2.2 Transport de la surface front-tracking
2.2.2 Interpolation des vitesses des marqueurs lagrangiens
V(??,n+1)
m correspondent aux vitesses aux positions ¯x?
m et ¯x??
m et au temps t(n+1).
Elles sont calculées en interpolant les vitesses des nœuds de la grille eulérienne et en utilisant la méthode d’extrapolation d’Adams-Bashforth pour obtenir ces
vi-tesses au temps a priori inconnu t(n+1).
Schéma à pas multiples (Adams-Bashforth) :
Le principe de ce schéma à pas multiples est d’obtenir une dérivée d’ordre supérieur à 1 en utilisant des valeurs du second membre de l’équation (2.1) à des instants
antérieurs à tn. Avec une méthode d’extrapolation d’Adams-Bashforth du second
ordre, la vitesse lagrangienne intermédiaire ¯V(?,n+1)
m à la position ¯x?
m et au temps
t(n+1) s’écrit par exemple :
¯
Vm(?,n+1)def= 2¯u(n)(¯x?m)−u¯(n−1)(¯x?m) (2.5) où ¯u(n)(¯x) et ¯u(n−1)(¯x) sont les vitesses de la grille eulérienne aux tempst(n)ett(n−1)
et à la position ¯x. Sachant que ¯xm, ¯x?m et ¯x??m ne sont pas directement localisés sur
la grille des vitesses eulériennes, il faut calculer la vitesse en ces points en utilisant, par exemple, des méthodes d’interpolation.
2.2.2 Interpolation des vitesses des marqueurs lagrangiens
Pour le transport de la surface front-tracking, la vitesse aux nœuds est calculée à partir du champ de vitesse de la grille eulérienne. Il est donc nécessaire d’échanger les informations entre la grille fixe et le maillage de la structure lagrangienne. Nous avons étudié dans ce travail trois méthodes d’interpolation. Deux d’entre elles sont plus généralement utilisées dans le cadre des méthodes front-tracking, à savoir la méthode d’interpolation bilinéaire [56] et la méthode de Peskin [64]. La troisième méthode présentée dans ce travail est la méthode PERM (Parabolic EdgeReconstruction Method) de McDermott etal. [51] qui permet de reconstruire une
vitesse à divergence nulle sur les marqueurs de la surface front-tracking à partir des vitesses de la grille Eulérienne.
Dans les méthodes d’interpolation bilinéaire ou Peskin, la vitesse des marqueurs de la surface front-tracking est directement calculée en utilisant les vitesses connues aux nœuds de la grille eulérienne à partir d’un stencil de nœuds plus ou moins
compact. Ainsi la vitesse du marqueur m de l’interface s’écrit :
¯
Vm =X
i,j
ωmi,ju¯i,j (2.6)
où ¯Vm est la vitesse du marqueur m, ¯ui,j la vitesse du nœud (i, j) de la grille
eulérienne et ωm
m pour une sommation effectuée sur des nœuds de la grille fixe situés autour du
marqueurm.
Idéalement, la valeur interpolée au marqueur doit être identique à la valeur au point de la grille si la position du marqueur coïncide avec ce point. Pour ce faire, les poids doivent satisfaire la condition suivante.
X
i,j
ωi,jm = 1 (2.7)
Le choix des nœuds pour l’interpolation dépend de la fonction de poids adoptée. Cette étape est déterminante dans la qualité de l’interpolation. Selon le stencil utilisé (ou le nombre de points), on peut distinguer la méthode d’interpolation
bilinéaire où les quatre nœuds de la grille eulérienne autour du marqueur m sont
utilisés pour l’interpolation ou encore les méthodes introduites par Peskin dans ses
travaux [64, 65, 66] où un stencil beaucoup plus large (9 points) autour de m est
utilisé pour l’interpolation.
