

R´esultats principaux

Voici la liste des hypoth`eses dont nous avons besoin. Hypoth`ese 2.

(A1) La fonction g est positive, diff´erentiable et g (x) = o (x) lorsque x tend vers l’infini.

(A2) Il existe M > 0, c1 > 0 et ε > 0, tels que pour tout x > M , pour tout

y > (1 − ε) x,

xg (x) ≤ c1yg (y) . (4.3)

(A3) Il existe δ > 0 tel que pour tout n ∈ N, E |ξn|4+δ

Fn
≤ Cσ4+δ(Xn).

Commentons maintenant ces hypoth`eses.

L’hypoth`ese (A1) empˆeche Xn de croˆıtre g´eom´etriquement, on se focalise sur une

sorte de cas critique o`u Xn est perturb´e par un drift g (Xn). Si la fonction g est

d´_{efinie sur un ensemble discret de R}+ alors on peut consid´erer un prolongement

diff´_{erentiable g sur R}+. L’hypoth`ese (A2) est assez technique, elle traduit le fait

que la fonction xg (x) n’est pas d´ecroissante. Nous l’utilisons en particulier dans la partie 4.1.6 pour prouver le Lemme 4.4. Si on consid`ere g (x) = xα, alors cela signifie simplement que α ∈ [−1, 1). Dans [36], Kersting avait besoin de l’existence de moments d’ordre 2 + δ pour montrer la r´ecurrence de Xn. Pour des raisons

techniques, que nous d´etaillerons dans la Remarque 4.4 de la section 4.1.6, on a ici besoin de l’existence de moments d’ordre (4 + δ) pour obtenir les bornes du Th´eor`eme 4.1.

Avant d’´enoncer le th´eor`eme, on introduit deux transformations. On pose pour tout x ≥ 1 G (x) = Z x 1 dy g (y), et pour α > 0, on pose `α(x) = G−1(x)
α .

Th´eor`eme 4.1. Sous les hypoth`eses (A1), (A2), (A3), on suppose qu’il existe λ > 0 et θ ∈ (0, 1) tels que lim x→∞ g0(x) x g (x) = 1 − λ (4.4) et lim x→∞ 2xg (x) σ2_(x) = θ. (4.5)

Alors il existe A > 0 tel que pour tout x0 ∈ X ∩ (A, ∞), pour tout α et β tels que

0 < α < 1 − θ < β, il existe deux constantes Cα et Cβ telles que pour tout n ∈ N,

Cβ `β(n) ≤ P x0(τA > n) ≤ Cα `α(n) , (4.6) o`u τA= inf {n ∈ N : Xn≤ A}.

Remarque 4.1. On ´etablira la borne sup´erieure dans (4.6) en d´emontrant que Ex0(`α(τA)) < ∞ pour tout 0 < α < 1 − θ. Une cons´equence directe de la borne

inf´_{erieure de (4.6) est que E}x0(`β(τA)) = ∞ pour β > 1 − θ et x0 ∈ X ∩ (A, ∞). On

ne sait pas si Ex0(`1−θ(τA)) est fini ou pas.

Remarque 4.2. Dans la preuve du th´eor`eme, on obtient des constantes explicites Cα et Cβ et en particulier, la d´ependance de ces constantes en x0.

Si (Xn)n∈N est une chaˆıne de Markov irr´eductible et ap´eriodique, on peut alors

donner un crit`ere de r´ecurrence nulle ou de r´ecurrence positive et dans ce cas le taux de convergence vers la mesure invariante. On note P (., .) le noyau de transition de la chaˆıne de Markov (Xn)_n∈N. On traite le cas d’un espace d’´etats d´enombrable et

d’un espace d’´etats quelconque. Hypoth`ese 3.

(A4) (Xn)n∈N chaˆıne de Markov irr´eductible et ap´eriodique `a valeurs dans un en-

semble d´_{enombrable X ⊂ R}+, tel que pour tout A > 0, [0, A] ∩ X est fini.

(A4’) (Xn)n∈N est une chaˆıne de Markov ψ-irreductible et ap´eriodique `a valeurs

dans un espace d’´etats g´en´_{eral X ⊂ R}+ et dont les ensembles de niveaux [0, A] ∩ X

sont des petite sets pour tout A > 0.

Rappelons la d´efinition de ψ-irr´eductibilit´e (voir [56, p.84]) :

On dit que la chaˆıne de Markov (Xn)_n∈N est ψ-irr´eductible s’il existe une mesure

non triviale ψ tel que pour tout ensemble K ⊂ X et pour tout x ∈ X ,

ψ (K) > 0 ⇒ Px(∃n tel que Xn∈ K) > 0, (4.7)

et pour toute mesures ϕ satisfaisant (4.7), ϕ est absolument continue par rapport `

a ψ.

Th´eor`eme 4.2. On suppose (A1) `a (A3) et soit (A4), soit (A4’), et que λ et θ sont d´efinis comme dans le Th´eor`eme 4.1.

Alors, (Xn)n∈N est Harris-r´ecurrente et

i) Si λ > 1 − θ, alors (Xn)n∈N est r´ecurrente nulle.

ii) Si λ < 1 − θ, alors (Xn)n∈N est r´ecurrente positive et si on note π sa mesure

de probabilit´e invariante, alors pour tout α ∈ (λ, 1 − θ) et, si (A4) alors pour toute mesure de probabilit´e ν sur X telle que

Eν(`0α(τA)) < ∞, on a que lim n→∞` 0 α(n) kνP n_{− πk} TV = 0, (4.8)

et si (A4’) alors pour tout x ∈ X lim n→∞` 0 α(n) kP n_{(x, .) − π(.)k} TV = 0. (4.9)

Remarque 4.3. Le cas λ = 1 − θ reste ouvert.

Exemple 4.1. On consid`ere un mod`ele de croissance stochastique d´efini par l’´equation de r´_{ecurrence (4.1) avec pour tout x ∈ R}∗₊, g(x) = cxγ _{et σ}2_{(x) = dx}1+γ _o`u

— θ = 2c_d — λ = 1 − γ — G(x) ∝ x1−γ — `α(x) ∝ x α 1−γ, pour α ∈ R,

o`u G(x) ∝ x1−γ signifie que limx→∞G(x)/x1−γ ∈ R∗+.

Par le Th´eor`eme 4.1, pour tout β < 1 − θ < α, il existe A > 0 tel que pour tout x0 > A, il existe Cβ > 0 et Cα> 0 tels que

Cα n1−γα ≤ Px0 (τA> n) ≤ Cβ n1−γβ .

Si γ > θ et (Xn) est une chaˆıne de Markov avec les hypoth`eses du Th´eor`eme 4.2,

alors (Xn) est r´ecurrente positive et pour tout α < 1 − θ,

lim

n→∞n

α

1−γ−1kPn_{(x, .) − π(.)k}

TV = 0,

o`u π est la mesure de probabilit´e invariante de (Xn)n∈N.

Si c et d sont tous les deux fix´es, alors en faisant croˆıtre γ, on peut rendre (Xn)n∈N

r´ecurrente positive. En fait, le param`etre γ concerne `a la fois le drift g(x) et la variance σ2_{(x), en augmentant γ on les augmente tous les deux mais on en d´eduit}

que l’effet sur la variance prime.