Introduction aux VRP

Dans le chapitre 2 une introduction générale aux problèmes de tournées des véhicules (VRP en anglais) est présenté ainsi qu'une étude plus détaillée des problèmes de type VRP avec incertitudes. Les VRPs ont été largement étudiés depuis leur introduction par Dantzig et Ramser [7]. Ceci peut être expliqué par deux raisons : l'importance du transport dans les activités humaines (distribution des produits et services), et le fait que le domaine a été l'origine du développement de diérentes méthodes, exactes et approchées, pour la résolution de problèmes combinatoires.

Dans sa version de base, le VRP avec contraintes de capacité (CVRP) a comme objectif de construire un ensemble des tournées de coût minimal qui respectent les contraintes de capacité des véhicules. Le problème est déni sur un graphe complet non orienté G = (V, E). L'ensemble de n÷uds est noté V = {0, 1, . . . , i, . . . , n} et l'ensemble d'arêtes est E = {[i, j] ∀i, j ∈ V | i < j}. Le n÷ud 0 est associé à un sommet particulier appelé dépôt, et le reste des n÷uds Vc= V \ {0}représentent les clients. De plus, un ensemble de véhicules ayant la même capacité Q sont disponibles au dépôt. Par ailleurs, chaque arête dans E est associée à un coût non négatif cij, et chaque client dans Vcest asso-cié à une demande qi. La solution du problème est un ensemble de tournées visitant une et une seule fois chaque client. Chaque tournée est une séquence ordonnée de n÷uds r = {r0 = 0, r₁ = 0, . . . , r_j, . . . , rk, rk+1= 0}qui démarre et nit au dépôt. Ainsi, le coût d'une tournée particulière r est calculé par Cr=Pk

j=0cr_j,r_j+1.

Beaucoup de travaux sont consacrés au CVRP, cependant l'existence de plusieurs cas particuliers dans la réalité a donné naissance à de très nombreuses variantes. Le lecteur peut se référer au livre de Toth et Vigo [25] pour une revue de la littérature sur les variantes du CVRP. Une de ces variante

est le VRP avec fenêtres de temps (VRPTW en anglais). Le VRPTW généralise le CVRP par l'ajout des durées de trajet et de service, ainsi que par la présence de fenêtres de temps [ai, bi]sur le début de service pour tout n÷ud ∀i ∈ V . Comme le CVRP, le VRPTW peut être dénit sur le graphe G. Le VRPTW rajoute un temps de trajet tij ∀ i, j ∈ V pour chaque arête et un temps de service ti ∀ Vc

pour chaque client. Les fenêtres de temps sont classées en deux types : dures et souples [8]. La version avec fenêtres de temps dures considère le cas où les services chez les clients doivent impérativement commencer à l'intérieur de la fenêtre de temps. Par conséquent, si un véhicule arrive chez le client avant l'ouverture de la fenêtre de temps, il doit attendre jusqu'à ce moment-là. Dans le cas où le véhicule arrive après la fermeture de la fenêtre de temps, aucun service ne peut être eectué. Dans le VRPTW avec fenêtres souples, les services en dehors des fenêtres sont autorisés mais une pénalité proportionnelle à l'écart entre la date de début de service et la borne de la fenêtre de temps est souvent considérée pour ces évènements. La fenêtre de temps pour le dépôt pose une contrainte sur la date de départ et de retour à ce dernier.

Solution approaches for VRPs Exact methods Heuristics Metaheuristics Constructive Two-phase Branch and Price Branch and Price and Cut Branch and Cut Tabu Search Simulated Annealing Iterated Local Search Matheuristics Clarke & Wright Nearest Neighborhood Ant Colony Optimization Genetic Algorithms Cluster-first, route second Route-first, cluster second Approximate methods

Figure A.1 : Classication des méthodes de résolution pour les VRP.

Pour résoudre le VRPTW (et en général les VRP) beaucoup de méthodes ont été proposées. En eet, résoudre les VRPs n'est pas une tâche facile car cette catégorie de problèmes fait partie des problèmes NP-Diciles. Par conséquent, il n'existe pas d'algorithmes de complexité polynomiale qui peut les résoudre pour toute taille de problème. Les diérentes approches utilisées pour obtenir des solutions peuvent être classiés en méthodes exactes et méthodes approchées comme le montre la gure A.1. Les méthodes exactes permettent de trouver la solution optimale, cependant leurs temps d'exécution sont très élevés à partir d'une taille donnée. Ceci est d'ailleurs le principal inconvénient de ce type de méthodes. Actuellement, le CVRP est résolu pour des instances allant jusqu'à 200 n÷uds, alors que ce chire diminue à 100 n÷uds pour le VRPTW. Les méthodes approchées essaient de trouver un compromis entre la qualité de la solution et le temps d'exécution. Néanmoins, la plupart de ces méthodes n'orent aucune garantie d'optimalité de la solution obtenue. Parmi les méthodes approchées, les métaheuristiques sont très utilisées car elles donnent des solutions souvent assez proches de l'optimum.