Méthode d’interpolation bilinéaire
L’interpolation bilinéaire [56] est une méthode classique d’interpolation
bidi-mensionnelle où quatre points de la grille fixe autour du marqueur m sont
consi-dérés pour calculer la vitesse interpolée en ce marqueur en 2D. Ici, les poids ωm
i,j sont simplement les portions surfaciques délimitées par les projections verticale et
horizontale du marqueur dans une cellule (i, j) donnée, comme l’illustre la Figure
2.2.
En pratique, les fonctions de poids s’écrivent :
(i+ 1, j+ 1) (i, j+ 1) (i, j) (i+ 1, j) ωi,j ωi,j+1 ωi+1,j ωi+1,j+1 m
Figure 2.2 – Poids surfaciques utilisés dans la méthode bilinéaire pour interpoler
la vitesse au niveau du marqueur m
avec ¯xm = (xm, ym)t, rI
x =xm−x2i+1−I, rJ
y =ym−y2j+1−J, et d(x) = |x|.
On peut également utiliser d’autres types de fonctions utilisant un stencil plus large pour une transition plus lisse.
Méthode de Peskin
Peskin et ses coauteurs [64, 65, 66] ont introduit des fonctions de poids faisant intervenir 9 points de la grille fixe autour du nœud considéré (27 en 3D). Dans ce cas, l’interface est épaissie sur plus d’une maille. Le Tableau 2.1 présente diffé-rentes fonctions de Peskin pouvant être utilisées pour calculer la vitesse interpolée aux marqueurs.
Plusieurs études menées dans le cadre de simulations polyphasiques, avec
l’utilisa-d(r) = ( (1/4)(1 + cos (πr/2), |r|<2 0, |r| ≥2 (2.9) d(r) = d1(r), |r| ≥1 1/2−d1(2− |r|), 1<|r|<2 0, |r| ≥2 (2.10) avec d1(r) = 3−2|r|+q1 + 4|r| −4r2 8
Table 2.1 – Fonctions de poids utilisées dans la méthode Peskin pour interpoler
la vitesse au niveau du marqueur m
tion de l’interpolation bilinéaire ou les méthodes de type Peskin, ont généralement montré des différences minimes, même si par principe, l’utilisation d’un support eulérien le plus compact possible est préférable afin de minimiser l’erreur d’in-terpolation. Par ailleurs, les méthodes d’interpolation introduites par Peskin sont plus coûteuses car elles requièrent l’utilisation d’un stencil plus grand pour
l’in-terpolation d’une quantité autour d’un marqueur m. Il est difficile de conclure sur
la meilleure méthode à utiliser. Dans ce travail, nous avons utilisé la deuxième fonction de poids (2.10) de Peskin présentée dans le Tableau 2.1 afin de comparer les résultats obtenus par cette méthode aux résultats obtenus par la méthode bi-linéaire et la méthode PERM.
Méthode PERM
Mc Dermott et Pope présentent dans leur travail [51] une méthode de transport de particules lagrangiennes pour un couplage Volumes Finis/Large Eddy Simula-tion dans des écoulements faiblement compressibles : c’est la méthode PERM ou Parabolic Edge Reconstruction Method. Notre intérêt pour cette méthode réside dans le fait qu’elle est en premier lieu applicable à tout type de particules fluides même lorsque celles-ci sont très nombreuses. La méthode repose sur une recons-truction de la vitesse, elle même basée sur un calcul de divergence au centre des cellules eulériennes et des nœuds. Cette vitesse reconstruite est continue et pa-rabolique par morceaux dans la direction de la composante de vitesse et linéaire par morceaux dans la direction normale. Dans une maille donnée, la divergence reconstruite est bilinéaire et consistante avec la divergence discrète de la maille des vitesses. Pour un problème à masse volumique constante, la divergence de la vitesse reconstruite est nulle car l’intensité de la différence des divergences aux nœuds est nulle entre deux cellules voisines. L’implémentation de cette méthode est largement discutée dans [51].
Nous avons comparé ces trois méthodes d’interpolation à travers des cas test analytiques afin d’évaluer la méthode la plus précise pour calculer la vitesse des marqueurs de la surface front-tracking.