Introduction aux cartes combinatoires

Les cartes combinatoires s’inscrivent dans le cadre des modèles de représentation par contours. Dans ce type de représentation les objets (les solides) sont définis par une subdivision en faces (et ces faces en sommets et arêtes5). Ce modèle topologique est complété par un modèle de plongement définissant la projection de l’objet dans Rn. Y. Bertrand et J.F. Dufourd affirment dans [23] que les cartes et leurs extensions offrent un avantage décisif car elles sont définies à partir d’un seul élément de base, le brin, et qu’elles utilisent des opérateurs simples à mettre en œuvre : des involutions et des permutations. Ce qui implique une grande homogénéité dans la représentation et une généralisation immédiate à une dimension n. En fait la notion de carte est apparue en 1960 [76], puis a été reprise en 1970 en tant que graphe topologique [126]. R. Cori [48] en a le premier donné une définition algébrique [48]. Ce modèle a ensuite été repris et développé, essentiellement par P. Lienhardt en tant que modélisation géométrique à base topologique [101,163,164,165,166].

Les cartes combinatoires sont un modèle mathématique de représentation des sub- divisions de l’espace. Une subdivision de l’espace est une partition d’un espace topolo- gique de dimension n en (n + 1) parties dont les éléments sont des cellules de dimension 0, 1, 2, 3, . . . , n (respectivement appelées sommets, arêtes, faces et volumes). Des rela- tions d’incidence sont définies entre ces cellules. En fait l’ensemble des (j < i)-cellules6 incidentes à une i-cellule forme le bord de la i-cellule. On dira que deux i-cellules sont adjacentes si elles sont incidentes à la même (j < i)-cellule. Une carte combinatoire code toutes les subdivisions et les relations d’incidences entre les cellules de l’espace et code donc bien la topologie de cet espace. Formellement, une carte combinatoire de dimension n (n-carte) peut représenter toute variété orientable d’un espace de dimension n. P. Lien- hardt a généralisé ce modèle afin de pouvoir représenter toute subdivision, orientable ou non, d’un espace de dimension n. On pourra trouver dans [165] la définition des cartes généralisées, nous donnons ici celle des cartes combinatoires en dimension n.

Définition 3.3 (carte combinatoire de dimension 3). Soit n_{> 0. Une n-carte combina-}

toire est un (n + 1)-tuple M = (D, β1, . . . , βn) tel que :

1. B est un ensemble fini de brins ; 2. β1 est une permutation sur B ;

3. ∀i tel que 2 6 i 6 n, βi est une involution sur B ;

4. ∀i tel que 1 6 i 6 n, ∀j tel que i + 2 6 j 6 n, βi◦ βj est une involution.

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On retrouve donc les notions de cellules de dimension 0, 1, 2 et 3 utilisées dans la topologie-étoile

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On note i-cellule une cellule de dimension i.

66 Analyse combinatoire des images

2. Combinatorial maps and images 2.1. Combinatorial maps

The subdivision of a 3D topological space is a partition of the space into four subsets whose elements are 0D, 1D, 2D and 3D cells (respectively called vertices, edges, faces and volumes, and noted i-cell for a i-dimensional cell). Boundary relations are defined between these cells, where the boundary of a i-cell is a set of (j < i)-cells. Two cells are incident if one cell belongs to the boundary of the other cell, and two i-cells are adjacent if they are both incident to the same (i ! 1)-cell.

A combinatorial map is a mathematical model describ- ing the subdivision of a space, based on a planar map

[22,48,29,13,14]. A combinatorial map encodes all the cells of the subdivision and all the relations of incidence and adjacency between the different cells, and so describes the topology of this space. A combinatorial map can be defined formally for any dimension, and we call n-map an n-dimensional combinatorial map. An n-map can encode an orientable quasi-manifold2 subdivision of an n-dimensional space without boundary. Combinatorial maps were generalized in [38,40] in order to encode all n-dimensional subdivisions whether they are orientable or not and whether they are with or without boundary ([39] established a connection between maps and several other models).