La littérature dédiée aux VRPs continue de s'accroitre mais une grande partie des travaux suppose que les paramètres des problèmes sont connus à l'avance ou d'une façon déterministe [20]. Cependant, dans la réalité certains paramètres ne peuvent pas être connus avec certitude à cause des conditions météorologiques, les accidents, de la présence ou non de la clientèle, etc. Les travaux publiés dans la littérature montrent qu'ignorer les incertitudes conduit à des solutions infaisables et couteuses. Le

tableau A.1 présente une classication des VRPs, telle que suggérée par Pillac et al. [20] selon la qualité et l'évolution de l'information.

Table A.1 : Taxonomie des VRPs basée sur l'article de Pillac et al. [20]

Qualité de l'information

Données déterministes Données incertaines

Évolution de l'information

Données connues

à l'avance ^{Statiques et déterministes Statiques et incertaines}

Données

dynamiques ^{Dynamiques et}déterministes ^{Dynamiques et incertaines}

Dans le cas statique et déterministe, les paramètres sont considérés comme connus dès la plani-cation de la solution. Dans le cas déterministe et dynamique les paramètres (ou une partie d'entre eux) sont complètement inconnus et sont seulement révélés à des moments spéciques. Le cas avec incertitudes partage une caractéristique avec le cas dynamique, étant donné que les vraies valeurs des paramètres ne deviennent connues qu'à des moments précis. Dans le cas statique et incertain, on dispose d' informations exploitables sur l'incertitude des paramètres (leurs lois de probabilité, les inter-valles dont lesquels ils prennent leurs valeurs, etc.). Ces informations sont donc utilisées pour résoudre le problème. Finalement dans le cas dynamique et incertain, les paramètres (ou une partie d'entre eux) sont inconnus, mais comme dans le cas statique et incertain, il existe des informations relatives à ces derniers. Une autre diérence fondamentale entre les problèmes statiques et dynamiques est la façon dont laquelle les solutions sont calculées. Dans le cas statique, une solution reste non modiable quelques soient les vraies valeurs des paramètres. Dans le cas dynamique en revanche, la solution peut être constamment modiée pour s'adapter aux informations qui arrivent au fur et à mesure.

Trois approches ont été principalement utilisées pour modéliser les incertitudes des paramètres des VRPs, à savoir : la programmation stochastique, l'optimisation par intervalles, et la logique oue. L'optimisation par intervalles modélise les paramètres incertains par des intervalles de valeurs pos-sibles. L'objectif poursuivi par l'optimisation par intervalles est de trouver des solutions qui sont faisables pour toutes les réalisations possibles des paramètres [2]. Des VRPs avec incertitudes sur les demandes et les temps apparaissent dans la littérature. Adulyasak et Jaillet [1] traitent la version avec temps de trajets incertains. Les auteurs proposent une comparaison entre l'optimisation stochastique et l'optimisation par intervalle. Les auteurs montrent que les solutions robustes surpassent largement les solutions issues de l'optimisation stochastique dans le cas où les paramètres ne sont pas modélisés par la bonne loi de probabilité. Enn, la logique oue permet aussi de représenter les incertitudes en utilisant des variables oues. Certains travaux combinent deux approches en utilisant par example des lois de probabilité pour modéliser les paramètres du problème et des nombres ous pour modéliser leur espérance ou leur variance [15].

Parmi les trois approches, la programmation stochastique est la plus répandue pour résoudre les VRPs avec incertitudes. Dans cette approche, les paramètres sont modélisés par des variables aléatoires de lois connues. De ce fait, les contraintes des problèmes peuvent ne plus être respectées par les solutions. Par exemple, dans le VRP avec demandes stochastiques (VRPSD), la réalisation de la demande d'un client peut dépasser la capacité restante du véhicule. Si une contrainte n'est pas respectée par la réalisation des parametres du problème un "`échec"' est dire de se produire. Pour les considérer, deux types des modèles sont utilisés [12] : la réoptimisation et les approches à priori avec recours.

Les modèles qui utilisent la réoptimisation ne reposent pas sur une solution xe. En eet la solution est construite et modiée au fur et à mesure que les informations apparaissent. Dès révélation de ces dernières, les tournées peuvent-être réoptimisées à nouveau. Toutefois, ce type d'approche rend la coordination des véhicules assez ardue et la vitesse à laquelle les solutions nécessitent d'être fournies reste un problème.

