Int´erˆets de l’approche bay´esienne

L’approche bay´esienne (1) permet une inf´erence statistique adapt´ee aux mod`eles couram-ment utilis´es en ´evaluation de stock (2) quantifie les incertitudes dans les diagnostics (3) autorise la prise en compte d’informations suppl´ementaires sous forme de distributions de probabilit´ea priori informatives.

Un cadre pour l’´etude des mod`eles stochastiques `a variables latentes Les mod`eles d’´evaluation de stock d´ecrits pr´ec´edemment peuvent ˆetre formul´es sous forme de mod`eles stochastiques `a variables latentes (voir Rivot, 2003). Dans ce type de mod`ele, une ´equation de processus et une ´equation d’observation, sont associ´ees permettant de relier les variables d’´etatsX(t), les param`etres θ et les observations y(t). Le vecteur des variables d’´etats,X(t), d´ecrit l’´etat d’un syst`eme au tempst. Dans le cas pr´esent, il s’agit par exemple de la biomasse de la population dans un mod`ele global ou de l’effectif de chaque classe d’ˆage si le mod`ele structur´e est en ˆage. L’´equation stochastique de processus (1.10) d´ecrit sous forme de transition markovienne l’´evolution des variables d’´etat.

X(t) = Φ(X^t−1, (t), θ₁) (1.10)

La fonction Φ d´ecrit les ´equations de processus du syst`eme dans lesquellesX(t) d´epend des

´etat pass´es du syst`eme X<sup>t−1</sup> =X(1), ..., X(t−1). Dans le cas d’un processus de Markov d’ordre 1, X(t) ne d´ependra que de l’´etat pr´ec´edent X(t−1). (t) est la composante stochastique du mod`ele de processus. La relation entre les observations y(t) et X(t) est d´ecrite par l’´equation stochastique d’observation (1.11) o`uτ(t) sont des erreurs de mesure ou d’observation.

y(t) = Ψ(X(t), τ(t), θ₂) (1.11) Le cadre statistique bay´esien pr´esente un grand int´erˆet pour mener une inf´erence statis-tique avec ces mod`eles. En effet, le th´eor`eme de Bayes (1.9) peut ˆetre utilis´e pour mettre

`a jour la distribution jointe des variables d’´etats et des param`etres et ainsi int´egrer l’in-formation venant des r´esultats de l’exp´erience dans cette distribution. Pour des mod`eles complexes, les m´ethodes de Monte Carlo par Chaˆınes de Markov permettent d’estimer les distributions a posteriori en s’affranchissant d’hypoth`eses sur la lin´earit´e des ´equations ou la normalit´e des erreurs (Rivot, 2003). Les estimations produites dans cette th`ese ont

´et´e produites via le programme JAGS (Plummer, 2003) qui met en œuvre notamment l’algorithme de Gibbs pour fournir un ´echantillon des distributionsa posteriori.

L’exemple du mod`ele global sous forme hi´erarchique

Le mod`ele global d´ecrit au 1.2.3 peut s’´ecrire sous la forme d’un mod`ele stochastique

`a variable latente int´egrant des erreurs de processus et d’observations (McAllister and Kirkwood, 1998; Meyer and Millar, 1999). Ce mod`ele peut-ˆetre rendu plus complexe par la prise en compte de plusieurs flottilles de pˆeche exploitant un mˆeme stock (McAl-lister and Kirchner, 2001; Lee et al., 2008). L’´equation stochastique de processus 1.12 d´ecrit l’´evolution de la variable latenteB(t) selon les param`etres r et K (exemple ici du mo`ele de Schaefer) en int´egrant des erreurs de processus multiplicativesε(t).

B(t+ 1) = (B(t) +r.B(t)(1− B(t)

K −C(t)).e^ε(t) ε(t)∼N(0, σ_ε²) (1.12) Les ´equations stochastiques d’observation 1.13 relient B(t) aux mesures relatives de biomasseI_i^obs(t). Dans le cas pr´esent´e ici le facteur de proportionnalit´e est la captura-bilit´eqi et les erreurs d’observations τi(t) sont multiplicatives

I_i^obs(t) =q_i.B(t).e^τi(t) τ_i(t)∼N(0, σ_τ²_i) (1.13) L’inf´erence avec ce type de mod`ele n´ecessite g´en´eralement des priors informatifs sur certains param`etres (Punt and Hilborn, 1997; McAllister et al., 2001b). Cet aspect de l’utilisation de ce mod`ele sera largement abord´e dans la suite de la th`ese.

Diagnostic et recommandation Des distributions de probabilit´e pr´edictives desX(t) sont accessibles et permettent de prendre en compte l’incertitude autour de projections sur l’´etat futur du syst`eme. Les r´esultats de l’inf´erence bay´esienne sont donc des probabilit´es facilement interpr´etables en terme de cr´edibilit´e, par exemple de diff´erents sc´enarios de gestion. L’analyse de risque `a but d´ecisionnel se connecte alors naturellement `a la d´emarche de mod´elisation bay´esienne (Parent et al., 2007). Ainsi, une approche bay´esienne sur le mod`ele global permet d’obtenir des distributions de probabilit´e du M SY et des points de r´ef´erence associ´es. L’´evaluation des stocks halieutiques qui est, par nature, li´ee `a des syst`emes de gouvernance et de prise de d´ecision pour la gestion de ces ressources est donc typiquement un domaine o`u la d´emarche bay´esienne peut s’av´erer int´eressante `a d´evelopper (Ludwig, 1996; Punt and Hilborn, 1997).

