Dernièrement, les progrès des logiciels et des outils informatiques ont apporté beau-coup de souplesse et d’efficacité pour la simulation des systèmes complexes. Les logiciels de simulation peuvent apporter une aide non négligeable à l’utilisateur qui souhaite décrire et synthétiser la commande d’un système physique qui l’intéresse, dans la représenta-tion (langage, schéma, ...) à laquelle il est habitué quelque soit le domaine d’utilisareprésenta-tion (physique, chimie, électronique, électrotechnique ou nucléaire par exemple). De nombreux logiciels sont dédiés à une classe particulière de systèmes, on peut siter par exemple Psim en électronique de puissance, ANSYS en mécanique,. . .. Certains logiciels de simulations intègrent des bibliothèques de composants de base et des modèles élémentaires du domaine comme les vannes, tuyaux, diodes, thyristors, divers semi-conducteurs en électronique de puissance, ... et leur utilisation permet de gagner un temps non négligeable dans l’appro-fondissement de la connaissance du système et dans la conception de sa commande. Malgré ses avantages, il est évident que la simulation, basée sur un modèle qui est une abstraction de la réalité, est une approche qui ne permet pas d’étudier tous les cas pos-sibles et comporte un risque d’erreur important dans l’interprétation des résultats. Par conséquent, d’autres méthodes plus formelles sont nécessaires en vue de caractériser, sans calculs explicites, tous les comportements possibles d’un système donné, commandé ou non. De nombreuses méthodes ont été développées par les automaticiens et les infor-maticiens.
Dans les systèmes dynamiques à commutation, trois voies d’études sont plus particuliè-rement étudiées [91]. La première s’intéresse à la vérification de propriétés classiques des systèmes à événements discrets telles que l’atteignabilité des états, le déterminisme et le blocage du système, à partir de modèles comme les automates hybrides ou différents types de réseaux de Petri. Un problème fondamental de la vérification des SDC est celui du cal-cul de l’espace d’état atteignable à partir d’un état hybride initial. La deuxième s’intéresse à la stabilité des systèmes au sens continu, et se base sur des extensions de la théorie de Lyapunov car les notions classiques de stabilité des systèmes continus et les méthodes de Lyapunov ne sont pas directement applicables aux SDC. Et la troisième voie s’intéresse à l’étude de la trajectoire en se basant sur l’aspect géométrique des dynamiques du système.
De manière complémentaire aux démarches d’analyse de stabilité vues dans les précédents chapitre 2 et 3, l’objectif de la synthèse de commande est de développer un contrôleur ga-rantissant que l’exécution eIH du SDC en boucle fermée est non-bloquante, déterministe, n’entre dans des régions interdites de l’espace d’état hybride (respecte des contraintes de fonctionnement) et est stable dans une région de fonctionnement désirée. Contrairement au cas des systèmes continus ou à événements discrets où les problèmes de conception de commande sont mieux connus et maitrisés, la commande des SDC est encore un problème ouvert de recherche. Ainsi, la formalisation du problème de commande des systèmes à commutation en lui même reste une formulation spécifique à chaque auteur ou groupe d’auteurs et il est difficile de dégager une formulation unifiée de ce problème. De même les notions de commandabilité et d’atteignabilité des SDC ont des définitions différentes selon les travaux.
Différentes méthodes de commande existent pour traiter différents problèmes de com-mande de certaines classes de systèmes dynamiques hybrides. Il n’est pas possible d’être exhaustif dans ce domaine donc nous citerons celles qui sont présentées, entre autre, dans [91] :
- Commande par modèle moyen en utilisant des approches approximatives pour ra-mener le problème de commande des systèmes dynamiques hybride à un problème de commande continue.
- Commande séquentielle permettant de piloter l’exécution d’un automate hybride d’une région initiale de l’espace d’état hybride jusqu’à une région finale désirée tout en respectant des contraintes exprimées en terme de valeurs limites sur les variables continues, de séquencement d’états discrets,...
- Commande optimale des systèmes hybrides à base de modèles continus commutant. Cette approches est une extension du principe du maximum de Pontryaguine. - Commande basée sur la théorie de Lyapunov en vue de la régulation autour d’un
point de fonctionnement pris comme origine du système inter-connecté ; la démarche proposée consiste à concevoir des régulateurs locaux dans un premier temps pour chaque sous-système et à les adapter ensuite pour prendre en compte les interactions au niveau du système global.
- Commande prédictive des systèmes hybrides non linéaires [39].
En résumé, l’analyse et la commande des SDC s’appuient sur un ensemble de mé-thodes et de concepts qu’il faut adapter à la classe particulière de systèmes et aux ob-jectifs concernés. Cette non unicité des concepts et des solutions s’explique par le fait que les SDC font partie des systèmes complexes (non linéaires et/ou non continus) et qu’il n’est pas envisageable de définir une théorie de la commande unifiée comparable à celle des systèmes linéaires à dynamique continue ou à des systèmes à événements discrets. Des progrès importants ont été réalisés au niveau de l’analyse de stabilité et de la synthèse de commande pour des familles spécifiques des systèmes dynamiques hybrides (systèmes linéaires par morceaux, systèmes à commutation, ...). Mais la synthèse de lois
de commande avec ou sans contraintes reste un domaine largement ouvert (robustesse, performances, retard, saturations, etc) [42], [53], [17] et [46].
Plusieurs résultats importants de stabilité et de stabilisation des systèmes dynamiques à commutation sont présentés dans [7], où les auteurs ont clarifié les propriétés de stabi-lité (stabistabi-lité totale, stabistabi-lité uniforme et stabistabi-lité conditionnelle) ainsi que les notions et outils classiques de ce domaine (solution hybride, temps de séjour, fonction de Lyapunov commune, fonctions multiples de Lyapunov,...). Puis des méthodes de stabilisation sont données dans le cas linéaire et non linéaire (stabilisation uniforme).
Dans ce chapitre, deux méthodes différentes de commande stabilisante sont présentées : une méthode basée sur les propriétés géométriques des champs de vecteurs des sous-systèmes du SDC [64] et [65], et une autre qui utilise la théorie de Lyapunov [63] .