Les méthodes du type à priori sont basées sur des solutions statiques et peuvent être divisées en deux catégories : les problèmes avec recours (SPR) et les problèmes avec contraintes probabilistes (CCP). Les premiers utilisent des actions appelées "`recours"' qui permettent de rétablir la faisabilité de la solution quand des échecs se produisent. Un exemple pour le VRPSD est de revenir au dépôt quand la demande d'un client dépasse la capacité disponible du véhicule. Après le passage au dépôt, le véhicule reprend la tournée depuis le client où l'échec s'est produit. En outre, le véhicule complète la demande restante avant de servir les clients suivants planiés dans la tournée. Les coûts associés à ce type d'actions sont rajoutés dans la fonction-objectif du problème. D'autre part, les problèmes avec des contraintes probabilistes cherchent à limiter la probabilité des échecs à un seuil. Les CCP sont recommandés quand la dénition du recours est trop dicile ou quand un niveau de service doit être garanti.

Une façon commune de classier les VRP stochastiques (SVRP) consiste à considérer les paramètres entâchés par les incertitudes. Selon Gendreau et al. [13] trois catégories peuvent être considérées : les VRPs avec demandes stochastiques (VRPSD pour VRP with Stochastic Demands), VRPs avec incertitudes sur la présence des clients (VRPSC), et les VRPs avec temps stochastiques (VRPST). Le problème avec demandes stochastiques a été le plus étudié et les modèles avec recours ont été privilégiés par apport aux modèles avec contraintes probabilistes. Le recours classique considère que lorsque la capacité d'un véhicule est épuisée, le véhicule fait un retour au dépôt pour s'approvisionner puis revient chez le client où l'échec s'est produit. D'autres recours existent pour le VRP avec la même politique de réapprovisionnement mais des visites au dépôt pouvant être eectuées avant que la capacité du véhicule ne soit atteinte. De cette façon, des économies en temps et en distance parcourue peuvent être réalisées. Ils existent d'autres recours plus complexes toutefois les recours simples ont été favorisés. Pour résoudre le VRPSD des méthodes exactes ont été proposés pour les cas où des recours simples sont utilisés. Cependant c'est les mpethodes apporchées les plus utilisés. Ces méthodes sont souvent testés sur un ensemble standard d'instances, toutefois la taille de ces dernières demeurent petites.

Les problèmes avec clientes stochastiques sont ceux dans lesquels la présence des clients est incer-taine. Quand le véhicule arrive chez le client, ce dernier peut-être présent ou non avec une certaine probabilité. Les VRPCS sont les moins étudiés parmi les VRP stochastiques. En eet, les VRP avec temps (trajet ou service) stochastiques (VRPST) ont reçu plus d'attention que les VRPCS mais de-meurent moins étudiés que les VRPSD. La plupart des travaux consacrés à cette catégorie de problèmes considèrent des fenêtres de temps sur le service. Ces fenêtres de temps peuvent être  souples  ou  dures , les premières étant largement favorisées. Ceci peut être expliqué par l'eet des fenêtres de temps dures sur les temps d'arrivée chez les clients. Généralement, les temps de trajets sont représentés par des lois qui ont des propriétés de convolution, mais les fenêtres dures empêchent l'utilisation de ces propriétés. Des problèmes qui prennent en compte les deux types des fenêtres sont les plus étudiés. Ces travaux considèrent que la date au plus tôt de service (début de fenêtre de temps) doit absolu-ment être respectée mais autorise le service après la date de fermeture des fenêtres. La complexité des VRPST explique le faible nombre de publications utilisant des méthodes exactes. L'utilisation de ces dernières est limitée aux cas dans lesquels les variables aléatoires sont discrètes, ou quand l'espace de scénarios réduit, où au cas de variables aléatoires additives (avec des convolutions possibles à calculer). De même que pour les autres VRP stochastiques, les méthodes approchées restent les plus privilégiées pour résoudre le VRP avec temps stochastiques.

La complexité des VRP avec incertitudes a limité le développement des recherches sur ce sujet ainsi que la taille des instances résolues. Toutefois, comme pour le cas déterministe, il existe un réel besoin de méthodes puissantes pour résoudre les problèmes dans des conditions réelles, autant en termes de taille, de nature de paramètres aléatoires et de contraintes complexes. Donc, dans cette thèse on propose d'étudier les VRP de nature stochastique et de développer des approches adaptées capables de résoudres des instances de grande taille. Ce travail est l'un des rares à considérer des fenêtres de

temps dures sur le service tout ayant des temps de trajet et service stochastiques.

A.2 Une méthode hybride pour les VRP avec demandes