Interpolation

La fonction de l’étape d’interpolation est d’augmenter la fréquence d’échantillonnage Fe

du signal d’entrée Ve nécessaire à la modulation Σ∆ en aval, de repousser les motifs répétés du spectre du signal d’entrée numérique à plus haute fréquence et ainsi minimiser les pertes par conduction hors bande dans la charge. La réalisation de l’interpolation par OSR consiste en l’insertion de (OSR − 1) échantillons entre deux échantillons successifs du signal à interpoler. Le calcul de ces (OSR − 1) échantillons se fait en insérant (OSR − 1) échantillons nuls puis en f ltrant passe bas à F e/2 af n de moyenner le signal [107]. Af n de conserver l’amplitude du signal d’entrée, il faut compenser l’atténuation du signal dû aux (OSR − 1) échantillons nuls et donc multiplier le signal par un gain de valeur OSR. Ce principe, ainsi que l’allure temporelle des différents signaux sont représentés sur les f gures 3.20 et 3.21.

FIGURE 3.20 – Principe d’une opération d’interpolation

Le f ltrage passe bas est l’opération délicate de ce procédé. Pour une application audio, le f ltre doit être à phase linéaire af n de ne pas déformer l’enveloppe temporelle du signal. Soit H la fonction de transfert du f ltre, si H est à phase linéaire, alors :

ϕ H ejω

= kω (k ∈ ℜ)

Lorsqu’un f ltre présente une phase linéaire, alors son retard de groupe G est constant, et par conséquent, l’effet de la phase sur le signal est un simple décalage temporel. Les f ltres à Ré-ponse Impulsionnelle Finie (RIF - FIR pour Finite Impulse ResRé-ponse en anglais) permettent de réaliser des f ltres à phase linéaire. Elle sera assurée si :

h(^N

2 − i) = h(^N₂ + i) i ∈ 

0 −^N₂ 

FIGURE 3.21 – Signaux intermédiaires lors d’une opération d’interpolation - OSR=3 où N représente le nombre de point de la réponse impulsionnelle et h(i) le coeff cient i. Ce type de f ltre produit un retard de N échantillons. Les f ltres RIF sont des f ltres discrets non récursifs, c’est à dire ne possédant pas de boucle dans leur structure. Leur équation de récurrence s’écrit :

y(n) =

N

X

i=0

h_i× x(n − i)

Af n de minimiser la taille du f ltre, l’interpolation par un OSR de 8 sera réalisée en trois étapes. Le f ltre d’interpolation réalisé sera donc un système à cadences multiples comportant trois étapes d’interpolation par deux. Le f ltre comportant le plus de coeff cients qui est le pre-mier dans la chaîne travaille à fréquence minimale ce qui permet d’optimiser la consommation statique du procédé [108, 109]. La synthèse des coeff cients de ces f ltres a été réalisée sous Matlab, pour obtenir un ensemble avec ±0.1dB d’oscillation en bande passante et 60dB d’at-ténuation hors bande. Les f gures 3.22(a) et 3.22(b) illustrent les réponses en fréquence de la cascade de f ltres.

0 50 100 150 200 −150 −100 −50 0 Amplitude (dB) −400 −300 −200 −100 0 Frequence (kHz) Phase (rad) (a) 0 − 192kHz 0 5 10 15 20 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.4 Frequence (kHz) Amplitude (dB) (b) 0 − 24kHz

FIGURE 3.22 – Filtre FIR d’interpolation : réponse fréquentielle globale

Les f ltres nommés F IR1, F IR2 et F IR3 sont composés respectivement de 37, 12 et 5 co-eff cients, calculés par le programme Matlab donné en annexe C. Les réponses fréquentielles de ces trois f ltres sont illustrées sur les f gures 3.23(a), 3.23(b) et 3.23(c). La courbe en pointillée correspond aux coeff cients entiers et la courbe continue aux coeff cients quantif és sur 16 bits.