Les priors informatifs Un des grands int´erˆets de l’approche bay´esienne est la possibilit´e de choisir pour l’inf´erence des distributionsa priori plus ou moins informatives. Plusieurs techniques ont ´et´e propos´ees pour d´efinir des priors non-informatifs (ou ”de r´ef´erence”) notamment par Jeffreys (1998); Box and Tiao (1992); Bernardo and Smith (2000), le but des ces priors est de ne pas influencer les distributions a posteriori, l’inf´erence reposant uniquement sur les donn´ees de l’exp´erience. A l’oppos´e de cette d´emarche non informative, il est parfois possible de prendre en compte des connaissancesa priori. L’´elicitation,i.e.la traduction des connaissances disponibles avant l’exp´erience en une loi de probabilit´ea pri-ori, peut faire appel `a diff´erentes m´ethodes, expertise, m´eta-analyses (Punt and Hilborn, 1997; Hilborn and Liermann, 1998; Gelman et al., 2003).

La possibilit´e de prendre en compte des priors informatifs est le point de l’approche bay´esienne qui sera le plus d´evelopp´e dans cette th`ese. Cette th`ese se propose d’examiner l’hypoth`ese selon laquelle la prise en compte de priors informatifs, dans une approche bay´esienne de l’´evaluation de ces stocks, pourrait permettre d’y incorporer des informa-tions suppl´ementaires ind´ependantes des pˆecheries. Cette d´emarche pr´esente potentielle-ment des avantages dans un domaine tel que l’´evaluation des stocks halieutiques qui fait

appel `a des donn´ees peu informatives et/ou difficiles `a collecter (Hilborn and Liermann, 1998; Rivot et al., 2004). Les probl´ematiques relev´ees au 1.3 peuvent ˆetre appr´ehend´ees dans le contexte bay´esien. (i) D’une part, le choix d’une contrainte pour la steepness de la relation SR s’apparente dans un cadre bay´esien `a un probl`eme d’´elicitation de prior informatif. (ii) D’autre part, afin de lever l’hypoth`ese d’une capturabilit´e constante des sources d’information suppl´ementaires et ind´ependantes des CPUE doivent ˆetre prises en compte, un travail d’´elicitation de priors pour diff´erents param`etres d’un mod`ele global sera donc men´e d’une part pour des param`etres de l’´equation de processus et d’autre part pour des param`etres li´es `a la capturabilit´e dans les ´equations d’observation.

Dans un cadre bay´esien, on s’interrogera plus g´en´eralement sur l’int´erˆet des d´emarches d’´elicitation de priors pour alimenter les mod`eles d’´evaluation des stocks avec des sources d’informations habituellement peu valoris´ees

Plan de la th` ese

Une premi`ere partie de ce document (chapitre 2 et 3) sera consacr´ee `a l’´elicitation de priors informatifs pour diff´erents param`etres intervenant dans les mod`eles d’´evaluation des stocks. Le chapitre 2 traitera de l’´elicitation de priors pour deux param`etres inter-venant dans des mod`eles de processus :r le taux de croissance de la population dans le mod`ele global et h la steepness de la relation SR dans le mod`ele de Beverton et Holt. Je m’appuierais sur le cas du stock de thon rouge Atlantique.

Nous verrons dans le chapitre 3 (i) la reformulation d’un mod`ele d’observation reliant des mesures relatives d’abondance `a une biomasse pour faire intervenir une capturabilit´e variable dans le temps et (ii) une ´elicitation de priors pour des param`etres associ´es `a la capturabilit´e `a partir d’avis d’experts en prenant l’exemple de 3 engins de pˆeche ciblant l’albacore dans l’Oc´ean Atlantique.

Dans un second temps, le chapitre 4 traitera de la mise en œuvre de ces priors dans un mod`ele global afin de comprendre l’int´erˆet de l’utilisation de ces distributions informatives pour am´eliorer les diagnostics sur l’´etat des stocks thoniers. L’exemple trait´e sera celui du stock Atlantique d’albacore. Enfin, ces r´esultat seront discut´es et mis en perspectives dans le chapitre 5.

Elicitation de distributions a priori ´ pour des param` etres

d´ emographiques.

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2.1 Quels param` etres pour des priors informatifs dans une dynamique de population halieutique ?

Les ´equations stochastiques de processus employ´ees dans les mod`eles pour l’´evaluation des stocks thoniers int`egrent des param`etres qui, afin de faciliter l’estimation des variables d’´etats (biomasses) et par manque de donn´ees suffisamment informatives, sont parfois munis de priors informatifs dans le cadre bay´esien ou contraints dans le cadre fr´equentiste.

L’objet de cette introduction est de d´ecrire l’ensemble des param`etres d´emographiques concern´es ou susceptibles de l’ˆetre par l’´elicitation de priors informatifs.