Interpr´ etations ` a l’aide du mod` ele de Birks

Le mod`ele de Birks exprime la production de lumi`ere due `a l’interaction d’une particule charg´ee dans un scintillateur. Les faisceaux de photons irradiant DosiRat mettent en mouve- ment des ´electrons secondaires dans le scintillateur, provoquant l’´emission de lumi`ere. Afin de calculer la sensibilit´e de notre scintillateur suivant le mod`ele de Birks, la sensibilit´e `a un ´electron sera calcul´ee puis convolu´ee aux diff´erents spectres d’´electrons secondaires mis en mouvement par les faisceaux du X-Rad 225Cx dans DosiRat.

4.4.2.1 Sensibilit´e `a un ´electron

Le mod`ele de Birks d´efinit le rendement lumineux d’un scintillateur en fonction du d´epˆot d’´energie d’un ´electron. La lumi`ere totale g´en´er´ee par l’interaction d’un ´electron d’´energie E d´eposant toute son ´energie dans le scintillateur est alors obtenue en int´egrant l’´equation (4.1.1) sur le parcours de l’´electron :

L(E) = Z E 0 S 1 + kB dE dx(E) dE (4.4.5)

o`u S est la sensibilit´e absolue (nombre de photons de scintillation par ´energie d´epos´ee), kB est le facteur de quenching et dE

dx(E) le pouvoir d’arrˆet de l’´electron d’´energie E. La sensibilit´e `a cet ´electron s’exprime alors :

SBirks(E) =

L(E)

soit la quantit´e de lumi`ere totale ´emise L(E) par ´energie absorb´ee E. Deux param`etres sont importants dans le calcul de cette grandeur :

- les pouvoirs d’arrˆet de l’´electron dE

dx, qui augmentent lorsque l’´electron perd de l’´energie. Ils sont accessibles dans des bases de donn´ees et d´ependent du mat´eriau. - la borne inf´erieure de l’int´egrale de l’´equation (4.4.5). C’est l’´energie minimale de

l’´electron, appel´ee ´energie de coupure Ecp, en dessous de laquelle nous consid´erons

qu’il d´epose toute son ´energie dans le scintillateur. Ecp d´efinit l’arrˆet de production de

scintillation et est li´e `a la base de donn´ees des pouvoirs d’arrˆet.

Figure 4.4.3 : Pouvoir d’arret des ´electrons dans le polystyr`ene (NIST ESTAR, Akkerman et Akkerman) et dans l’eau (Geant4-DNA) pour diff´erentes ´energie minimale Ecp.

Comme ´evoqu´e dans le chapitre 2, la formule de Bethe, exprimant le pouvoir d’arrˆet des ´electrons dans un mat´eriau, atteint les limites de sa validit´e pour des ´energies autour de 0,6 keV (§ 2.2.2). La base de donn´ees NIST fournit des pouvoirs d’arrˆet dans le poly- styr`ene jusque 1 keV. Plusieurs auteurs ont d´evelopp´e des mod`eles pour modifier la formule de Bethe, bas´es entre autre sur des donn´ees exp´erimentales [140], [141], [38]. Les travaux de Akkerman et Akkerman [140] donnent les pouvoirs d’arrˆet d’´electrons jusque 0,02 keV dans le polystyr`ene. Leurs donn´ees sont compl´ementaires de celles de NIST en dessous de 10 keV. Pour leur impl´ementation dans l’outil de simulation Geant4-DNA, des pouvoirs d’arrˆet des ´electrons dans l’eau jusque 0,01 keV sont propos´es dans les travaux de Ziad Francis et al [141]. La figure 4.4.3 montre les pouvoirs d’arrˆet issus des diff´erentes bases de donn´ees cit´ees.

En utilisant ces trois bases de donn´ees ainsi que leurs ´energies de coupure respectives, SBirks(E) a ´et´e calcul´e it´erativement pour des ´energies d’´electrons allant de 1 `a 225 keV et

pour des valeurs de kB de 1 `a 30 mg MeV−1 cm−2.

La figure 4.4.4 repr´esente SBirks(E) en fonction de l’´energie initiale de l’´electron, pour

diff´erentes valeurs du param`etre de quenching kB, uniquement pour la base de donn´ees NIST (Ecp=1 keV). La sensibilit´e diminue avec l’´energie de l’´electron du fait de l’augmentation

4.4 D´ependance en ´energie

Figure 4.4.4 : Sensibilit´e `a un ´electron selon l’int´egration de la formule de Birks (´equation (4.1.1)) en fonction de l’´energie initiale de l’´electron pour diff´erents param`etres de quenching kB. Base de donn´ees de pouvoirs d’arrˆet, NIST ESTAR, Ecp=1 keV.

du pouvoir d’arrˆet, ce qui affecte directement la production de scintillation. Cependant pour des valeurs ´elev´ees d’´energie initiale (faible pouvoir d’arrˆet) la sensibilit´e tend vers S, la sensibilit´e absolue , fix´ee ici `a 1. Par ailleurs, la sensibilit´e est constante pour un faible kB (1 mg MeV−1 cm−2) tandis qu’elle varie de plus de 70 % pour un kB ´elev´e (30 mg MeV−1 cm−2).

