2.3 Cas d’une horloge optique `a atomes neutres libres
2.4.2 Interrogation avec une impulsion Rabi
Fonction de sensibilit´e et coefficients de Fourier
On peut consid´erer une interrogation avec une impulsion Rabi comme le cas limite d’une interrogation Ramsey avec un temps T = 0. La fonction de sensibilit´e s’´ecrit dans ce cas pr´ecis par l’equation 2.38 pour t > 0 et est
repr´esent´ee par la figure 2.15 pour Ωτp = π :
g(t) = ( − sin[Ω(t − τp 2)] 0 < t < τp 2 0 t > τp 2 (2.38)
Sous ces conditions, g(t) est paire et donc gsn = 0. Les coefficients de Fourier
g0 et gcn sont donn´es par les expressions, en posant d = τp
Tc : g0 = 4 ΩTc[1 − cos(Ωτ2p)] gcn = 4ΩTc (ΩTc)2− (2πn)2 cos(πnd) (2.39)
Fig. 2.15 – Fonction de sensibilit´e g(t) pour une impulsion π.
ce qui se simplifie pour Ωτp = π en :
g0 = 4d π gcn = 4π/d (π/d)2− (2πn)2cos(πnd) (2.40) Le rapport g2 cn/g2
0 est repr´esent´e sur le graphe 2.16. Le comportement
asymp-totique des g2
cn est toujours en 1/n4 et ils ne d´ependent que du rapport
cyclique et non de la fr´equence de cycle.
Bruit blanc de fr´equence
Nous d´eduisons du th´eor`eme de Parseval l’effet Dick pour un bruit blanc de fr´equence : σyLLO2 (τ ) = h0 2τ π2 8d − 1 (2.41) Le tableau 2.3 donne les valeurs de l’effet Dick avec un niveau de bruit blanc
de 10−2 Hz2/Hz. Comme dans les cas pr´ec´edents, σyLLO ne d´epend que du
Fig. 2.16 – Coefficients de Fourier log(g2cn
g2
0 ) en fonction de log n pour un
rapport cyclique d = 0.65 dans le cas d’une impulsion Rabi.
Rapport cyclique d Effet Dick
0.65 1.56 × 10−16τ−1/2
0.7 1.44 × 10−16τ−1/2
0.9 1.00 × 10−16τ−1/2
0.95 9.00 × 10−17τ−1/2
0.99 8.17 × 10−17τ−1/2
Tab.2.3 – Valeurs de l’effet Dick en fonction du rapport cyclique, pour du
bruit blanc de fr´equence de l’OL de 10−2 Hz2/Hz dans le cas d’une impulsion
Rabi.
libre si 0.62 < d < 1. On remarque que contrairement aux cas des inter-rogations Ramsey-Bord´e et Ramsey, lorsque d tend vers 1, l’effet Dick ne s’annule pas. On peut donc, pour une interrogation Rabi, prendre d le plus proche de 1 possible pour voir une diminution de l’effet Dick mais celle-ci ne sera pas aussi significative que pour Ramsey et Ramsey-Bord´e.
Effet Dick ´evalu´e en fonction du rapport cyclique et de la fr´equence
de cycle : Les variances d’Allan li´ees `a l’effet Dick sont donn´ees par les
graphes 2.17 en fonction de d le rapport cyclique et fc la fr´equence de cycle.
On constate que σy,DICK diminue beaucoup moins rapidement dans le cas
Fig. 2.17 – Variance d’Allan li´ee `a l’effet Dick pour une impulsion Rabi dans le cas de notre laser ultra-stable.