0 1 2 3 4 5 x 104 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20

Filtre FIR1 interpolation *4

f(Hz) Sv(dB) (a) F IR1 - ×2 0 1 2 3 4 5 x 104 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20

Filtre FIR2 demi bande interpolation *2

f(Hz) Sv(dB) (b) F IR2 - ×2 0 1 2 3 4 5 x 104 −180 −160 −140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 0 20

Filtre FIR2 demi bande interpolation *2

f(Hz)

Sv(dB)

(c) F IR3 - ×2 FIGURE3.23 – Filtre FIR d’interpolation : réponse fréquentielle locale La chaîne d’interpolation globale est illustrée sur la f gure 3.24.

FIGURE 3.24 – Structure de la chaîne d’interpolation

Dans le but de minimiser le nombre de portes logiques élémentaires requises par la réali-sation de l’interpolateur, une seconde approche, dite interpolation linéaire par morceaux a été étudiée et implémentée. Il s’agit de calculer la différence ∆ entre deux échantillons successifs et de rajouter ∆/OSR entre les échantillons. Le principe de cette opération est illustré f gure

3.25.

FIGURE 3.25 – Principe d’interpolation linéaire par morceau

L’intérêt de cette approche est qu’elle peut être réalisée très facilement par une structure de logique séquentielle directe. En contre partie, la linéarité du procédé n’est plus parfaite. En effet, cette méthode apporte du contenu haute fréquence due aux cassures présentes sur le signal interpolé Vs à cause de l’approximation linéaire entre deux échantillons. Les non linéaritées apportées étant hautes fréquences, elles ne sont pas génantes en bande audio. Une interpolation par OSR = 8 linéaire par morceau est donc réalisée par la structure logique suivante (f g 3.26) :

Cette approche réalise un f ltre d’interpolation dont le gabarit est de type sinus cardinal d’ordre deux dont les noeuds sont situés aux fréquences multiples de 48kHz. En l’état, l’atté-nuation en bande passante est importante car le lobe principal de la fonction f : x 7→ sinc(x)2

décroit rapidement. Ainsi, un f ltre FIR de type biquad corrigeant cette atténuation à été réa-lisé à la suite de la structure présentée sur la f gure 3.26. Un f ltre biquad est un f ltre dont la fonction de transfert HBQ est le quotient de deux systèmes du second ordre (d’où le terme bi-quadratique) présentant tous deux un amortissement modéré (typiquement, un ammortissement de m=0.7 est retenu pour les deux systèmes). Ce f ltre est donc de la forme :

H_BQ(p) = ^N(p) D(p) ⁼ k2p2 + k1p + k0 p2 +_ω^m 0p + ω2 0 (3.38) La fréquence propre f0N de N(p) est choisie inférieure à celle de D(p) af n d’obtenir le gabarit suivant :

FIGURE 3.27 – Gabarit d’un f ltre biquad

La méthode de calcul des coeff cients du f ltre biquad permettant de compenser parfaitement l’atténuation du f ltre sinc, ainsi que le gabarit du f ltre obtenu sont détaillés dans l’annexe C. Ce f ltre est constitué de 9 coeff cients. Les réponses fréquentielles de l’interpolateur linéaire par morceaux et du f ltre biquad dans la bande audio sont donnés sur les f gures 3.28(a) et 3.28(b).

0 0.5 1 1.5 2 x 104 −10 −8 −6 −4 −2 0 2 F (Hz) dBV

Output Spectrum of 1V 1kHz discrete sine @Fs & @OSR.Fs − OSR=8 Interpolation lineaire

(a) Interpolateur (type sinc2)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 104 −1 0 1 2 3 4 5 6

Sincx compensation filter spectrum

f(Hz)

Amplitude(dB)

Reponse correcteur

(b) Filtre correcteur biquad

La chaîne d’interpolation retenue à donc la structure suivante de la f gure 3.29 et présente une réponse en bande attenuée type sinc2avec une oscillation en bande audio égale à ±0.1dB.

FIGURE 3.29 – Structure de la chaîne d’interpolation réalisée