4.4.2.2 Sensibilit´e `a un spectre de photons

Pour obtenir la sensibilit´e `a nos diff´erentes qualit´es de faisceau, SBirks(E) a ´et´e int´egr´ee

sur le spectre des ´electrons secondaires mis en mouvement dans la fibre. La sensibilit´e `a une qualit´e de faisceau est donc d´efinie par :

SBirks(Q) =

RE

0 Φ(E) × E × SBirks(E) dE

RE

0 Φ(E) × E dE

(4.4.7)

o`u Φ(E) est la fluence des ´electrons secondaires d’´energie E mis en mouvement par le spectre de photons de la qualit´e de faisceau Q.

Les spectres d’´electrons secondaires dans la fibre scintillante, n´ecessaires au calcul de SBirks(Q), ont ´et´e obtenus par simulations Monte Carlo `a l’aide de GATE, avec la g´eom´etrie

sch´ematis´ee sur la figure 4.4.5. Les diff´erents composants de la fibre scintillante ont ´et´e mod´elis´es par un cylindre de polystyr`ene de 970 µm de diam`etre et 15 mm de long, repr´esentant le cœur. Ce cylindre est entour´e d’un anneau en PMMA d’une ´epaisseur totale de 30 µm.

Les spectres de photons de chaque qualit´e de faisceau du X-Rad 225 Cx, simul´es dans le chapitre 3, ont ´et´e utilis´es ici comme source. Cette source, plane carr´ee, est plac´ee tr`es proche du scintillateur, `a 0,6 mm au dessus de la gaine de PMMA. En effet, les spectres utilis´es ont ´et´e simul´es `a l’isocentre, il convient donc de les r´eg´en´erer ici au plus proche

Figure 4.4.5 : Sch´ema de la simulation Monte Carlo pour la g´en´eration du spectre en ´energie des ´electrons secondaires dans le coeur de la fibre scintillante, irradi´ee par un spectre de photons (illustr´e en vert) issu d’une source plane.

de l’isocentre. Ceci permet ´egalement de r´eduire le temps calcul. L’´energie de coupure des ´electrons a ´et´e fix´ee pour un d´eplacement limite de 1×10−3mm dans le cœur, afin de simuler les ´electrons de basses ´energies provenant des diffusions Compton. Pour chaque simulation, 2 ×109_{photons ont ´et´e g´en´er´es al´eatoirement `a partir de la source (environ 12 h de temps de}

calcul par spectre). Un spectre d’´electrons secondaires Φ(E) a ainsi ´et´e obtenu pour chaque spectre de photon associ´e aux diff´erentes qualit´es de faisceau du tableau 4.4.1. La figure 4.4.6 repr´esente, pour 6 de ces qualit´es de faisceaux, les spectres des ´electrons secondaires dans la fibre, compar´e au spectre de photon l’ayant g´en´er´e. Les intensit´es ont ´et´e normalis´ees `a l’aire sous chaque courbe dans un souci de visualisation. Ainsi, le ratio du nombre d’´electrons par rapport au nombre de photons n’a pas de signification physique.

4.4.2.3 Ajustement du mod`ele aux donn´ees

La sensibilit´e calcul´ee `a l’aide du mod`ele de Birks peut alors ˆetre compar´ee `a la sensibilit´e intrins`eque exp´erimentale de DosiRat. Cette comparaison permet d’une part de valider l’utilisation de ce mod`ele pour d´ecrire le ph´enom`ene de scintillation en fonction du pouvoir d’arrˆet, et d’autre part d’en d´eduire le param`etre de quenching associ´e `a notre fibre BCF- 12. Ainsi, `a partir des spectres d’´electrons et de SBirks(E), SBirks(Q) (´equation (4.4.7)) a

´et´e calcul´e pour les diff´erentes bases de donn´ees de pouvoirs d’arrˆet et un kB allant de 1 `

a 30 ×10−3 cm MeV−1 puis compar´e `a εpolys. La valeur de kB optimale, repr´esentative de

la sensibilit´e exp´erimentale de DosiRat, a ensuite ´et´e d´etermin´ee par minimisation du χ2_,

d´efini par : χ2 = 1 NQ X NQ εpolys(Q) − SBirks(Q)
2 σ2 (4.4.8)

o`u σ est l’incertitude exp´erimentale et NQ le nombre de points exp´erimentaux, 20 qualit´es

de faisceau dans notre cas.