Effet Dick ´evalu´e en fonction du temps mort et de la fr´equence
de cycle : Les stabilit´es li´ees `a l’effet Dick dans le cas de notre laser ultra-stable sont repr´esent´ees sur les graphes 2.18. Il existe plus d’un ordre de grandeur entre les stabilit´es calcul´ees pour une interrogation Ramsey et une interrogation Rabi. En effet, pour une interrogation de Ramsey, lorsque
T τp et pour des temps morts tels que Tm T , la fonction de sensibilit´e
est quasi constante (g(t) ∼ 1) en dehors de la dur´ee des deux impulsions. La d´egradation de la stabilit´e qui en d´ecoule est alors moindre pour une interrogation Ramsey que pour une impulsion Rabi, pour laquelle la fonction de sensibilit´e est modul´ee. Le graphe 2.19 illustre bien cette diff´erence entre les deux types d’interrogation : il repr´esente la fonction de sensibilit´e sur deux cycles d’horloge pour des interrogations de Ramsey et de Rabi. Cette interrogation de Rabi peut n´eanmoins ˆetre int´eressante `a tester : en effet, le profil obtenu pour une interrogation Rabi est moins large que l’enveloppe des franges de Ramsey-Bord´e (donn´ee par 1/τ ) ce qui a pour cons´equence une dispersion en fr´equence moins grande et donc la possibilit´e d’exciter d’autres transitions proches est plus faible que dans le cas Ramsey.
2.5 Conclusion
Nous avons vu dans ce chapitre, que nous pouvons atteindre une
stabi-lit´e d’horloge limit´ee par effet Dick de quelques 10−16 `a 1 s avec un laser
Fig. 2.18 – Rapport S/B en (a) et variance d’Allan li´ee `a l’effet Dick en (b) pour une impulsion Rabi dans le cas de notre laser ultra-stable.
Fig.2.19 – Fonction de sensibilit´e g(t) repr´esent´ee sur deux cycles d’horloge
pour une fr´equence de cycle de 1 Hz et un temps mort de 2 ms dans le cas des interrogations de Ramsey et de Rabi. On constate que g(t) est quasiment constante pour une interrogation de Ramsey alors qu’elle est modul´ee pour une interrogation de Rabi.
l’art concernant la r´ealisation de celui-ci. Diff´erents types d’interrogation des atomes ont ´et´e discut´es dans deux cas particuliers : une horloge optique `a atomes neutres libres et une horloge optique `a atomes pi´eg´es. On se rend compte que pour atteindre des stabilit´es ´elev´ees, on peut jouer `a la fois sur l’optimisation du laser ultra-stable et sur celle des s´equences tempo-relles : celles-ci peuvent ´eventuellement ˆetre r´ealisables exp´erimentalement `a condition d’optimiser certains ´el´ements-cl´es de l’exp´erience, en particu-lier la source d’atomes froids et le pi`ege dipolaire. En effet, les param`etres influant sur la stabilit´e de l’horloge sont le temps mort et la fr´equence de cycle. Il serait ainsi int´eressant d’avoir un laser suffisamment stable pour avoir la possibilit´e de choisir des fr´equences de cycles basses qui sont faciles `a mettre en oeuvre (≤ 10 Hz) avec un temps mort relativement court :
plus le temps mort est court, meilleure est la stabilit´e. Ajoutons
´egalement que lorsque le rapport cyclique d tend vers 1, le laser asservi est plus stable que le laser libre. A l’heure actuelle, avec notre source d’atomes froids (voir chapitre 4), il faut un minimum de 2 ms aux atomes pour traver-ser le ralentisseur Zeeman et encore 2 ms sont indispensables pour capturer
∼ 107 atomes dans le PMO. A cela, on doit ajouter le temps de transfert
des atomes du PMO vers le pi`ege dipolaire et le chargement de ce dernier. Le pi`ege dipolaire ´etant en cours de construction, il est impossible de se faire une id´ee sur ces temps. On peut seulement penser qu’une dizaine de millisecondes de temps mort semble une dur´ee incompressible pour notre exp´erience. Avec ce temps mort de 10 ms et une fr´equence de cycle de 5
Hz, la stabilit´e de l’horloge esp´er´ee est inf´erieure `a 10−15τ−1/2 soit un ordre
de grandeur mieux que les meilleures horloges actuelles. Il est ´egalement possible d’envisager diff´erentes strat´egies d’interrogation pour am´eliorer la stabilit´e qui consistent `a recycler les atomes d’une interrogation `a l’autre. Cette ´etude pourrait ˆetre approfondie une fois les exp´eriences de capture des atomes dans le pi`ege dipolaire effectu´ees afin de s’appuyer sur des
pa-ram`etres r´eels. Il faut ´egalement souligner le fait que diminuer Tm peut
d´egrader l’exactitude de l’horloge : une solution consisterait `a ´etudier deux echantillons d’atomes, l’un permettant de r´ealiser l’exactitude et l’autre, la stabilit´e. De ce chapitre, on peut ´egalement conclure que l’asservissement du laser sur les atomes peut ˆetre un moyen efficace pour r´ealiser une source laser extrˆemement stable. L’effet Dick ´etant li´e `a la nature puls´ee de l’hor-loge, on peut aussi envisager de r´ealiser une horloge optique continue. Une telle configuration pour une horloge micro-onde a ´et´e d´ej`a test´ee avec un jet continu d’atomes froids de c´esium [72].
