2.5 Résultats numériques
2.5.2 Interpolation d’images
La méthode que nous proposons donne aussi de bon résultats en deux dimensions. On présente l’inter- polation d’un détail de l’image de Lena sur la figure 2.6.
Le dernier exemple est une image représentant une porte japonaise, dont un détail est zoomé par un facteur 8. Notre méthode est comparée à une interpolation bicubique (figures 2.7, 2.8, 2.9 et 2.10). On peut remarquer que, par rapport à notre méthode, l’interpolation bicubique induit plus de perturbations le long des contours, tout en lissant trop l’image dans certaines zones.
0 10 20 30 −0.5 0 0.5 1 1.5 input 0 500 1000 −0.5 0 0.5 1 1.5 linear method 0 500 1000 −0.5 0 0.5 1
1.5 Holder based interpolation
FIG. 2.3: Interpolation d’une marche (de32 points à 1024 points). A gauche : signal d’entrée.
Au milieu, interpolation linéaire. A droite : interpolation Hölderienne. Notons que la marche n’est pas modifiée par notre technique d’interpolation.
2.6
Conclusion
Nous avons élaboré une méthode d’interpolation pour les signaux 1D et pour les images qui permet de conserver la régularité Hölderienne en chaque point. On a montré que l’on pouvait majorer l’erreur entre le signal interpolé sur un nombrem de niveaux et le "vrai" signal continu par une quantité qui tend vers
zero avecn (le logarithme à base 2 du nombre de points du signal discret de départ) et que l’on conservait
bien la régularité.
Cette méthode, à base d’ondelettes, est très simple à mettre en oeuvre d’un point de vue algorith- mique. Les résultats obtenus au cours des applications numériques illustrent bien la propriété de conser- vation de la régularité. En particulier, le traitement sur les images, même avec un grand nombre d’inter- polations donne un résultat esthétique très convenable et supérieur aux techniques usuelles et classiques d’interpolation (bicubique).
Nous appliquerons cette technique dans la partie consacrée à l’étude fractale de profils routiers et à l’adhérence pour compenser les limites d’acquisition d’un capteur. Nous montrerons ainsi l’intéret de cette méthode pour le traitement de signaux 1D réels.
0 50 100 150 200 250 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Low resolution generalized Weierstrass
0 100 200 300 400 500 −2 −1 0 1 2 3 4 5 linear method 0 100 200 300 400 500 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Holder based interpolation
10 20 30 40 50 60 70 0 0.5 1 1.5 2 Zoom1 450 460 470 480 490 500 510 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 Zoom2 0 100 200 300 400 500 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Hight resolution generalized Weierstrass
FIG. 2.4: Haut-gauche : fonction de Weierstrass généralisée de régularité h(t) = t, basse
résolution. Haut-milieu : interpolation linéaire. Haut-droite : interpolation Hölderienne. Bas- gauche : Zoom d’une partie irrégulière, interpolation en pointillés. Bas-milieu : Zoom d’une partie régulière, interpolation en pointillés. Bas-droite : fonction de Weierstrass généralisée haute résolution. La régularité a été conservée.
0 50 100 −1.54 −1.52 −1.5 −1.48 −1.46 −1.44 −1.42 −1.4x 10 4 Road profile 0 1000 2000 −1.54 −1.52 −1.5 −1.48 −1.46 −1.44 −1.42 −1.4x 10 4 linear method 0 1000 2000 −1.54 −1.52 −1.5 −1.48 −1.46 −1.44 −1.42 −1.4x 10 4
Holder based interpolation
780 800 820 840 −1.4334 −1.4332 −1.433 −1.4328 −1.4326 −1.4324 x 104 Zoom1 1900 1920 1940 1960 1980 −1.5 −1.498 −1.496 −1.494 −1.492 −1.49 x 104 Zoom2
FIG. 2.6: 4 interpolations d’un détail de Lena : interpolation bicubique (Photoshop) (haut),
FIG. 2.7: Image de porte japonaise. On a encadré en rouge la zone de l’image sur laquelle
nous allons travailler par la suite.
