Interactions r´ep´et´ees

On conclut notre br`eve introduction `a la th´eorie quantique de l’information par une partie sur le mod`ele des interactions quantiques r´ep´et´ees. Dans ce mod`ele, intro-duit et ´etudi´e dans [AP05, AP06], on consid`ere un syst`eme quantique S d´ecrit par un espace de Hilbert H, qu’on appellera le “petit syst`eme” (dans les applications pratiques du mod`ele, la dimension de H est petite par rapport aux autres espaces pr´esents). Le syst`emeS interagit avec une chaˆıne infinie Etot de syst`eme auxiliaires ind´ependants d´ecrite par un espace

Ktot =

∞

O

n=1

Kn,

o`u les espacesKn sont tous isomorphesKn≃ K. L’interaction entre le petit syst`eme et le n-i`eme ´el´ement de la chaˆıne est d´ecrite par un op´erateur unitaire U_n :

S E_n+1 E₂ E n−1 E₁ E_n U_n

Figure2.1 – Interactions quantiques r´ep´et´ees

o`u ρ∈ M1,+(H) et β ∈ M1,+(K) sont les ´etats avant l’interaction du petit syst`eme S et de l’´el´ement de la chaˆıne En.

Pour d´ecrire ce mod`ele d’interactions r´ep´et´ees, on adopte le point de vue des syst`emes ouverts, c’est `a dire qu’on ne s’int´eresse qu’au petit syst`emeS. Ceci revient `

a prendre des traces partielles sur la chaˆıne interagissanteEtot. L’´equation d´ecrivant la n-i`eme interaction s’´ecrit alors :

ρ→ TrK(Un(ρ⊗ β)Un^∗).

On reconnait dans l’´equation pr´ec´edente la forme de Stinespring d’un canal quan-tique Φ^Un,βn, o`u

Φ^U,β(X) = Tr_K(U (X⊗ β)U^∗).

On va noter par ρ₀ l’´etat initial du petit syst`eme, par ρ<sub>n</sub> l’´etat deS apr`es la n-i`eme interaction et par β<sub>n</sub>l’´etat du n-i`eme ´el´ement de la chaˆıne. On obtient de cette fa¸con une relation de r´ecurrence pour les ´etats successifs du petit syst`eme S :

ρ_n= Φ^Un,βn(ρ_n−1) ∀n > 1. Apr`es n interactions, l’´etat du petit syst`emeS devient

ρ_n=^hΦ^Un,βn◦ Φ^Un−1,βn−1 ◦ · · · ◦ Φ^U1,β1i (ρ₀).

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Aper¸cu des r´esultats

3.1 Matrices densit´es al´eatoires

En m´ecanique quantique, le ph´enom`ene d’intrication joue un rˆole tr`es important car c’est une des ressources qui permet la r´ealisation des algorithmes quantiques bien plus efficaces que les algorithmes classiques connus actuellement. Il est donc n´ecessaire d’apprendre non seulement `a quantifier cette ressource mais aussi `a com-prendre sous quelles formes et dans quelle quantit´e elle se trouve dans les syst`emes physiques. Comprendre la quantit´e d’intrication pr´esente dans un syst`eme quantique “g´en´erique” veut dire, dans un premier temps, trouver une notion d’´etat al´eatoire satisfaisante du point de vue de la physique et ensuite ´etudier cette mesure de pro-babilit´es.

R´ecemment, les matrices al´eatoires ont re¸cu beaucoup d’attention de la part de la communaut´e “th´eorie quantique de l’information”. Dans l’article [HLW06], l’intrication d’un ´etat al´eatoire d’un produit tensoriel d’espaces de Hilbert est ´etudi´e et l’existence des sous-espaces avec une grande entropie est prouv´ee en utilisant des techniques de concentration de la mesure. Ces r´esultats ont ´et´e utilis´e par Patrick Hayden dans [Hay07, HW08] pour montrer que la conjecture de multiplicativit´e des normes de R´enyi des canaux quantiques est fausse. Toujours en utilisant des techniques probabilistes, Matthew Hastings a montr´e r´ecemment que la conjecture d’additivit´e (2.5) ´etait aussi fausse.