R´ealisation d’un laser
ultra-stable
3.1 Introduction
Dans le chapitre pr´ec´edent, nous avons soulign´e l’importance de la pu-ret´e spectrale du laser d’interrogation pour sonder la transition d’horloge. L’objectif que nous nous sommes fix´e est d’atteindre un niveau de bruit de
fr´equence du laser de l’ordre de 10−2Hz2/Hz sur un domaine de fr´equence
allant de quelques Hz `a quelques dizaines de kHz. Initialement la densit´e
spectrale de bruit de fr´equence du laser non asservi est sup´erieure `a 108
Hz2/Hz sur ce mˆeme intervalle. Pour ce faire, le gain de l’asservissement
du laser doit ˆetre au moins de 100 dB et la r´ealisation de la r´ef´erence doit ˆetre compatible avec ce niveau de bruit. Il est donc n´ecessaire en particulier que la bande passante soit aussi grande que possible, c’est-`a-dire dans notre cas, de l’ordre du MHz. Ce chapitre est ainsi consacr´e `a la r´ealisation d’un tel laser grˆace `a la technique de Pound-Drever-Hall [73, 74], que nous allons pr´esenter dans une premi`ere partie.
Cette technique s’appuie sur l’asservissement du laser sur une cavit´e Fabry-Perot grˆace `a une modulation de phase `a haute fr´equence utilisant la r´eponse en r´eflexion de la cavit´e. L’avantage d’une telle technique r´eside dans la bande passante de l’asservissement qui est plus grande que la largeur de la r´esonance du pic de la cavit´e. Cette m´ethode d’asservissement a ´et´e utilis´ee avec grand succ`es par l’´equipe de Bergquist (NIST) : la largeur de raie du laser est de 0.6 Hz pour des temps de mesure de 32 s et la stabilit´e relative
en fr´equence du laser a ´et´e mesur´ee `a 3 × 10−16 `a 1 s [47]. D’autres ´equipes
utilisent des r´esonateurs optiques cryog´eniques [75] : un laser Nd :YAG est stabilis´e sur une cavit´e Fabry-P´erot en saphir refroidie `a l’h´elium liquide et pr´esente une stabilit´e de 0.7 Hz pour des temps d’int´egration de 20 s. Citons
´egalement l’exp´erience VIRGO, dont le laser Nd :YAG a un niveau de bruit
blanc de fr´equence `a quelques 10−6Hz2/Hz pour des fr´equences sup´erieures
`a 1 kHz [76].
Dans un deuxi`eme temps, nous d´ecrirons le montage exp´erimental op-tique, la cavit´e Fabry-P´erot de grande finesse (PF), ainsi que l’asservisse-ment du laser sur cette cavit´e. Nous exposerons les mesures qui ont servi `a caract´eriser ce syst`eme et des pistes possibles d’am´elioration.