A combinatorial map can be obtained intuitively by successive breakdowns as we can see inFig.1. To describe the 3D space subdivision shown in Fig. 1a, we first decompose the volumes of this subdivision (Fig. 1b) then the faces of these volumes (Fig. 1c) and then the edges of these faces (Fig. 1d). At each step, we keep the adjacency information between the broken down cells (drawn by

black segments, only partially for the last step). The ele- ments obtained after the last decomposition are called darts and are the basic only elements used in the defini- tion of combinatorial map. In order to obtain the map, each adjacency relation is reported onto darts. bi is the relation between two darts which describes an adjacency between two i-dimensional cells. Let us see now the for- mal definition of a 3D combinatorial map that we can find for example in [39]:

Definition 1 (3D combinatorial map). A 3D combinatorial map, (or 3-map) is a 4-tuple M = (D,b1,b2,b3) where:

(1) D is a finite set of darts; (2) b1is a permutation3on D;

(3) b2andb3are two involutions4on D; (4) b1" b3is an involution.5

The different constraints of the 3-map definition (b1is a permutation, otherbiare involutions andb1" b3is an invo- lution) ensures the quasi-manifold property of a described subdivision. For example, intuitively the last constraint says that two volumes cannot be partially adjacent. If two volumes are adjacent with regard to a face, then they are also adjacent with regard to each edge of the face.

Two darts d1and d2are i-sewn ifbi(d1) = d2(16 i 6 n). The i-sewing operation puts two darts d1and d2in relation to bi by keeping the property of involution for i > 1. Indeed, in this case, i-sewing operation involves two mod- ifications :bi(d1) = d2andbi(d2) = d1, while for i = 1 there is only the first modification since b1is a permutation. Note 1. In the following, we denote:

(1) b0forb!1 1 ;

2 _{Intuitively, a n-dimensional quasi-manifold, called sometimes}

n-pseudomanifold, is an nD space subdivision which can be obtained by gluing together n-dimensional cells along (n ! 1)-dimensional cells. In such subdivision, an (n ! 1)-cell cannot belong to the boundary of more

a b c d

Fig. 1. The successive decompositions of a 3D space subdivision to obtain the corresponding 3-map. (a) A 3D space subdivision. (b) Disjoined volumes. (c) Disjoined faces. (d) Disjoined edges.

3 _{A permutation on a set S is a one to one mapping from S onto S.} 4 _{An involution f on a set S is a one to one mapping from S onto S such}

that f = f!1_. 5 _b

" b is the composition of both permutations: (b " b)(x) = 262 G. Damiand / Computer Vision and Image Understanding 109 (2008) 260–289

Fig. 3.5 – Exemple de subdivision d’un objet de dimension 3

Fig. 3.6 – Carte combinatoire correspondant à l’objet de la figure3.5

Lorsqu’on a deux brins, d1 et d2 tels que βi(d1) = d2 (1 6 i 6 n), on dit que d1 est

i-cousu à d2. La figure 3.5 montre un exemple de décomposition en cellules d’un objet

3d et la figure3.6 montre la 3-carte correspondante.

L’autre notion importante dans les cartes, est la notion d’orbite donnée par la défi- nition 3.4. Alors qu’une carte combinatoire est définie à partir d’éléments abstraits, la notion d’orbite permet de définir les cellules qui correspondent aux subdivisions topolo- giques de l’espace :

Définition 3.4 (Orbite). Soit Φ = {f1, . . . , fk} des permutations sur B, on note < Φ >

le groupe de permutations engendré par Φ : c’est l’ensemble des permutations pouvant être obtenues à partir de compositions et d’inversions des permutations de Φ. On appelle < Φ > (b) = {φ(b)|φ ∈ Φ} l’orbite de b relativement à Φ.

Par exemple, en dimension 2, les sommets sont définis par l’orbite < β21>, les arêtes

par l’orbite < β2> et les faces par l’orbite < β1 >.

Les cartes combinatoires représentent seulement la topologie des objets, pas leur

3.2 Représentation à base topologique des images de régions 67

géométrie. Mais il est facile d’associer à certaines (ou toutes) des orbites une géométrie. On appelle cette opération le plongement. Dans notre cas, le plongement correspondra à la description du contour associé à chaque arête. Un simple code de Freeman [96] pourra faire l’affaire.

Cette séparation de la topologie et de la géométrie est un des avantages majeurs des cartes combinatoires. En effet, la plupart des opérations sur les cellules, en particulier dans le cadre de l’analyse d’images, n’ont pas d’incidence sur la géométrie. Par exemple l’opération de base, la fusion de régions, est une opération topologique ; la géométrie du contour de la région ne change pas. Cette séparation permet donc d’optimiser les opérations en s’affranchissant des problèmes liés à la géométrie.

C’est donc naturellement que nous avons proposé de nous appuyer sur ce modèle pour proposer des modélisations combinatoires des images segmentées. La section3.2.2, qui suit, présente ces résultats.