Interprétations de la dynamique longitudinale du spectre d'instabilité modulationnelle

En s'appuyant sur l'expression analytique finale du gain linéaire, donnée par l'équation (2.45), nous pouvons remarquer que celle-ci, exprimée à une pulsation fixe , est une somme de fonctions sinusoïdales en z. Ainsi, pour chaque lobe de MI, il existe une valeur de fréquence qui supprime la dépendance en z dans le sinus de l'équation (2.45). Cette condition est définie pour les valeurs de q et k

le gain linéaire présente une valeur constante: l'amplification paramétrique moyenne est de forme exponentielle. Ces fréquences spécifiques sont données par les solutions de la relation de quasi-accord de phase et notées QPM_k 2F_kQPM. Rappelons que nous avons restreint l'étude à la dispersion d'ordre deux, mais il est possible d'étendre le modèle à tous les ordres pairs. Le terme indépendant de z nous permet donc de connaître le gain après une distance de propagation équivalent à un nombre entier n de périodes de modulation, tel que :





( k, ) exp ( k)

G  LnZ  g  L (2.46)

dépendante du gain linéaire moyen de la kième composante spectrale, dont l'expression est donnée par :

2 2 0 ( ) 2 2 / A k k k g P J Z    _    _{ }   (2.47)

Notons que ce gain paramétrique est toujours plus faible que celui d’une fibre uniforme où g2



obtenir l'équation (2.47), nous avons fixé la constante Kq k  +/2 comme condition initiale. Ce choix se justifie par la maximisation naturelle du gain, phénomène similaire dans les fibres uniformes en fixant le désaccord de phase initial à +/2 [90], [101].

Dans le but d'illustrer ce mécanisme de formation, nous avons limité l'étude aux deux premiers lobes de MI mais elle est valable pour toutes les composantes spectrales. Premièrement, la courbe en trait plein noir de la figure 30-(a) montre l'évolution du gain de la première composante spectrale (k +1) obtenue après intégration numérique du système d'équations différentielles complet du modèle à trois ondes tronqué, en négligeant l'atténuation. Une résolution de la GNLSE correspondante nous donne exactement la même évolution mais elle n'est pas représentée sur ce graphique par souci de clarté. Le terme de gain uniforme est représenté en trait plein bleu (la fonction de Bessel J1), les courbes en traits

pointillés bleus et en points bleus correspondent aux termes oscillants de plus grande amplitude (les fonctions de Bessel J_1 et J₀), et la courbe en rouge représente la somme totale. Nous avons limité le calcul à ces trois termes puisque la contribution des autres fonctions de Bessel est négligeable dans cet exemple.

Figure 30 - (a) Evolution du gain du premier lobe de MI calculée à partir de l'équation (2.42) (en trait plein rouge) avec la contribution de J₁ J₀ J_1 (le gain moyen + les termes oscillants), pour J₁ seul (trait plein bleu), pour J₀ seul (points bleus), et pour J_1 seul (traits pointillés bleus). Ces tracés ont été réalisés pour la valeur théorique 1

QPM k

F_  2.63 THz (équation (2.20)). La courbe en trait plein noir est calculée à partir du système d'équations différentielles du modèle à trois ondes tronqué (équations (2.34-37)) pour une valeur de

1

Simu k

F_  2.93 THz. (b) Evolution de la fonction (_k1, )z calculée avec le modèle analytique (trait plein rouge) et par la résolution numérique (équations (2.34-37)) (trait plein noir). (c-d) Même représentation pour le deuxième lobe de MI en tenant compte des contributions de J₂  J₁ J₀ J_1J_2 (le gain moyen + les termes oscillants), pour J₁ seul (trait plein bleu), pour J₀ seul (points bleus), et pour J_1 seul (traits pointillés bleus). La valeur théorique est de 2

QPM k

F_  4.49 THz (équation (2.20)). La courbe en trait plein noir est calculée pour une valeur de F_kSimu_2  4.61 THz.

Un bon accord est obtenu en comparant l'évolution obtenue avec notre modèle analytique (en rouge) et celle déduite des simulations numériques (en noir), ce qui confirme la validité de nos hypothèses et la précision de notre méthode. Notons que la fréquence centrale théorique du lobe (F_kQPM_1  2.63 THz)

est légèrement différente de celle numérique ( Simu₁ k

F_  2.93 THz) pour les mêmes raisons que celles

présentées dans le paragraphe 3.2.3 mettant en évidence les limitations de la relation du QPM (cette remarque est également valable pour le deuxième lobe de MI étudié par la suite). Comme nous pouvons le constater sur la figure 30-(b), au cours de chaque période de modulation, la phase d'amplification est caractérisée par un désaccord de phase





La dynamique de la deuxième composante spectrale (k +2) est présentée sur la figure 30-(c). Le même raisonnement que celui formulé pour le premier lobe est valable. Le terme associé à la fonction de Bessel J₂ nous donne l'amplification exponentielle moyenne (trait plein bleu). Les autres termes correspondent au caractère oscillant de gain total (J_2J_1 J₁ J₀). Un très bon accord est également obtenu entre les résultats issus de notre modèle analytique et des résolutions numériques. Toujours pour des raisons de clarté, nous avons représenté uniquement les termes associés à J1 et J1 sur la figure 30-

(c). Nous obtenons dans ce cas, deux phases d'amplification et deux phases de désamplification par période de modulation. L'évolution de la phase est représentée sur la figure 30-(d) et présente une évolution plus complexe que celle correspondant au premier lobe. Le saut de phase total est cette fois-ci égal à 4 par période. Au regard de l'ensemble des résultats présenté dans la figure 30, l'accord entre les simulations numériques (en noir), et notre modèle analytique (en rouge) est très bon aussi bien pour l'évolution du gain au cours de la propagation que pour l'évolution de la phase. D'un point de vue général, la _kième _{composante spectrale présente les particularités suivantes, au cours d'une période de modulation :}

 La variation de sa phase relative vaut 2 k .

 La dynamique correspond à k phases d'amplification et k phases de désamplification.

La position spectrale de chaque lobe de MI (Fk) peut être simplement modifiée en ajustant la valeur de la

périodicité du profil de GVD (de la même manière que dans un réseau de diffraction pour la position des différents ordres), alors que le gain peut être modifié indépendamment en ajustant le rapport 2 / 2

A

  d'après l'équation (2.47) (semblable à l'efficacité de la diffraction d'un ordre donné). Cependant, il est impossible de s'affranchir totalement des phases de désamplification au cours de la propagation de chaque fréquence de MI. Nous pouvons seulement les réduire puisqu'il est impossible d'annuler tous les termes oscillants (i. e. toutes les fonctions de Bessel) de l'équation (2.45) de manière simultanée.

4.2

Evolution du spectre d'instabilité

modulationnelle en fonction de la valeur de

la dispersion moyenne

Après avoir élaboré cet outil analytique simple et rapide d'utilisation, nous allons comparer ses prédictions avec des simulations numériques et des expériences. Pour réaliser cette étude, nous avons choisi d'observer l'évolution du spectre de MI en fonction de la valeur moyenne de la GVD (2), en

régime de GVD normale et anormale.