Le mod`ele d’´etats al´eatoires le plus simple est le cas des ´etats purs sur un es-pace de Hilbert de dimension finie H. Un candidat exceptionnel existe dans cette situation, c’est la mesure de Lebesgue sur la sph`ere unit´e de H (quotient´e par une certaine relation d’´equivalence). Un ´etat pur ayant cette mesure comme distribution

de probabilit´e est appel´e ´etat pur uniforme. La situation s’av`ere bien plus compliqu´ee quand on consid`ere le cas des matrices densit´es. Il se trouve qu’il n’existe pas de candidat ´evident `a consid´erer et dans la litt´erature deux classes de distributions sont pr´esentes. Une premi`ere fa¸con de munir l’ensemble des matrices densit´es d’une mesure de probabilit´es avec de bonnes propri´et´es est de partir d’une m´etrique sur cet ensemble et de consid´erer l’´el´ement de volume de cette m´etrique. Deux exemples importants sont trait´es dans [ ˙ZS03, S ˙Z03], la distance de Hilbert-Schmidt d_HS et la distance de Bures d_B : d_HS(ρ, σ) =^pTr(ρ− σ)2 et d_B(ρ, σ) = q 2− 2^pF (ρ, σ), o`u F (ρ, σ) =  Tr q ρ1/2σρ1/2 2

est la fid´elit´e des ´etats ρ et σ.

Un autre moyen de construire des matrices densit´es al´eatoires provient du concept de purification : pour toute matrice densit´e ρ ∈ M1,+(H), il existe un ´etat pur ψ ∈ H ⊗ K tel que ρ = TrK(|ψihψ|). On appelle ceci le point de vue des syst`emes

ouverts car on fait la supposition que l’espace de HilbertH est coupl´e `a un environ-nement K et que le tout se trouve dans un ´etat pur ψ. Pour obtenir une matrice ρ al´eatoire, on n’a qu’`a tirer l’´etat pur ψ de fa¸con uniforme dansH ⊗ K et de prendre la trace partielle surK du projecteur orthogonal sur Cψ.

Dans le travail [Nec07], pr´esent´e dans Chapitre 5, on prend le point de vue des syst`emes ouverts. On ´etudie les asymptotiques des matrices al´eatoires introduites dans [Bra96, Hal98, S ˙Z04, ˙ZS01] en utilisant des r´esultats existants dans la litt´erature sur les matrices al´eatoires de Wishart. Le lien qu’on trouve entre les matrices densit´es al´eatoires et les matrices de Wishart (Proposition 5.3.6 et Corollaire 5.3.8, voir aussi la Section 2.2.3) vient de l’observation que la trace d’une matrice de Wishart est ind´ependante de la matrice normalis´ee (qui est une matrice densit´e).

Ce lien entre les deux familles des matrices al´eatoires permet d’utiliser toute la machinerie d´ej`a existante dans le cas de matrices de Wishart pour d´eduire des propri´et´es (`a dimensions fix´ees ou asymptotiques) des matrices densit´es al´eatoires. En particulier, on obtient des formules exactes pour les moments (voir la Proposition 5.3.9 et les formules qui suivent).

Deux r´egimes asymptotiques sont consid´er´es dans la suite : l’un o`u la dimension des matrices reste constante et la taille de l’environnement tend vers l’infini et un deuxi`eme o`u les deux dimensions convergent vers l’infini avec un ratio constant de λ. Dans ce deuxi`eme cas, on montre que la mesure empirique des valeurs propres des matrices densit´es al´eatoires converge vers la mesure de Marchenko-Pastur de param`etre λ (voir Eq. (1.2) pour une d´efinition). Ce r´esultat se d´eduit du r´esultat analogue pour les matrices de Wishart, le Th´eor`eme 1.1.3. Aussi, on montre que des versions proprement normalis´ees de la plus petite (resp. la plus grande) valeurs propres convergent vers le bord du support de la distribution de Marchenko-Pastur.

3.2. LIMITE ASYMPTOTIQUE DES INTERACTIONS R´EP´ET´EES