3.5.1 Introduction :
Afin de caractériser les composants électroniques sous des contraintes thermomécaniques on a souvent besoin d’évaluer les réponses de sortie comme le déplacement et la distribution des contraintes et des déformations. La méthode d’éléments finis est une solution adéquate pour faciliter cette opération et obtenir des résultats numériques pour des structures com-plexes.
La réalisation d’un calcul en éléments finis nécessite une formalisation du problème en un modèle numérique, une évaluation au préalable du niveau de confiance relatif aux résultats et une interprétation des résultats obtenus. Ces résultats sont basés sur les données d’entrée et les hypothèses de modélisation.
Les principales difficultés de cette méthode sont situées dans deux phases. D’une part avant la mise en place du calcul lors de la préparation du modèle et d’autre part au cours de l’interprétation et l’exploitation des résultats obtenus.
Introduction à la méthode d’éléments finis 47 La méthode d’éléments finis est basée sur une discrétisation du problème par une décom-position du domaine matériel sous forme d’éléments simples.
En décomposant la structure en petits morceaux qu’on appelle éléments finis, on peut réa-liser une approximation numérique et évaluer le comportement du composant. Ces éléments finis sont connectés entre eux par des nœuds pour former un maillage.
Chaque nœud a 6 degrés de liberté possibles : 3 translations et 3 rotations. La relation entre les nœuds d’un même élément est décrite par l’équation 3.4 :
[K]
e{u}
e= {f}
e(3.4)
La matrice de raideur élémentaire [K]eest calculée à partir de la géométrie et les propriétés de l’élément. Le vecteur effort {f}e correspond aux efforts subis par l’élément. Le vecteur déplacement élémentaire {u}e est l’inconnue de cette équation. [16]
3.5.2 Etapes de la modélisation par éléments finis
Les différentes étapes pour résoudre un problème d’éléments finis peuvent être résumées en cinq étapes :
1. une discrétisation du domaine continu en sous domaines, 2. une mise en place et construction d’une approximation nodale, 3. le calcul des matrices élémentaires,
4. caractérisation des conditions aux limites, 5. résolution du problème numérique.
Avec un logiciel d’éléments finis, le traitement d’une structure peut être présenté dans les cinq principales étapes suivantes :
1. Préparation de la géométrie : En se basant sur les dimensions géométriques du compo-sant réel,
2. Choix du maillage : Le maillage dépend de plusieurs paramètres notamment de la structure étudiée, de sa géométrie, des conditions aux limites, de la précision recherchée et des outils utilisés pour réaliser le maillage,
3. Caractérisation du modèle : A cette étape nous définissons les données d’entrée relatives au modèle numérique.
– conditions aux limites, chargements, – conditions initiales,
– propriétés des matériaux,
48 CHAPITRE 3. MÉTHODOLOGIE DE FIABILITÉ PRÉDICTIVE – définition du type de l’analyse,
– définition du type d’éléments, – sélection des résultats à visualiser.
4. Exécution du calcul : Après la caractérisation du modèle, on passe à l’étape d’exécution du calcul. Le lancement de cette opération génère un fichier qui résume notamment les données d’entrée, le nombre d’itérations et les paramètres de calcul. Cette opération peut prendre plusieurs heures voire plusieurs jours pour les calculs les plus complexes. En cas d’échec du calcul, le logiciel génère un fichier de sortie qui permet d’identifier plus précisément la nature de l’erreur et éventuellement sa localisation. Cette erreur peut être par exemple une erreur d’entrée des données matériaux, un problème de convergence, etc.
5. Analyse des résultats : A la fin de l’étape de calcul, un fichier de résultats nous permet de résumer et de visualiser les résultats de sortie. Avant de valider le modèle final, il faut procéder à une étape de contrôle des résultats obtenus et la validité du modèle numérique. Ce contrôle est réalisé en mesurant la précision du modèle en évaluant par exemple la distribution du champ de contraintes et l’ordre de grandeur des résultats en se basant sur les hypothèses de départ. [22, 21]
Les simulations réalisées au cours de ces travaux sont effectuées avec le logiciel « MSC Marc/Mentat ». Cet outil est bien adapté pour modéliser et simuler des structures non li-néaires.
3.5.3 Techniques avancées de modélisation en éléments finis
Il existe plusieurs techniques avancées pour la modélisation en éléments finis parmi les-quelles on peut citer la modélisation globale-locale et la technique d’adaptation du maillage pour minimiser le temps de calcul.[16]
3.5.3.1 Modélisation globale-locale
Le maillage réalisé sur une structure peut parfois être grossier pour pouvoir bien identifier les zones critiques. Pour augmenter la précision on peut, d’une part, augmenter la finesse du maillage dans les zones critiques ; cependant cette opération pourrait être accompagnée d’une augmentation considérable du temps de calcul. D’autre part, on peut utiliser une technique de modélisation locale pour résoudre ce problème.
Cette technique consiste à réaliser des études locales dans des zones bien précises. Elle est basée sur le principe de Saint-Venant qui postule que : « Les contraintes et les déforma-tions dans une région d’un solide suffisamment éloignée des points d’application des efforts extérieurs ne dépendent que du torseur de ces efforts ». [25]
Critères de défaillance 49 Ce principe implique que les résultats d’un modèle local ne sont valables qu’à une distance éloignée de la région d’application des efforts intenses. Cette technique de modélisation locale permet donc d’avoir une meilleure précision dans les calculs et d’avoir un maillage adapté à la zone étudiée avec une réduction du coût de l’étude.
3.5.3.2 Adaptation de maillage
Les composants analysés en éléments finis contiennent souvent plusieurs couches de maté-riaux qui ont des tailles et des épaisseurs différentes. La réalisation du maillage de la structure nécessite une adaptation du maillage en fonction de la structure à étudier et une continuité de maillage entre les différentes couches pour pouvoir procéder au calcul et à l’évaluation de la structure.
La méthode d’adaptation du maillage consiste en une augmentation du nombre d’éléments au cours de l’analyse. Cette technique peut être réalisée pour des analyses linéaires ou non linéaires. Le principe consiste à diviser un élément pour créer des sous éléments de même type à l’intérieur de l’élément divisé. Ceci permet d’adapter le maillage à la variation des contraintes en temps réel pour augmenter la précision des calculs. La figure 3.7 présente un exemple simple d’adaptation. L’élément original quadrilatéral est divisé à trois niveaux afin d’avoir un maillage plus fin.
Fig. 3.7 – Exemple d’adaptation de maillage sur un élément quadrilatéral