L’´evolution du χ2 _{en fonction de la valeur du param`etre kB est repr´esent´ee sur la figure}

4.4.7 pour les diff´erentes bases de donn´ees. kB est exprim´e en mg MeV−1 cm−2 car multipli´e par la densit´e du polystyr`ene (1,06).

Le tableau 4.4.2 pr´esente les valeurs de χ2

min et le kB optimal qui en d´ecoule pour chacune

4.4 D´ependance en ´energie

Figure 4.4.6 : (a)(c)(e) Spectres de photons et d’´electrons secondaires dans la fibre scintillante pour les faisceaux de tension 80, 120 et 225 kV respectivement, filtr´es avec 0,3 mm Cu. (b)(d)(f) Spectres de photons et d’´electrons secondaires dans la fibre scintillante pour les faisceaux de tension 80, 120 et 225 kV respectivement, filtr´es avec 2 mm Al.

Figure 4.4.7 : Courbes de χ2 _{(´equation (4.4.8)) en fonction du param`etre kB, obtenues par}

le calcul de la sensibilit´e avec les bases de donn´ees de pouvoir d’arrˆet de NIST, Akkerman et Akkerman et Geant4-DNA ainsi que diff´erentes ´energies de coupure de l’´electron.

lit´e obtenues `a l’aide du mod`ele de Birks sont repr´esent´ees avec les courbes de sensibilit´es exp´erimentales sur la figure 4.4.8.

Table 4.4.2 : Param`etre de quenching kB minimisant le χ2 _{entre la sensibilit´e calcul´ee selon}

le mod`ele de Birks et la sensibilit´e de DosiRat, pour diff´erentes bases de donn´ees et ´energies de coupure impliqu´ees dans les calculs.

Base de donn´ees Energie coupure´ Ecp (keV) χ2 min kB (mg MeV−1cm−2) NIST ESTAR 1 0,131 11,14 Akkerman et Akkerman 0,02 0,126 10,27 Geant4-DNA 0,01 0,125 11,11

L’allure des sensibilit´es calcul´ees concorde tr`es bien avec celle mesur´ee, except´e pour les faisceaux de plus faible ´energie (40 et 60 kV). `A ces ´energies, l’incertitude sur les spectres simul´es est importante, comme cela a ´et´e d´emontr´e dans le chapitre 3, lors des compa- raisons avec les CDA et les rendements mesur´es. N´eanmoins, pour l’ensemble des autres qualit´es de faisceaux, l’accord est tr`es bon, confirmant la validit´e du mod`ele de Birks pour mod´eliser la scintillation en r´eponse `a l’irradiation par des spectres de photons. La faible variation des kB en fonction de la base de donn´ees de pouvoirs d’arrˆet utilis´ee ne permet de conclure sur la l´egitimit´e d’une base de donn´ees par rapport `a l’autre. Ainsi, un kB moyen de 10,84 ± 0,49 mg MeV−1cm−2 a ´et´e retenu pour repr´esenter le quenching dans DosiRat.

Notons la forme particuli`ere de la courbe de sensibilit´e. Le minimum autour de 50 keV est li´e au minimum local dans l’´energie des ´electrons secondaires pr´esents dans la fibre, comme le montre la courbe de la figure 4.4.9, d´ej`a vue au chapitre 2. Ce minimum est li´e `a la

4.4 D´ependance en ´energie

Figure 4.4.8 : Sensibilit´es exprimentales εpolys(Q) et obtenues par le mod`ele de Birks SBirks(Q)

avec le kB optimal (tableau 4.4.2), en fonction de l’´energie moyenne des faisceaux. Les sensibilit´es sont normalis´ees `a la sensibilit´e `a 225 kV, filtration cuivre, 85 keV ´energie moyenne.

Figure 4.4.9 : Energie moyenne des ´electrons secondaires mis en mouvement dans du poly- sty`erene par des photons mono-´energ´etiques. Calculs `a partir des sections efficaces [35].

transition dans l’interaction dominante des photons, entre la diffusion Compton et l’effet photo´electrique. Cela se traduit par un quenching plus marqu´e du fait du plus haut pouvoir d’arrˆet des ´electrons. De la mˆeme fa¸con, lorsque l’´energie des ´electrons secondaires atteint un maximum local autour de 30 keV un regain de la sensibilit´e est observ´e.