FIG. 2.9: Zoom d’un facteur 8 par interpolation bicubique.
3.1
Introduction
Le débruitage est une préoccupation classique en traitement du signal. Le bruit peut provenir d’une faiblesse lors de l’acquisition des données (capteur...), de la détérioration d’un support (disque vinyl, cas- sette...) ou d’autres facteurs (pertes lors de transmissions...). Dans le cadre de l’analyse des profils routiers et de la modélisation du frottement, nous avons été amené à utiliser un capteur laser afin de mesurer la micro-texture d’un échantillon de chaussée. Lors de ces campagnes d’acquisition de profils, effectuées au Laboratoire Central des Ponts et chaussées de Nantes, nous avons effectué des mesures avec un pas d’échantillonnage de 10 microns et d’autres, plus fines, avec un pas de 2.5 microns. Une analyse prélimi- naire des signaux échantillonnés à 2.5 microns nous a montré qu’ils étaient bruités. Le bruit perturbant ces signaux provient certainement du fait que l’on atteint les limites de fonctionnement du capteur. Ces mesures constituent cependant les informations les plus fines dont on dispose, par conséquent il serait dommage de ne pas les utiliser. Nous avons donc élaboré des méthodes de débruitage afin de compenser les limites du capteur en essayant d’estimer les profils de chaussée réels à cet échantillonnage à partir des données bruitées dont on dispose.
Un grand nombre de techniques a déjà été proposé pour le débruitage de signaux. Le problème se pose de la manière suivante. On observe un signalY qui est la combinaison F (X, B) du signal original X et
d’un bruitB. En faisant des hypothèses sur le bruit, la structure de X et la fonction F , on essaie de mettre
en place une méthode pour obtenir un estimateur ˆX du signal original X qui soit optimal dans un certain
sens. La plupart du temps, B est supposé indépendant de X, et, dans le cas le plus simple, est choisi
blanc, Gaussien et centré. Les hypothèses surX sont presque toujours liées à sa régularité, par exemple, X peut être Cn par morceau, pour unn > 1, ou alors X peut appartenir à un espace de Besov Bs
p,q.
Durant les dix dernières années, les approches à base d’ondelettes [DL92, Don94, AB] ont eu un grand succès dans le domaine du débruitage, à la fois du point de vue théorique et du point de vue appliqué. Sous des hypothèses classiques, il est possible de prouver que des techniques de seuillage simple sont asymptotiquement minimax (voir suite) dans certaines situations. Les expérimentations sur des données réelles donnent de bons résultats dans de nombreux cas. Toutefois ces méthodes ne permettent pas de contrôler la régularité du signal débruité.
Pour notre étude, il est important de préserver la régularité du signal original. En effet, puisque les profils routiers que nous étudions sont destinés à modéliser le frottement, il est fondamental de ne pas trop les lisser, ni trop peu. En effet, le frottement, comme nous le montrons par la suite, dépend de la régularité du signal et les modèles de frottement proposés relèvent aussi d’une certaine notion de la régularité. Pour cette raison, les méthodes que nous proposons d’appliquer à l’étude du frottement offrent un contrôle sur la régularité du signal débruité.
On développe dans ce chapitre un ensemble de techniques de débruitage basées sur la conservation de la régularité locale. Ces techniques sont adaptées à un signalX ayant les caractéristiques suivantes :
• X est partout irrégulier
• La régularité de X peut varier très rapidement
• La fonction de Hölder de X contient une information importante
Dans l’ensemble des travaux présentés ici, on suppose que le bruit est blanc additif, centré et Gaus- sien. De plus, on admet que l’écart type du bruitσ est connu. Dans le cas contraire, on peut estimer cette
quantité par la médiane des coefficients d’ondelettes du signal bruité au dernier niveau de décomposition divisée par 0.6745 (voir [DJ94]).